Bồi dưỡng Học sinh giỏi máy tính Casio

tính số trung bình, phơng sai và độ lệch chuẩnĐể giải bài toán thống kê ta vào chơng trình MODE 2 sau đó nhập các mẫu số liệu x1, x2, ..... Đối với bài toán trên, còn có thể tính kích th

Giải toán theo phơng pháp tính

Sơ đồ Hoóc-ne:

Tính giá trị đa thức P(x) ứng với một giá trị biến số x

Giả sử ta cần tính giá trị đa thức bậc ba 3 2

P(x) a x= +a x +a x a+ tại x =

k Đây là bài toán ta đã biết cách giải nhờ việc nhập trực tiếp biểu thức vàomáy tuy nhiên cách làm này trở nên cồng kềnh khi bậc đa thức hoặc k có giátrị lớn Trong trờng hợp đó phơng pháp tính đóng vai trò hữu hiệu hơn

Đối với bài toán cụ thể này, ta viết đa thức đã cho dới dạng:

Nếu ta dùng máy để tính giá trị P(4) theo sơ đồ Hoóc-ne thì ấn dãy phím sau:

4 SHIFT STO A 5ì ALPHA A + (−) 3 =

ì ALPHA A + 0 = ì ALPHA A + 6 =

Tìm thơng và d trong phép chia đa thức cho (x - α)

Khi chia đa thức 3 2

P(x) a x= +a x +a x a+ cho nhị thức (x −α) thơng sẽ

Dùng máy tính tìm các hệ số b và d theo qui trình của sơ đồ Hoóc-ne

ấn (−) 5 SHIFT STO A

trị gần đúng của nghiệm đó Trong tài liệu này giới thiệu một phơng pháptính, đó là phơng pháp lặp, cụ thể nh sau:

- Biến đổi tơng đơng phơng trình f(x) = 0 (1) về phơng trình dạng x =g(x) (2)

+ Tiếp tục lặp nh vậy đến bớc thứ n+1 ta đợc xn+1 = g(xn)

Dãy x1, x2, x3, , xn, xn+1, là dãy những giá trị gần đúng của nghiệmphơng trình x = g(x), tức cũng là nghiệm của phơng trình f(x) = 0

Bài 15 Tìm một nghiệm dơng gần đúng của phơng trình x16 + − =x 8 0 (1)

Lời giải.

1(1)⇔g(x)= 8 x, x− =2

ấn các phím 2 = 16 SHIFT ^ ( 8 − Ans ) =

ấn lặp phím = cho đến khi nhận đợc các xn có giá trị không đổi KQ: x ≈ 1,128 022 103

tính số trung bình, phơng sai và độ lệch chuẩn

Để giải bài toán thống kê ta vào chơng trình MODE 2

sau đó nhập các mẫu số liệu x1, x2, , xn ta ấn phím nh sau:

x1 DT x2 DT xn DT

nếu mỗi mẫu số liệu xi có tần số n (i = 1, 2, , m) thì ta ấn phím nh sau:i

x1 SHIFT ; n1 DT x2 SHIFT ; n2 DT xm SHIFT ; nm DT

Sau khi nhập số liệu xong ta tính số trung bình x, độ lệch chuẩn s, và

ph-ơng sai s2 nh sau:

Tính số trung bình x ta ấn SHIFT S – VAR 1 =

Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S – VAR 2 =

Tính phơng sai s2 bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn

SHIFT S – VAR 1 = s2 =

Ví dụ 1:

Kết quả học tập cuối năm của An và Bình nh sau

Sau khi xoá các số liệu cũ còn lu trong máy

Ta vào chơng trình MODE 2 để tính số trung bình, phơng sai, độ lệchchuẩn điểm các môn học của An

Ta nhập các số liệu về điểm trung bình môn năm của các môn học nh sau:

8 DT 7,5 DT

7,8 DT 8,3 DT 7 DT 8 DT 8,2 DT 9 DT 8 DT 8,3 DT 9 DT

Tính số trung bình x ta ấn SHIFT S – VAR 1 = → x = 8,1

Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S – VAR 2 = → s ≈ 0,555959449Tính phơng sai s2 bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn

