Bài tập Hình học 10 có đáp án

Bài tập hình học 10 có đáp án Bài tập hình học 10 có đáp án Bài tập hình học 10 có đáp án Bài tập hình học 10 có đáp án Bài tập hình học 10 có đáp án Bài tập hình học 10 có đáp án Bài tập hình học 10 có đáp án Bài tập hình học 10 có đáp án

Page 1 of 57

Chuyên đề hình học 10: Vecto

Contents

Một vài lưu ý: 2

A Kiến thức cơ bản 3

I Các định nghĩa 3

II Các phép toán với vecto 3

1) Tổng của hai vecto 3

2) Hiệu của hai vecto 4

3) Tích của vecto với một số 4

4) Hệ thức trung điểm & Hệ thức trọng tâm tâm giác 5

5) # 5

B Tọa độ 6

I Trục tọa độ 6

1) Khái niệm 6

2) Tọa độ vecto trên trục 6

II Hệ trục tọa độ 6

1) Khái niệm 6

2) Tọa độ vecto trên hệ trục 6

3) Các phép toán & Tính chất 6

4) Tọa độ trung điểm và trọng tâm tam giác 7

C Bài tập áp dụng 7

1) Dạng 1: Khái niệm & Độ lớn của vecto 7

2) Dạng 2: Phân tích vecto 10

3) Dạng 3: Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vecto 21

Page 2 of 57

4) Dạng 4: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vecto 28

5) Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng & Hai điểm trùng nhau 35

6) Dạng 6: Trục tọa độ 46

7) Dạng 7: Hệ trục tọa độ 48

D Kiến thức bổ sung 52

I Trọng tâm tứ giác 52

II Điểm M chia đoạn AB theo tỷ lệ k 54

III Tâm tỉ cự của hệ điểm 56

IV Định lý Menelaus 56

Một vài lưu ý:

 Tài liệu được chỉnh sửa và bổ sung (phần đán án) từ tài liệu gốc cùng chuyên đề của thầy Trần Sĩ Tùng

 Tài liệu có sử dụng, chỉnh sửa kiến thức từ một số tài liệu khác (sách báo, chuyên đề, internet)

 Do hạn chế về mặt công nghệ (hầu hết bài tập được viết trực tiếp trên chức năng gõ công thức Toán của Microsoft word và phần mềm Painting), hầu hết đáp án đều được viết không dấu và trình bày dưới dạng ảnh

 Nội dung kiến thức cũng như đáp án trong tài liệu mang tính chất cá nhân nên có thể có sai sót Nếu có bất cứ thắc mắc hoặc góp ý nào, vui lòng liên lạc theo địa chỉ email pvtvalley@gmail.com (Phạm Văn Tú)

Hà Nội, Ngày 26 tháng 07 năm 2015

Page 3 of 57

A Kiến thức cơ bản

I Các định nghĩa

1) Vecto là một đoạn thẳng có hướng (chỉ rõ điểm nào là điểm đầu,

điểm nào là điểm cuối) Vecto có điểm đầu là A, điểm cuối là B

ký hiệu là AB Ngoài ra, cũng có thể sử dụng các ký hiệu a ,b,

để biểu diễn một vecto

2) Vecto không là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ký hiệu là 0

3) Giá của vecto là đường thẳng đi qua vecto đó Nếu giá của hai vecto song song hoặc trùng nhau, hai vecto đó được gọi là cùng phương Khi đó, hai vecto có thể cùng hướng

hoặc ngược hướng Độ lớn của vecto là khoảng các giữa điểm đầu và điểm cuối (độ dài

đoạn thẳng), ký hiệu là AB, a,b,

4) Hai vecto bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ lớn

Lưu ý:

 Giá của vecto không là đường thẳng bất kỳ đi qua điểm đó

 Vecto không cùng phương, cùng hướng với mọi vecto

 Mọi vecto không đều bằng nhau

II Các phép toán với vecto

1) Tổng của hai vecto

 Tổng của hai vecto được tính theo hai quy tắc chính:

 Quy tắc ba điểm (Xen điểm): Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta luôn có

AC BC

AB  (đầu nối đuôi)

 Quy tắc hình bình hành: Trong hình bình hành ABCD, ta luôn có ABADAC

2) Hiệu của hai vecto

 Vecto đối của vecto a là vecto b sao cho ab0, được ký hiệu là a

Lưu ý: Vecto đối của vecto không vẫn là vecto không

 Hiệu của hai vecto được tính theo hai quy tắc:

 Sử dụng vecto đối để đưa hiệu về tổng: aba( b )

 Quy tắc ba điểm (xen điểm): Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta luôn có ABACCB

3) Tích của vecto với một số

 Cho vectơ a và số k  R ka là một vectơ được xác định như sau:

 ka cùng hướng với a nếu k  0, ka ngược hướng với a nếu k < 0

 ka  k a

4) Hệ thức trung điểm & Hệ thức trọng tâm tâm giác

 M là trung điểm của đoạn thẳng AB

a và b a0 cùng phương  k R b ka: 

