BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài 1.
Trang 1BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài 1 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất thuộc đoạn ; 1
2
1
m x
x
1
Giải
Đặt f x 3 1 x2 2 x32x2 , suy ra 1 f x xác định và liên tục trênđoạn 1 1;
2
'
2
;
1 1
2
x
Vậy: f x' 0 x0
Bảng biến thiên:
2
0 1 CÑ
2
4
x
f x
f x
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất thuộc 1 1;
2
4
2
Bài 2 Tìm m để phương trình: m x2 2x 2 1 x(2 x) 0 (2) có nghiệm x 0; 1 3
Giải
Đặt t x2 2x 2 t2 2 = x2 2x
2
t 1 Khảo sát g(t) t2 2
t 1
với 1 t 2 g'(t)
2
2
(t 1)
Vậy g tăng trên [1,2]
Do đó, ycbt bpt m t2 2
t 1
có nghiệm t [1,2]
t 1;2
2
m max g(t) g(2)
3 Vậy m2
3.
Bài 3 Tìm m để phương trình sau có một nghiệm thực:
2x2 2(m4)x5m10 x 3 0
Giải
2
2x 2(m4)x5m10 x 3 0 2x2 2(m4)x5m10 x 3
Trang 22 2
3 0
x
2
3
x
m
x
Xét hàm số, lập BBT với ( ) 2 2 1
f x
x
2 2
'( ) (2 5)
f x
x
Khi đó ta có:
Bảng biến thiên:
y
8
24/5
+
Phương trình có 1 nghiệm 24 (8; )
5
m
Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 2sin8x + cos42x
Giải
§Æt t = cos2x 1 t 1 th× sin2x = 1 t
2
1
2
3t 1 7t 4t 1
B¶ng biÕn thiªn
Qua b¶ng biÕn thiªn ta cã : miny = 1
27 vµ maxy = 3.
Bài 5 Cho phương trình cos3x sin3x m (1)
a) Giải phương trình khi m=-1
b) Tìm m để phương trình (1) có đúng hai nghiệm ;
4 4
x
Giải
a) Khi m=-1, phương trình trở thành cosx sinx 1 cos sin x x1
Đặt t = cosx sinx; điều kiện t 2 Ta có nghiệm 2 2 ,
2
b) (1) cosx sinx 1 cos sin x x m
Đặt t = cosx sinx; điều kiện t 2
4 4
x t
Ta có phương trình theo t: 3t t 3 2m
Bằng cách tìm tập giá trị hàm vế trái, ta suy ra phương trình có đúng hai nghiệm ;
4 4
x
khi và chỉ khi
2 ;1
2
m
t
f’(t)
f(t)
+ 0
-3
1 27
1
Trang 3Bài 6 Tỡm m để hệ phương trỡnh:
cú nghiệm thực
Giải
Điờ̀u kiện:
2
2
y
y y
Đặt t = x + 1 t[0; 2]; ta cú (1) t3 3t2 = y3 3y2
Hàm số f(u) = u3 3u2 nghịch biến trờn đoạn [0; 2] nờn:
(1) t = y y = x + 1 (2) x2 2 1 x2 m 0
Đặt v 1 x2 v[0; 1] (2) v2 + 2v 1 = m.
Hàm số g(v) = v2 + 2v 1 đạt min ( )0;1 1; m0;1 ( ) 2
[ ] g v [ ax] g v
Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm khi và chỉ khi 1 m 2.
Bài 7 Cho cỏc số thực khụng õm x,y,z thoả món 2 2 2 3
y z
x Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức
z y x zx yz xy A
Giải
Đặt txyz
2
3 )
( 2
zx yz xy zx
yz xy
t t vì t 0
2
3
2
t
t
A
2
3 5 2 )
t
t t f
Ta có ' ( ) 5 25 0
3
2
t
t t t
t
Suy ra f (t) đồng biến trên [ 3 , 3 ] Do đó .