DT 9 DT 9 DT 8,5 DT 10 DT

Tính số trung bình x ta ấn SHIFT S – VAR 1 = → x = 8,090909091Tính độ lệch chuẩn s ta ấn SHIFT S – VAR 2 = → s ≈ 1,662667378Tính phơng sai s2 bằng bình phơng của độ lệch chuẩn ta ấn

SHIFT S – VAR 2 = x2 = → s2 ≈ 2,76446281

So sánh phơng sai điểm các môn học của An và Bình ta thấy: Bình họclệch so với An

toán thống kê Bài 16 Điểm trung bình môn Toán của 12 học sinh trong một tổ nh sau:

3,4; 3,6; 4,5; 4,8; 5,1; 5,2; 5,7; 6,0; 6,3; 6,4; 7,2; 7,8

a) Tính điểm trung bình môn Toán của tổ đó

b) Tính độ lệch chuẩn và phơng sai đối với tổ đó

Lời giải.

a) ấn MODE2 , 1 3,4 DT 3,6 DT 4,5 DT 4,8 DT

a) ấn MODE2 , 1 5 SHIFT ; 3 DT 6 SHIFT ; 6 DT 7 SHIFT ; 6 DT

8 SHIFT ; 9 DT 9 SHIFT ; 21 DT 10 SHIFT ; 15 DT SHIFT S.VAR

1 = KQ: x = 8,4

b) ấn (tiếp) SHIFT S.VAR 2 = KQ: s ≈ 1,462873884

ấn (tiếp) x = 2 KQ: s2 = 2,14

Chú ý 14 Đối với bài toán trên, còn có thể tính kích thớc mẫu (tổng tần số),

tổng các số liệu, tổng bình phơng các liệu bằng cách ấn phím tơng ứng sau:

ấn (tiếp) SHIFT S.SUM 3 = KQ: n = 60

ấn (tiếp) SHIFT S.SUM 2 = KQ: ∑n x = 504.i i

ấn (tiếp) SHIFT S.SUM 1 = KQ: 2

Thoát khỏi chơng trình thống kê bằng cách ấn SHIFT CLR 2 =

Giá trị lợng giác

Máy tính cầm tay có thể giúp ta tìm giá trị lợng giác của góc lợng giác và

đổi số đo “độ” của cung tròn ra “rađian” và ngợc lại

-0,707106781 ( 2

2

Ví dụ 2: Tính tg630 52’41”

Ta ấn MODE MODE MODE 1 tan 63 0 ’” 52 0 ’” 41 0’” = → 2,039276645

Ví dụ 3: Đổi 330 45’ ra rađian

Ta ấn MODE MODE MODE 2 33 0 ’” 45 0 ’” SHIFT DRG 1 = →

0,589048622

Ví dụ 4: Đổi 3/4 rađian ra độ

Ta ấn MODE MODE MODE 1 ( 3 ữ 4 ) SHIFT DRG 2 = →≈ 420 58’19

Bài 18 Đổi các góc sau ra rađian:

a) 71°52' b) 42°12'

Lời giải.

a) ấn 71 ab/c 52 ab/c 60ì π ữ 180 = MODE5 , 1, 4 KQ: 1,2543

b) ấn 42 ab/c 12 ab/c 60ì π ữ 180 = MODE5 , 1, 4 KQ: 0,7365 Bài 19 Đổi các góc sau ra độ, phút, giây:

a) ấn 3 ab/c 16ì 180 = MODE4 , 1 SHIFT ,,,o KQ: ơ α = 33°45'

b) ấn 5ab/c 7 ì 180 = MODE 4 , 1 SHIFT ,,,o KQ: ơ β≈ 128°34'17''.c) ấn 3 ab/c 4 ì 180 ữ π = MODE 4 , 1 SHIFT ,,,o KQ: ơ γ≈ 42°58'18''

sin ALPHA A KQ: sin 5

sin ALPHA A = KQ: sin 2α = ± 0,96

ấn cos ALPHA A = KQ: cos 2α = − 0,28

ấn tan ALPHA A = KQ: tan 2α≈± 3,4286

ấn (tiếp) x -1 = KQ: cot 2α≈± 0,2917

Trong hai phần đầu của bài toán trên, đơn vị đo góc là rađian Do đó lúc

đầu phải ấn MODE4 , 2 Vì giá trị ngợc sin-1 nằm giữa

Bài 21 Tính sin 40°12'; cos 52°54'37''; tan 78°42'25''; cot 38°10'

