Các bài toán thiết lập phương trình mặt phẳng

MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A.. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Phương pháp: Bước 1: Tìm tọa độ điểm I là trung điểm của ABtheo công thức Bước 2: Mặt phẳng trun

BÀI GIẢNG SỐ 02 MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

I Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P) đi qua điểm M0x y z0; 0; 0và có VTPT

n

(A; B; C) có phương trình:

(P) :A x x0B y y0C z z0 0

II Các trường hợp riêng

 Nếu D = 0, mặt phẳng (P) đi qua gôc tọa độ

 Nếu A0,B0,C0, mặt phẳng (P): ByCzD0chứa hoặc song song với trục Ox Tương tự: mp (P): AxCzD chứa hoặc song song với trục Oy 0

mp (P): AxByD0chứa hoặc song song với trục Oz

 Nếu A0,B0,C0, mặt phẳng (P): CzD chứa hoặc song song với Ox và Oy 0 nên nó song song hoặc trùng với mp (xOy)

Tương tự: mp (P): AxD song song hoặc trùng với mp (yOz) 0

mp (P): ByD0 song song hoặc trùng với mp (xOz)

Đặc biệt: Các phương trình x = 0, y = 0, z = 0 theo thứ tự là phương trình của các mp tọa

độ yOz, xOz, xOy

 Nếu A0,B0,C0 thì bằng cách đặt:

Phương trình (1) gọi là phương trình đoạn chắn của (P) Mặt phẳng đó cắt các trục Ox, Oy,

Oz lần lượt tại các điểm A(a; 0; 0 ), B (0; b; 0), C(0; 0; c)

Vậy ta có :

aA( ; 0; 0)

(0; 0; )

qu a

x y z

a b c quaC c











B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M x y z 0; 0; 0 và có vectơ

pháp tuyến na b c; ; 

Phương pháp:

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến n

 (nếu chưa cho sẵn)

Bước 2: Sử dụng công thức a x x0b y y0c z z0 0

(2; -3; 4)

Bài giải:

Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A ( 3; 4; -1) và có VTPT n

(2; -3; 4) là:

2 x3 3 y4 4 z1  0

2x 3y 4z 10 0

Ví dụ 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A ( 2; 3; 4) và song song với mặt phẳng (Q):

x y z 

Bài giải:

(P) // (Q) ( )P có VTPT là n Q 1; 2;3

Phương trình mặt phẳng (P) qua A ( 2; 3; 4) nhận n Q 1; 2;3

là VTPT là:

1 x2 2 y3 3 z4  0

Dạng 2 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm I là trung điểm của ABtheo công thức

Bước 2: Mặt phẳng trung trực của AB đi qua I nhận AB

làm vectơ pháp tuyến

Ví dụ 3: Lập phương trình mặt phẳng trung trực của AB với A(-2; 1; 4), B(1; 3; -3)

Bài giải:

Ta có: AB(3; 2; 7)

Gọi I là trung điểm của AB  tọa độ điểm I là:

1 2

2 2 2

1 2

A B I

I

A B

x x x

x

y y

z



















Phương trình mặt phẳng trung trực của AB qua I nhận AB(3; 2; 7)

là VTPT là:

3x 2y 7z 1 0

Dạng 3 Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm A và có cặp vectơ chỉ phương u v,

 

Phương pháp:

Bước 1: Tính vectơ nu v; 

Bước 2: Mặt phẳng   đi qua điểm A nhận nu v ; 

làm vectơ pháp tuyến

Ví dụ 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; -1; 5) và B (0; 0; 1) và song song với trục

Oy

Bài giải:

Ta có: AB  ( 1;1; 4)

, trục Oy có VTCP j (0;1; 0)

Vì mp (P) qua hai điểm A, B và song song với trục Oy nên (P) có cặp VTCP là AB  ( 1;1; 4)



và (0;1; 0)

j 



Gọi n

là VTPT của mp (P) Khi đó n AB n AB j; 4;0; 1

n j

 







 

  

Phương trình mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 5) nhận n  4; 0; 1 

là VTPT là:

4 x1 0 y1 1 z5  0

4x z 1 0

Vi dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A ( 2; -2; -4 ) và chứa trục Ox

Bài giải:

Vì mặt phẳng (P) qua A ( 2; -2; -4) và chứa trục Ox nên mp(P) có cặp VTCP là OA  2; 2; 4  

và

1; 0;0

i 



Gọi n

là VTPT của mp (P) Khi đó n OA n OA i; 0; 4; 2

n i

 