3
14 ) 3 ( ) (t f
f
Dấu đẳng thức xảy ra khi t 3 xyz 1
Vậy GTLN của A là
3
14 , đạt đợc khi xyz 1
Bài 8 Tỡm cỏc giỏ trị của tham số thực m sao cho phương trỡnh sau cú nghiệm thực:
(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0 (1)
Giải
Đk x 0 đặt t = x ; t 0
(1) trở thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m = 0 2 22 3 3
1
m
Xột hàm số f(t) = 2 22 3 3
1
t t (t 0) Lập bảng biến thiờn
(1) cú nghiệm (2) cú nghiệm t 0 5 3
3m .
Bài 9 Tỡm m để phương trỡnh 2 sin 4xcos4xcos 4x2sin 2x m 0 cú nghiệm trờn 0;
2
Giải
Ta cú sin4 os4 1 1sin 22
2
x c x x và cos4x 1 2sin 2 2 x
Do đú 1 3sin 22 x2sin 2x 3 m
Trang 4Đặt tsin 2x Ta cú 0; 2 0; 0;1
2
x x t
Suy ra f t 3t22t 3 m t, 0;1 Ta cú bảng biến thiờn
Từ đú phương trỡnh đó cho cú nghiệm trờn 0; 2 10
Bài 10 Cho hai số thực x, y thoả mãn : x 3 x 1 3 y 2 y
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y
Giải
Ta có : x 3 x 1 3 y 2 y x y 3 x 1 y2
Đặt: x y a 3 x 1 y2 a
Ta đi tìm điều kiện của a đê hệ phơng trình sau có nghiệm:
x y a
(I)
Ta có hệ (I)
Đặt u x1 ;v y2 (u0;v0)
Ta có hệ phơng trình:
2
2 2
2
3
1
a
u v
Suy ra : u và v là nghiệm của phơng trình:
2
t t a
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (*) có hai nghiệm t1, t2 không âm
2
2
9 3 21
2
hay 9 3 21 9 3 15
9 3 15;
2
Bài 11 Tỡm m để hệ bất phương trỡnh sau cú nghiệm
2 2
7 6 0
x x
Giải
Hệ bất phương trỡnh
2 2
7 6 0 (1)
1 1 x 6 Hệ đó cho cú nghiệm khi và chỉ khi tồn tại x 0 1;6 thỏa món (2).
2
x
Trang 5Gọi
x
Hệ đã cho có nghiệm x0 1;6 : ( ) f x0 m
2 2
'
f x
2
Vì x 1;6 nên chỉ nhận 1 17
2
Vì f liên tục và có đạo hàm trên [1;6] nên max ( ) 27
13
f x
27
13
x
Bài 12 Giải hệ phương trình 2 2
2
3
Giải
Đk x0;x2 y
Ta có
y = 3 không t/m, nhân chia PT đầu với LLH, ta có
3
3
Ta có x x2 3 3 x là nghiệm duy nhất vì f(x) = VT luôn đ/b trên (0;+1 ), thay vào hệ suy y = 8 t/m
Hệ có 1 nghiệm (1; 8)
Bài 13 Cho phương trình x 1 x2m x1 x 24 x1 x m3
Tìm m để phương trình có một nghiệm duy nhất
Giải
Phương trình x 1 x2m x1 x 24 x1 x m3 (1)
Điều kiện : 0 x 1
Nếu x 0;1 thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì cần có điều kiện
1 1
2
x x x Thay 1
2
x vào (1) ta được:
1
m
m
* Với m = 0; (1) trở thành:
2
Phương trình có nghiệm duy nhất
* Với m = -1; (1) trở thành
4
4
2
2
Trường hợp này, (1) cũng có nghiệm duy nhất
* Với m = 1 thì (1) trở thành:
4
Trang 6Ta thấy phương trình (1) có 2 nghiệm 0, 1
2
x x nên trong trường hợp này (1) không có nghiệm duy nhất Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1
Bài 14 Khai triển (1 – 5x)30 = ao+a1x +a2x2 + + a30x30
Tính tổng S = |ao| + 2|a1| + 3|a2| + + 31|a30|
Giải
(1 5 ) x C C 5x C (5 )x C (5 )x
Nhân 2 vế với x ta được:
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được;
(1 5 ) x 150 (1 5 )x x C 2C 5x3C 5 x 31 C 5 x (2)
Chọn x=-1 thay vào (2) ta được
6 150.6 C 2(C 5) 3( C 5 ) 31( C 5 )
hay 6 (6 150)29 a0 2 a1 3a2 31 a30
hay 6 2630 a0 2 a1 3a2 31 a30
ĐS :S 6 2630 .