Lời giải

Vào mode MODE4 , 1

a) sin 40°12' ấn sin 40 ,,,o 12 ,,,o KQ: 0,6455

b) cos 52°54'37'' ấn cos 52 ,,,o 54 ,,,o 37 ,,,o KQ: 0,6031

c) tan 78°42'25'' ấn tan 78 ,,,o 42 ,,,o 25 ,,,o KQ: 5,0077

d) cot 38°10' ấn tan 38 ,,,o 10 ,,,o = x KQ: 1,2723.-1

Chú ý 12 Khi cần tính toán với đơn vị đo góc là độ (hoặc rađian), phải ấn MODE 4 ,1 (hoặc MODE 4 , 2) Nếu chỉ muốn để 4 chữ số thập phân ở kết quả

Tính gần đúng: đơn vị đo là rađian nên chọn kiểu MODE4 , 2

ấn π ữ 8 SHIFT STO A

20 Cho tanx = 2 2 Tính sinx và cosx.

Hệ thức lợng trong tam giác

Bµi 23 Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh AB = 21cm, AC = 28cm, BC = 35cm.

a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng TÝnh diÖn tÝch ∆ABC

Bµi 24 C¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC lµ AB = c = 23cm, AC = b = 24cm, BC = a

= 7cm TÝnh gãc A vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c

KQ: S ≈ 80cm2.b) S = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) với p a b c 7 24 23.

ấn: 7 SHIFT STO A 24 SHIFT STO B 23 SHIFT STO C

( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C ) ữ 2 SHIFT STO D ( ALPHA D ì ( ALPHA D − ALPHA A ) ( ALPHA D −

ALPHA B ) ( ALPHA D − ALPHA C ) ) MODE 5 , 1, 0

b) Tam giác ABC có a = 7; b = 8; c = 6 Tính ha và ma

21 Giải tam giác ABC biết:

a) c = 14; A = 600; B = 400

b) a = 6,3; b = 6,3; C = 540

c) a = 4; b = 5; c = 7

22 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:

SABC = 1 AB AC2 2 (AB AC)2

ấn MODE 3 ,1, 2 145 = (−) 270 = (−) 351 = KQ: x1 ≈ 2,744185018.

ấn (tiếp) = KQ: x2 ≈ - 0,882116052

ấn ( 5 - 3 ì ALPHA X ) ữ 4

ấn (tiếp) CALC 2,744185018 = KQ: y1 ≈- 0,808138763

ấn (tiếp) CALC (−) 0,882116052 = KQ: y2 ≈ 1,911587039

Vậy hai giao điểm có toạ độ gần đúng là A(2,744185018; - 0,808138763)

và B(- 0,882116052; 1,911587039)

Phơng trình lợng giác

Bµi 29 Gi¶i ph¬ng tr×nh cos (2x + 150) = 2.

3sin(x )

2 2

a) 3tg2x 3 0

b) 2sin x 2cos x 2

c) sin x cos x 4sin x cos x 1 0

d) 4sin x 3 3 sin 2x 2cos x 4

5

C )3 số với 3 chữ số không nhấtthiết khác nhau đợc tạo nên từ 5 chữ số đã cho

ấn 5 SHIFT nCr 1 = ^ 3 = KQ: 125

Bài 30 Có 18 đội bóng đá tham gia tranh giải vô địch Hỏi có bao nhiêu

cách trao huy chơng vàng, bạc, đồng, nếu mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhấtmột huy chơng?

