BÀI GIẢNG SỐ 04: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A.. Dưới đây là phương pháp giải một số dạng cụ thể: Loại 1... Khi đó để sử dụng tích phân từng phần, ta cần tuân theo 2 nguyên tắc:.
Trang 1BÀI GIẢNG SỐ 04: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A PHƯƠNG PHÁP:
Ta có công thức tính tích phân từng phần:
b a
Dưới đây là phương pháp giải một số dạng cụ thể:
Loại 1 ( ) sin ( ) ( cos ) ( ) cos x '( ).(cos )
b a
Loại 2 ( ) cos ( ) (sin ) ( ) s inx '( ).(sin )
b a
b
a
1
cos
b a
1
sin
b a
b a u
x
b
a u
b
b
a u
b
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a I =
4
2 0
(2 cos 1)
b I = 2 2
0
1 sin
Trang 2c I = (2 x)sin3xdx
6
0
9
5
d I = dx
x
x
3
4
2
cos
e I =
4
0
xdx
1 cos2x
Bài giải:
a I =
4
0
cos 2
2
du dx
u x
4
b I =
2
2 0
(x 1) sinxdx
Đặt
2
2 1
cos sin
0
Xét tích phân J =
2
0
cos
2
0 0
Thay (2) vào (1) ta được I = 1 + 2( 1
2
) = 1
c I =
6
0
(2 x) sin 3xdx
3
Trang 36 6 6
(2 ) cos 3 cos 3 (2 ) cos 3 sin 3
d I =
3
2 4
cos
x dx x
Đặt
2
1
t anx cos
u x
du dx v
x
4
3
e I =
4
01 cos 2
xdx x
4 2
02 cos
xdx x
4 2 0
1
2 cos
xdx x
Đặt
os
u x
du dx dx
v dv
0
b
a
I P x xdx( hoặc ( ) cos
b
a
I P x xdx), trong đó P là một đa thức
,
Khi sử dụng tích phân từng phần ta đặt:
( )
sin
u P x
dv xdx
( hoặc ( )
cos
u P x
)
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a I =
1
0
x
xe dx
c I =
1
0
Trang 4b I =
1
2 2 0
d I = (x 1)e dx
1
0
x 2
Bài giải:
a I =
1
0
x
xe dx
Đặt
1
0 0
0
b I =
1
2 2 0
Đặt
2
2 2
2( 1) ( 1)
1 2
x x
dv e dx
Xét tich phân J =
1
2 0
(x1)e dx x
2
x x
du dx
u x
dv e dx
1
Thay (2) vào (1) được I =
2
4
e
c I =
1
2 0
(x 2 )x e dxx
Đặt
2
2( 1) 2
x x
Trang 51 1 1
2
0
3
e
Xét J =
1
0
(x1)e dxx
Đặt u x 1x du dx x
1
0
2
e
7 2
I
e
d I =
1
0
(x 1)e dx x
Đặt
2
2 2
2 1
1 2
x x
du xdx
u x
dv e dx
1
0
Xét J =
1 2 0
x
xe dx
2
x x
du dx
u x
dv e dx
0
2
2
e
b
x a
I P x e dx , trong đó P là một đa thức R x , R
Khi sử dụng tích
phân từng phần ta đặt: u P x( )x
Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:
Trang 6a e cosxdx
2
0
x
=
2
1
e2
b I = 2 2
0
sin
x
c I =
2 2 0
sin 3
x
Bài giải:
a I =
2
0
cos
x
2 0
Xét J =
1
0
sin
x
Đặt u sinx x du xcosxdx
1
2 2
0 0
Thay (2) vào (1) được I = -1 + e2 I
2
1 2
e I
1
0
x
2 2
0
e
(2)
2
0
cos 2
x
2 sin 2 cos 2
1 2
x x
dv e dx
2
2
Xét J = 2
0
sin 2
x
Trang 7Đặt 2
2
2 cos 2 sin 2
1 2
x x
dv e dx
2
0 0
1
2
Thay (4) vào (3)
2 2
1 4
e I
Thay (2) và (5) vào (1) 1 2