 Điều kiện ba điểm thẳng hàng

A, B, C thẳng hàng k  0: ABk AC

 Biểu diễn một vecto qua hai vecto khơng cùng

phương:

2) Tọa độ vecto trên trục

 Toạ độ của vectơ trên trục: u( )a  u a e

 Toạ độ của điểm trên trục: M k( )OM k e

 Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a AB a e , trong đĩ AB b a  với A(a),

B(B)

Lưu ý

 Nếu AB cùng hướng với e thì AB AB

 Nếu AB ngược hướng với e thì AB AB

 Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC AC 

II Hệ trục tọa độ

1) Khái niệm

Hệ trục tọa độ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuơng gĩc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox,

Oy lần lượt là i j , O là gốc toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung

2) Tọa độ vecto trên hệ trục

Page 7 of 57

 Tổng & Hiệu hai vecto: a b (x x y y ;  )

 Tích của vecto với một số: ka( ; )kx ky

 Điều kiện hai vecto bằng nhau: a b x x

 Điều kiện hai vecto cùng phương:

b cùng phương với a 0 k  R: xkx và yky x y

 (x  0, y  0)

4) Tọa độ trung điểm và trọng tâm tam giác

 I là trung điểm đoạn AB thì I x A x B I y A y B

1) Dạng 1: Khái niệm & Độ lớn của vecto

Bài 1 Cho tứ giác ABCD Cĩ thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0) cĩ điểm đầu

và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?

Hướng dẫn

Để xác định một vecto, cần xác định được điểm đầu và điểm cuối

Chọn điểm đầu trước, ta cĩ 4 lựa chọn (4 điểm A, B, C, D)

Vì cần xác định vecto khác vecto khơng, nên điểm cuối khơng trùng với điểm đầu  Với mỗi điểm đầu, ta cĩ 3 cách chọn điểm cuối (3 điểm cịn lại)

Vậy, tổng cộng cĩ thể xác định được 4.3 = 12 vecto khác vecto khơng

Lưu ý: Cũng cĩ thể liệt kê được 12 vecto gồm

DC DB DA CD

CB CA

BD BC BA AD

AC AB

,,

;,,

;,,

;,,

Bài 2 Cho ABC cĩ A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh: BCC A A B   

b) Tìm các vectơ bằng B C C A   ,

Hướng dẫn

Page 8 of 57

a) B’, C’ là trung điểm AC, AB nên B’C’ là đường trung bình

của tam giác ABC

'

//

'

BC B A A C

B A CA C B

''''

''''

Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh:

MP

BD NQ

Page 9 of 57

b) Theo quy tắc hình bình hành, ta có ABAD AC, vậy:

AC AC AD

c) AB AD  CBCD  AC  DB  ACBD

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên ABCD là hình chữ nhật

Bài 5 Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H

a) Tính AB AC ; AB AC

b) Tính độ dài các vecto HA HB HC, ,

Hướng dẫn

a) Gọi M là trung điểm BC

Tam giác ABC đều nên

3.2

2

3.32

.3

23

23

2

a a

AM AM

HA AM

2

AC

AC

AC AD AB AD

2 2

2

a BM

2

Bài 8 Cho tam giác ABC với trực tâm H, B là điểm đối xứng với B qua tâm O của

đường trịn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ giữa các vectơ AH và B C AB và HC ; 

Hướng dẫn

2) Dạng 2: Phân tích vecto

Bài 9 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

a) ABDC AC DB 

ED FE DF CD BF AE

DF CD FE BF ED AE CF BE

c) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD   0

d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và

BC Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm

JD IJ BI JC IJ AI BD

AC

2

.2

1

)(

21

GC GB GD GA

GD GC GB GA GJ

GI

Vậy G cùng là trung điểm của IJ

Cmtt, GPGQ0 nên G cũng là trung điểm PQ

Vậy, MN, IJ và PQ cùng nhận G làm trung điểm

Lưu ý: Câu d có thể sử dụng tính chất hình học để chứng minh

JI DB

AI JA AB DA DA

JA AI

2

22

RA

CS PC BQ IB AJ

RA

PS IQ

IC OI IB OI IA OI

OC OB OA

.4

2

4

)(

AC CD BH

OM AH

AH OM

.2

Mà AM cũng là trung tuyến của tam giác AHD nên G cũng là trọng tâm AHD

lại là trung điểm AD nên HO là trung tuyến

Vậy HO đi qua G, đồng thời HG HO

Page 14 of 57

a)

'

3

'.3''''''

''''

'''

''

'''