Bài 32 Tính tổng của 100 số hạng đầu của cấp số cộng nếu u1 + u6 = 15,

u10 + u100 = 4

Lời giải.

Thay u6, u10, u100 theo u1 và d, ta đợc hệ phơng trình

1 1

2u + d = 152u +108d = 4

Lêi gi¶i.

C¸ch 1:

2 2

1 1

C¸ch 2 (theo ch¬ng tr×nh gµi s½n trong m¸y): vµo mode MODE4 , 2, 4

Ên dx∫ ln ALPHA X ÷ ALPHA X ^ 5 , 1 , 2 ) =

KQ: 0,0478

Nãi chung Ên MODE4 , 2, 4 dx∫ biÓu thøc hµm sè , a , b ) =

Luü thõa, mò, l«garit Bµi 36 TÝnh 8 165 13 3

7

Lêi gi¶i.

1 9 3

3

1ln

Chú ý 13: Vì máy chỉ tính với lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên nên

ta phải dùng công thức đổi cơ số của lôgarit để chuyển từ các lôgarit cần tính sang lôgarit thập phân hoặc lôgarit tự nhiên.

phơng pháp toạ độ trong không gian

Bài 40 Tính diện tích của tam giác ABC có các đỉnh A (−1; 2; 0), B (0; 1; 0),

Một số chủ đề Thực hành giải toán của các môn học

TOáN học - vật lí - hoá học - sinh học

TOáN học

Biểu thức và dãy phím biểu diễn: Ta biết khi ấn trên bàn phím của

một máy tính casio fx - 500MS dãy các phím:

( 47 − 4ì 5 ) ữ ( 3ì 15 − 8 ) =

thì ta thu đợc (kết quả thể hiện trên màn hình) số 0,729729, tơng ứng với mộtgiá trị thập phân gần đúng của biểu thức 47 4 5

Bài 2 Hãy viết biểu thức toán học tơng ứng với các dãy phím sau đây

(trong đó kí hiệu: M là số nhớ, MR là gọi số nhớ):

a) ấn phím nhập một số x, rồi ấn liên tiếp dãy phím

Bài 4 (Khoảng một tỉ)

a) Một máy bay cao tốc trị giá khoảng 63386 tỷ đồng Việt Nam Nếu sốtiền đó thanh toán bằng những tờ 50 000 đồng, mỗi tờ có bề dày 0,08mm, thìchồng tiền thanh toán đó cao bao nhiêu?

b) Dân số thế giới hiện nay khoảng 6 tỉ ngời, nếu xếp đợc tất cả mọi ngờichồng lên nhau (ngời sau đứng trên đầu ngời trớc) thì liệu ngời cuối cùng cóvới tới đợc Mặt trăng hay không? Biết rằng khoảng cách từ Trái đất đến Mặttrăng khoảng 300 000km

c) Khối lập phơng Rubic: Ngời ta có thể thu đợc 43 252 003 274 489 856

000 các dạng khác nhau khi xoay các mặt của khối Rubic Giả sử, cứ mỗi giây

ta có đợc một dạng, cần bao thời gian thì vét cạn tất cả các dạng? So sánh vớituổi của vũ trụ 15 tỉ năm

d) Các hành tinh thuộc hệ mặt trời có đờng kính nh sau: Hoả tinh 4878km, Kim tinh 1,21 10 km,ì 4 Trái đất 12756km, Thổ tinh 12 10 kmì 4 , Hảivơng tinh 48 000km, Diêm vơng tinh 3500km Hãy sắp xếp theo thứ tự lớndần của diện tích, thể tích của các hành tinh này (mỗi hành tinh coi nh là mộtkhối cầu)

Bài 5 Hãy điền vào chỗ trống của kết quả hiển thị trên máy ghi theo kí

pháp khoa học của các phép tính sau:

.

Bài 8 (Giỏi hơn máy tính)

Chữ số hàng đơn vị của 21999là chữ số nào?

Có bao nhiêu chữ số khi viết số 300300?

Chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phẩy là chữ số nào khi ta: chia 1 cho 7?chia 10 cho 97 ? chia 10 cho 51?