 

  

 

Chọn n  0; 2; 1 

Phương trình mặt phẳng (P) qua A(2; -2; -4) nhận n  0; 2; 1 

là VTPT là:

0 x2 2 y2 1 z4  0

 2y – z = 0

Dạng 4 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C

Phương pháp:

Bước 1: Tính  AB AC,

Từ đó tính n AB AC; 

Bước 2: Mặt phẳng ABC đi qua A nhận  n AB AC; 

làm vectơ pháp tuyến

Ví dụ 6: Viết phương trình mp (P) qua ba điểm A3; 1;5 ,  B4; 2; 1 ,  C1; 2;3  

Bài giải:

Ta có: AB(1;3; 6), AC    2; 1; 2

Gọi n



là VTPT của mp (P) n  AB AC;   12;14;5

Phương trình mp (P) qua A (3; -1; 5) nhận n

là VTPT là:

12 x 3 14 x 1 5 x 5 0

12x14y5z250

Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; -2; 3 ) Lập phương trình mp (P) đi qua các hình chiếu của điểm M trên các trục tọa độ

Bài giải:

Các hình chiếu vuông góc của điểm M trên các trục tọa độ là:

1 1;0; 0 , 2 0; 2; 0 , 3 0;0;3

Khi đó, phương trình mp (P) là: 1 6 3 2 0



Phương pháp:

Bước 1: Vì   vuông góc với hai mp    P , Q nên có cặp VTCP là n n 1; 2

với n n 1; 2

lần lượt là VTPT của (P) và (Q)

Bước 2: áp dụng loại 3

Ví dụ 8: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A( 3; 2; 3 ) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x +

y +2z – 5 = 0 và (R): x + 2y + 3z – 2 = 0

HD: Gọi n n 1; 2

lần lượt là VTPT của (Q) và (R) (P) qua A và có cặp VTCP là n n 1; 2

Áp dụng loại 3 Đs: x + 4y – 3z – 2 = 0

Phương pháp:

Bước 1: Vì mặt phẳng   đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) nên   có cặp vectơ

chỉ phương là  AB n, P

Bước 2: Áp dụng loại 3

Ví dụ 9 : Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A (-2; 0; 0 ), B (4; 2; 2) và vuông góc với mặt phẳng

(Q): 2x + 2y + z – 5= 0

Bài giải:

Gọi n

, nQ

lần lượt là VTCP của (P) và (Q), ta có nQ

( 2; 2; 1)

; Q 2; 2;8

Q

n AB

n AB n

n n

 





 

  

 

Chọn n1;1; 4 

Phương trình mặt phẳng (P) qua A ( -2; 0; 0) và nhận n1;1; 4 

là VTPT là:

1 x2 1 y0 4 z0  0

x y z

Ví dụ 10: Hãy viết phương trình mặt phẳng qua M2; 1; 2 ,  song song với Oy và vuông góc với mặt

phẳng  P : 2x y 3z 4 0

Bài giải:

Mặt phẳng (P) có VTPT n p 2; 1;3 

, trục Oy có VTCP j 0;1; 0

Vì mp (P) song song với Oy và vuông góc với mp(P) nên (P) nhận n p 2; 1;3 

và j 0;1; 0

là cặp VTPT

Gọi n

là VTPT của mp (P) nn P;j  3; 0; 2

  

Phương trình mặt phẳng (P) qua M ( 2; -1; 2 ) nhận n    3; 0; 2

là VTPT là:

3x 2z 2 0

Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp:

Chọn hai điểm A, B phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng  A, B cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng

này

Ví dụ 11: Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình

  :2xy  z 1 0 và   :x3y   và đi qua điểm z 2 0 M1; 2;1 

Bài giải:

Gọi (P) là mặt phẳng cần tìm và n

là VTPT của (P) Chọn A1; 0;1 , B1; 3; 6  cùng thuộc vào  và  A B, cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng này

Ta có:AB 2; 3; 7  

,AM 2; 2;0

Vì (P) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng   và   nên (P) chứa hai điểm A và B nên (P) nhận AB

và

AM



là cặp VTCPn AM AB; 

=14; 14;10  Chọn n

7; 7;5

  Vậy phương trình (P) qua M1; 2;1  nhậnn

7; 7;5

  là VTPT là:

7 x1 7 y2 5 z1  0

Dạng 8: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Phương pháp:

Với hai mặt phẳng ( ),P1  P có phương trình: 2

1

( )P : A x1 B y C z1  1 0, điều kiện A12B12C12 0

 P : 2 A x2 B y2 C z2  , điều kiện 0 2 2 2

A B C  Khi đó: n A B C1 1; 1; 1,n2A B C2; 2; 2

lần lượt là VTPT của ( )P và 1  P , do đó: 2

A  B C  D thì ( )P1  P 2

A  B C  D thì ( )P //1  P 2

c Nếu A B C1: 1: 1 A2:B2:C2 thì    P1  P2    d

Ví dụ 12: Tìm a và b để các mặt phẳng sau đây song song với nhau

a)   : 2xay2z 3 0,  :bx2y4z 7 0

b)   : 2x y az 2 0,  :x by 2z 8 0

Bài giải:

a

b

          

a

b

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Lập phương trình các mặt phẳng đi qua điểm A (2; -2; -4 ) và song song với các mặt phẳng tọa độ

Đs: z + 4 = 0; x – 2 = 0; y + 2 = 0

Bài 2:Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm M2; 3; 4  và thoả mãn điều kiện sau:

a) Có vectơ pháp tuyến n    2;3;1 

c) Vuông góc với NP với N0; 2; 3 ,  P2; 1;3   Đs: 2x3y6z370

d) Song song với mặt phẳng  P : 2x y 3z 4 0 Đs: 2x y 3z190.

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB trong các trường hợp sau

a) A2;3; 4 ,  B4; 1; 0   Đs: x2y2z 3 0

b) A1; 2;3 , B0;3; 1   Đs: xy4z 2 0

Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và có cặp vectơ chỉ phương u v ,

trong các trường hợp:

a) A1; 2;1 ,  u1; 0;1 , v2;1; 0 

Đs: x2y  z 4 0

b) A2;3; 2 ,  u   2; 4;3 , v2; 4; 5   

Đs: 2xy 1 0

Bài 5:Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A B C, , trong các trường hợp:

a) A1; 2;3 , B2; 4;3 ,  C4;5; 6  Đs: 6x3y13z390

b) A2; 0; 0 , B0; 1; 0 ,  C0;0;3  Đs: 3x6y2z 6 0

Bài 6:Cho điểm A2;3; 4  Hãy viết phương trình các mặt phẳng qua các hình chiếu của Atrên:

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 1; 1) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể

Bài 7: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm G (-1; -3; 2) và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao

cho G là trọng tâm tam giác ABC Đs: 6x2y3z180

Bài 8: Lập phương trình mp (P) đi qua 1; ;1 1

2 4

M 

 và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất Đs: x2y4z 3 0

Bài 9: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua H và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực

tâm ABC Đs: x2y  z 6 0

Bài 10:Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm A, vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) trong

những trường hợp:

b) A1;0; 2 ,   P : 2x   y z 2 0, Q :x   y z 3 0 Đs: 2xy3z40.

Bài 11:Viết phương trình mặt phẳng đi qua

a) Đi qua điểm A2;1; 1 và qua giao tuyến của hai mặt phẳng    :x   y z 4 0,

  : 3x   y z 1 0 Đs: 15x7y7z160

b) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng   :y2z 4 0,  :xy   và song song với mặt z 3 0 phẳng   :xy  z 2 0 Đs: Không có

c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng   : 3x   y z 2 0,  :x4y  và vuông góc với mặt 5 0 phẳng   : 2x  z 7 0 Đs: x22y2z210

Bài 12:Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình

  :2xy  z 1 0 và   :x3y    và song song với trục Oy ĐS: 7x z 2 0 2z 5  0

Bài 13: Tìm các giá trị a và b để ba mặt phẳng sau đây cùng đi qua một đường thẳng:

  : 3x7y  z 3 0,  :x9y2z50,  : 5xay4zb0

Bài 14: Biện luận theo m vị trí tương đối của hai mặt phẳng   : 2x my 3z 6 m và 0

   : m3x2y5m1z100 ĐS: m  thì 1     / /  , m  thì 1      

Bài 15: Cho hai mp (P) và (Q) lần lượt có phương trình là:

(P): 2xmy10zm 1 0 và (Q): x2y3m1z10 0

Với giá trị nào của m thì

a Hai mặt phẳng đó song song? Đs: không tồn tại m

b Hai mặt phắng đó trùng nhau? Đs: không tồn tại m

c Hai mặt phẳng đó cắt nhau? Đs: với m

d Hai mặt phẳng đó vuông góc? Đs: 3

13

m  