GG

GG C

G B G A G CG BG AG

C G GG CG B G GG BG A G GG AG

CC BB

b) Xét hai tam giác ở chứng minh a

Hai tam giác này có cùng trọng tâm GG'GG'0AA'BB'CC'0

Bài 16 Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng

MC

3

2



AC AB

AC AB

AB AC BA

AB

BC AB

BM AB

AM

3

23

1

3

23

23

23

2

32

Bài 17 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là

điểm thuộc AC sao cho CN 2NA K là trung điểm của MN Chứng minh:

b) BN BOONOB OC OCOB

2

12

1

c) MN  BC OCOB

2

12

AB CB

AC BA

CB CB

CA

BC BA

CB CA

BC BA CB

CA BN

13

23

13

13

23

13

23

1

3

23

23

13

12

1.3

42

1.3

23

43

2

b)

AC AC AC

BC AB

AC AB

CB AC

BA CB

CB CA

BC BA

CB CA

BC BA CB

CA BN

23

13

13

23

13

13

2

3

13

23

13

23

13

13

23

2

2

1.3

22

1.3

43

23

4

CA BC BA

CB CA BC

BA CM

26

1

26

1

6

16

1

2

1.3

12

1.3

13

13

Bài 21 Cho hình bình hành ABCD, đặt ABa AD b,  Gọi I là trung điểm của CD, G

là trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AG, theo a b,

Hướng dẫn

1

4

32

1

(*) 2

3

2

32

33

12

32

33

1

2

32

1

AC AB

AC BA

AN PA

PN

AC AB

AC AB

AB AC

BA AB

BC AB

BM PB

BC BI

3252

AC AB

AC AB

AB

AC BA

AB

BC AB

BI AB

AI

5

25

35

25

2

5

25

2

52

AC AB

AB AC BA

AB

BC AB

BF AB AF

3

23

53

23

23

23

2

32

BF BI

BC BF

BC BI

BI IM

BI BM

BC BI

BC BM

8

35

33

2

;52

4

14

55

2

;21

Từ đó, ta được:

AF AI

AF AI

AI AF IA

AI IF AI

IF AI

BI AI IM AI AM

32

332

35

32

332

332

332

332

3

8

3.4

14

AF AI

AM AG

16

148

3532

332

35.3

23

Page 21 of 57

3) Dạng 3: Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

Bài 29 Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC 0  

Page 26 of 57

Bài 38 Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB  , MEMA BC ,

MF MB CA 

b) Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M

c) So sánh 2 véc tơ MAMB MC và MD ME MF  

Hướng dẫn

Page 27 of 57

Bài 39 Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD A, B, C, D lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh:

a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA, BB, CC, DD

b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác ABCD

Hướng dẫn

4) Dạng 4: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

Bài 41 Cho 2 điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

Page 29 of 57

Hướng dẫn

Page 31 of 57

Page 32 of 57

Bài 43 Cho ABC

a) Xác định điểm I sao cho: 3IA2IB IC 0

b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:

MN 2MA2MB MC luôn đi qua một điểm cố định

c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: HA3 2HB HC  HA HB

d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2KA KB KC  3KB KC

Hướng dẫn

Page 33 of 57

Page 34 of 57

Bài 44 Cho ABC

a) Xác định điểm I sao cho: IA3IB2IC0

b) Xác định điểm D sao cho: 3DB2DC0

c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA3MB2MC  2MA MB MC 

Hướng dẫn

Page 35 of 57

5) Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng & Hai điểm trùng nhau

Bài 45 Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA2OB3OC0 Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng

Hướng dẫn

Page 41 of 57

Bài 56 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý Gọi A, B, C lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh ba đường thẳng AA, BB, CC đồng qui tại một điểm N

b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của ABC

Page 43 of 57

Bài 59 Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c 0  

a) Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC 0  

b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP aMA bMB cMC   Chứng minh ba điểm G,

M, P thẳng hàng

Hướng dẫn

Bài 61 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN2MA MB MC 

a) Tìm điểm I sao cho IA IB2  IC0

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định

c) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định

Hướng dẫn

Page 46 of 57

6) Dạng 6: Trục tọa độ

Bài 63 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 2 và 5

a) Tìm tọa độ của AB

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2MA5MB0

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA2 3NB 1

Hướng dẫn

Bài 64 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là 3 và 1

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho MA3 2MB1

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA3NB AB

Hướng dẫn

Page 47 of 57

Bài 65 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là a, b, c

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB

Tìm tọa độ điểm M sao cho MA MB MC 0  

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA3NB NC

c) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh rằng các đoạn IJ và KL có chung trung điểm

Hướng dẫn

Page 50 of 57

Bài 70 Cho hai điểm A(3; 5), (1;0) B

a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC 3AB

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB

c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM2AB3AC

Page 51 of 57

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: AN2BN4CN 0

Hướng dẫn

Bài 73 Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2)

a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C

b) Tìm toạ độ điểm E để ABCE là hình bình hành

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Hướng dẫn

Page 52 of 57

D Kiến thức bổ sung

I Trọng tâm tứ giác

Page 53 of 57

Page 54 of 57

II Điểm M chia đoạn AB theo tỷ lệ k

Page 55 of 57

Page 56 of 57 III Tâm tỉ cự của hệ điểm

IV Định lý Menelaus

Page 57 of 57