Giá trị đúng của 7 , 3 là bao nhiêu?12 11

Số mũ âm Bài 9 Hãy tính giá trị các biểu thức sau:

Bài 11 So sánh các số sau (4 ) ,4 ,42 3 6 (2 ) 3 ,4 Liệu có phải sử dụng các8phím dấu ngoặc để tính giá trị các luỹ thừa với số mũ nhiều tầng không?

Bài 12 Tính giá trị các số sau:

2 1( 2 3) , 5 2 6; 3 2,

-Bài toán với ký hiệu chữ

Nói chung, ta không thể dùng máy tính để chứng minh các định lý toánhọc, ví dụ với sin x2 +cos x2 = , để chứng minh tính đúng, ta phải kiểm tra1

đẳng thức đó với tất cả các giá trị của x, mà các giá trị đó thì nhiều vô hạn.Tuy nhiên với máy tính có thể chứng minh tính không đúng của một đẳngthức, bằng việc chỉ ra trị số nào đó của chữ mà đẳng thức sai Việc tìm ra cáctrị số đó nhờ dự đoán và thử Chẳng hạn đẳng thức (x 1)+ 2=x2+ +x 1không xảy ra, vì khi thử với trị số x = 1 ta nhận đợc điều vô lý là 2 = 3

Bài 18 Liệu có thể bác bỏ đợc các đẳng thức sau?

Bài toán dựng đồ thị

Với cách lập bảng giá trị của hàm số f(x) trên đoạn [a,b] với bớc biến đổi h,

ta có thể dựng đồ thị tơng ứng của hàm số Đồ thị của hàm số ngày càng đúnghơn khi bớc biến đổi h nhỏ đi

Ví dụ: Cho hàm số f(x) 2x= 3 −7x2 +12, [ ]a, b = −[ 5, 5 ,] h 0,5=

Với bớc biến đổi h ta lập đợc các bảng giá trị hàm số tơng ứng với các giátrị của biến số x: -5; -4,5; -4; -3,5; -3; -2,5; -2; -1,5; -1; -0,5; 0; 0,5; 1; ; 4,5; 5

Do đó ta xác lập đợc toạ độ 21 điểm của đồ thị tơng ứng Khi bớc biến đổi nhỏ

đi, chẳng hạn h = 0,25 thì số điểm xác lập đợc lên tới 41 điểm, do đó dạng đồthị càng xác định đợc chính xác hơn

Bài 19 Dựng đồ thị của các hàm số sau

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

33sin50 2cos30 , sin cos , sin cos

tự 3 thao tác sau để tự kiểm tra khả năng nắm vững máy tính CASIO fx-500MS:

Dự đoán biểu thức tơng ứng với dãy phím đã cho

Thực hiện các phép tính nêu trong biểu thức dự đoán để thu đợc kết quảhiển thị trên màn hình

Thực hiện bấm dãy phím đã cho để thu đợc kết quả so sánh với kết quảhiển thị ở mục 2, phân tích lý giải việc dự đoán sai (nếu có)

5 ì 5 x2 = , 2 + Ans = , 3 ì Ans = , 2 = Ans ì 3 =

b) Tính trung bình cộng a của các số đã cho với sai số 0,01.t b

c) Với mỗi số đã cho ta tính trị số lệch của nó với số trung bình cộng a làt b

a) Tính tám số hạng đầu tiên của dãy

b) Tính số hạng thứ 40, số hạng thứ 200

c) Với sai số 0,001, tính số hạng thứ 967

d) Với sai số 0,00001 hãy chỉ ra só hạng của dãy nhận giá trị 0.

Bài 26 Số hạng thứ n của dãy cho bởi công thức n

3n 4a

c) Với tám số hạng đầu tiên của dãy, tính xn − 3

Bài 27 Dãy { un } đợc xác định bởi các hệ thức n

n

1 n 1

3uu

u 1; u ( n 2 )

2+

d) Giới hạn của dãy có đúng bằng 1,7 khi giá trị n lớn vô cùng?