1 8
c I =
2
2 0
sin 3
x
2
3cos 3 sin 3
1 2
x x
2
Xét J =
2 2 0
cos 3
x
3sin 3 cos 3
1 2
x x
2 2
Thay (2) vào (1) được I = 3 2
13
e
Chú ý: 1) Với tích phân dạng I = xcos
b
a
( hoặc I = xsin
b
a
), trong đó a b Khi sử dụng , 0
tích phân từng phần ta đặt: u cosx bx
( hoăc u sinx bx
)
2) Phương pháp trên cũng được áp dụng cho các tích phân dạng
2
sin
b
x
a
J e xdx hoặc ( 2
cos
b x a
Trang 8Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a I =
1
2 0
c I = 2
1
( ln )
e
x x dx
b I =
2
0
cos ln(1 cos )x x dx
d dx
x
x
3
6
2
cos
) ln(sin
Bài giải:
a I =
1
2 0
Đặt
2
2
1 2
x
dv xdx
2
0
1
=
1
0
b I =
2
0
cos ln(1 cos )x x dx
Đặt
sin ln(1 cos )
1 cos cos
s inx
x
x
v
2
sin
x
x
c I = 2
1
( ln )
e
x x dx
Đặt
2 2
3
ln ln
1 3
x
dv x dx
Trang 93 3
1
Xét J = 2
1
ln
e
Đặt
2
3
1 ln
1 3
dv x dx
2 1
e
Thay (2) vào (1) được I =
3
27
e
d I = 3
2 6
ln s inx
cos x dx
Đặt
2
ln(sin )
cot 1
t anx cos
v
x
3
6
tan ln(sin ) tan ln(s inx)-x
3 ln 3 1 ln1
6 4
3 ln 3
3
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau
a I =
2
2 1
ln(1 x)
dx x
b I =
1 9 3
0
1 5
sin (2 1) 4 1
dx
Bài giải:
Trang 10a Đặt
2
1 ln(1 )
1 1
1
x
v x
x
2 1
1ln 3 ln 2 ln ln 112 3ln 3 3ln 2
b I =
3
5
sin (2 1) 4 1
dx
Xét
1 9 3 1
0
5 x
I dx
1 1
0
3ln 5 3ln 5
x
Xét
1 9
0sin (2 1)
xdx I
x
Đặt
2
cot(2 1)
x
1 1 9 9 2
1 cot(2 1) cot(2 1)
x
1 9 0
1
x
11 sin
Xét
dx
x
Vậy I I1I2I3
1 3
5 1 3ln 5
11 sin
Chú ý: Với những dạng không mẫu mực Khi đó để sử dụng tích phân từng phần, ta cần tuân theo 2
nguyên tắc:
Trang 111) Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng
2) Tích phân
b
a
vdu
được xác định một cách dễ dàng hơn so với I
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các tích phân sau:
a x x dx
2
0
sin
d)
e
1
xdx ln
x c) (x 1)cosxdx
2
0
d) xe dx
1
0
x
e) xln(x 1)dx
5
2
f)
3
2
4
xdx sin x
g) x e dx
1
0
x 2
h) dx
x
x ln
2
e
1
i) ln xdx
e
1
2
k) xln(1 x )dx
2
1
2
ĐS: a) 1 b)
4
1
e2 c)
2
4
d)
9
1 e
2 3 e)
4
27 2 ln
24
f) 9 4 3 1ln3
g)
e
5 e
2 h) 4 i) e – 2
k)
2
3 2 ln
2
5
ln
Bài 2: Tính các tích phân sau
a) x x xdx
2
0
2
sin ) 3 2
(
b) (2x 1)lnxdx
2
1
c) e x x dx
2
0
2
3 cos
d) 0 2x 3
1
e)
1
ln xdx x
2 x
0
e s inxdx
ĐS: a) 1 b)
2
1 4
ln c)
13
2 e
3
d) 32 4
4e 7 e)
3
e 3 4
f)1 2
1 e 2
Bài 3:* Tính các tích phân sau
a)
1
2
0
x 1dx
b) sin xdx
4
0
2
Trang 12
c) ln( 1 x x)dx
2
0
2
d) cos(lnx)dx
2
1
ĐS: a) 1 2 ln 2 1
2 b) 2 c) 2ln( 52) 51 d) 2
1 ) 2 cos(ln )
2