Bài 15 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
10x2 8x 4 m x(2 1). x2 1 (3)
Giải
Nhận xét: 1 0x2 8x 4 2(2x 1) 2 2(x2 1)
(3)
2
m
1
x
t
x Điều kiện : –2< t 5
Rút m ta có: m=2t22
t Lập bảng biên thiên 4 12
5
m hoặc –5 < m 4
Bài 16 Giải và biện luận phương trình:
mx 1 (m x2 2 2mx 2) x3 3x2 4x 2 (4)
Giải
(4) (mx 1) 3 mx 1 (x 1) 3 (x 1)
Xét hàm số: f(t)= 3
t t, hàm số này đồng biến trên R
f mx( 1) f x( 1) mx 1 x 1
Giải và biện luận phương trình trên ta có kết quả cần tìm
1 m 1 phương trình có nghiệm x = 2
1
m
m = –1 phương trình nghiệm đúng với x 1
Các trường hợp còn lại phương trình vô nghiệm
Bài 17 Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x y xy2 2 x y 3xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
xy
xy
Giải
Ta có x y xy2 2 x y3xy
xy x y( ) x y 3 (1)xy do x >0 ; y > 0 nên x + y > 0
Mà P = (x + y)2 + 2 - 1
xy Lại có (1)
1
1
Trang 7Nên P = (x + y)2 +1 + 3
x y Đặt x + y = t ( t 4) 2 3
t
Ta có f t'( ) = 2t -
3
0 t>4
t
mà f t( ) liên tục trên nửa khoảng 4;
Nên f t( ) đồng biến trên nửa khoảng 4; => 71
4
Pf t f Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng 71
4
khi x= y = 2
Bài 18. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x3 1 m x( 21) (1 m x) 1
Giải
Ta có
2
2
1
1
x
Bảng biến thiên
t
3
13
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm
11 7 3
0;
13
[0; ] 13
ax ( )
t
f’(t) = 1 – 2t
Bảng biến thiên
t
3
f(t)
1 4
[0; ] 13
ax ( )
t
4
Bài 19 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1 Chứng minh rằng: 2 7
27
ab bc ca abc
Giải
Ta có ab bc ca 2abc a b c ( ) (1 2 ) a bc a (1 a) (1 2 ) a bc Đặt t= bc thì ta có
0
Xét hs f(t) = a(1- a) + (1 – 2a)t trên đoạn 0;(1 )2
4
a
Có f(0) = a(1 – a) ( 1 )2 1 7
a a
Trang 82 2
a
với mọi a 0;1
27
ab bc ca abc Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3
Bài 20. Cho x,y R và x, y > 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 3 2 2
( 1)( 1)
P
Giải
2
4
t
xy
1
P
xy t
2
4
t xy
2
3 2
2 2
(3 2) 4
2 1
4
P
t
Xét hàm số
2
4
t 2 4 +
f’(t) - 0 +
f(t) + +
8
Bài 21 Cho x y z, , thuộc 0;2 và x y z 3 Tìm giá trị lớn nhất của A x 2 y2z2
Giải
Giả sử: x y z 3 x y z 3z z 1 z1;2
Lại có:
2
(1) 5; (2) 5;
Kết hợp (*) ta có
Vậy maxA 5 khi x0;y1;z2