Bài 28 Cho các dãy có số hạng thứ n đợc xác định bởi công thức

Tính 10 số hạng đầu tiên của dãy

Hãy kiểm tra các số hang thứ 2, thứ 3, thứ 10 theo công thức:

c) Hãy thiết lập một dãy mới n 1

n n

FtF

+

= ; Các số hạng t dần tới số nào?.nd) Cho F , F , F , F là các cạnh của một tứ giác lồi (không suy biến) vớia b c d

Bài 31 Sau khi bật máy và ấn phím 7 , làm thế nào để hiển thị trên màn

trong các trờng hợp sau đây:

a) Không sử dụng phím ữ và không biến đổi biểu thức

b) Không sử dụng các phím ( và )

c) Không biến đổi biểu thức, Không sử dụng các phím ( và ) , không sửdụng phím 1

x.

Bài 33 Không sử dụng các phím: ^ , x ; hãy tính 724 với yêu cầu chỉ

đ-ợc nhấn mỗi phím nhiều nhất 7 lần

Những bài toán khác Bài 34 Giải gần đúng phơng trình sau bằng phơng pháp lặp:

a) x - sinx = 0,25 với kết quả có hai chữ số lẻ thập phân đáng tin

b) x3 − −x 100 0= với sai số tuyệt đối không quá 10−5.

Bài 38 Tìm phần nguyên các nghiệm của phơng trình x x x x 1 05+ + + − =4 3

Bài 39 Chứng minh số 2352 +9722 là hợp số

Bài 40 Trong 100 số nguyên dơng đầu tiên ta chọn ra 50 số sao cho

không có hai số nào trong các số đã chọn có tổng bằng 101, còn tổng của tất cảcác số chọn ra là 2525 Chứng minh rằng tồn tại bộ 50 số nh vậy; tổng bìnhphơng các số đã chọn bằng bao nhiêu?

Bài 41 Chứng minh rằng trong một tam giác tuỳ ý, tỉ số giữa đờng cao

nhỏ nhất với đờng phân giác nhỏ nhất 2

2

Bài 42 Trong 3 bình có chứa 100g dung dịch axit mỗi bình: trong bình

thứ nhất nồng độ 70%, bình thứ hai 60% và bình thứ ba 30% Pha các dungdịch này để có 250g dung dịch axit Nồng độ cao nhất và nồng độ thấp nhất cóthể có đợc trong dung dịch mới là bao nhiêu? Làm thế nào để có thể có đợc250g axit nồng độ 55%

Bài 43 Một cái ly hình nón chứa đầy rợu, ngời ta uống đi một lợng sao cho

chiều cao của rợu giảm đi một nửa Hỏi bao nhiêu phần rợu đã đợc uống

Bài 44 Khi chuyển tiền qua đờng bu điện, ngời gửi phải trả cớc phí dịch

vụ bằng 2% tổng số tiền cần chuyển Nếu trong túi bạn có đúng 1 triệu đồngthì bạn có thể chuyển tối đa đợc bao nhiêu tiền? (tính tròn đến trăm đồng)

Bài 45 Phải cắt những miếng tôn hình tròn đờng kính là 1 từ một tấm

tôn mỏng hình vuông với cạnh là 8 Liệu có thể cắt đợc hơn 64 miếng tôn tròn

nh thế không?

Bài 46 Để cân đợc mọi khối lợng nguyên từ 1kg đến 40 kg, ngời ta chia

quả cân đo lờng 40kg thành bốn phần với khối lợng nguyên Hỏi khối lợng củamỗi phần đó là bao nhiêu?

Bài 47 Xác định số lợng và vị trí của các nghiệm thực của phơng trình:

5

x −3x 1 0− =

Bài 48 a) Số phần tối đa mà 100 mặt phẳng có thể chia tách không gian

là bao nhiêu?

b) Tính tích sin1 sin3 sin5 sin85 sin87 sin89 0 0 0 0 0 0

c) Tìm các số x, y, z sao cho: 9 8 sin 50− 0 = x y sin z+ 0