Đề thi thử đại học môn Toán khối A số 3

b Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị A, B và C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1.. Tính thể tích của khối chóp S.AMN và khoảng cách giữa hai đường th

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG

Web: http://violet.vn/vanlonghanam

ĐỀ 3

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn thi: TOÁN – KHỐI A, A1, B

Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian phát đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( 7,0 điểm)

Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số yx42mx2 (1), 1 m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B và C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: 3(sin2x + sinx) + cos2x - cosx = 2

2 Giải phương trình: 3  23  2

x  x x x

Câu III ( 1,0 điểm) Tính tích phân I = 2

1

ln (3 ln )

e

x dx



Câu IV.( 1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC, có tam giác ABC vuông tại B,AB= a, BC = a 3, mp(SAC) vuông góc mp(ABC), SA = SC = a 2 Gọi M, N lần lượt là trọng tâm tam giác SAB và SAC Tính thể tích của khối chóp S.AMN và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB theo a

Câu V ( 1,0 điểm) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn x2y2  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1

        

II PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a ( 2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x +y =12 2 Đường tròn (C') tâm I(2;2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB = 2 Viết phương trình đường thẳng AB

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;6;6), B(3;-6;-2) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho tổng MAMB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu VII.a ( 1,0 điểm)

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết z( 5i) (12  5 )i

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình x2y22x4y20 0

và điểm A(3;0) Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN

có độ dài:

a) Lớn nhất b) Nhỏ nhất

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I(0;0;1), K(3;0;0) Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm I, K và tạo với mặt phẳng Oxy một góc bằng 30o.Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm dạng lượng giác của số phức sau: z1i 3

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

1.a

Câu 1 a) Khi m 1, ta cĩ: yx42x2 1

Tập xác định: DR

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên: y'4x34 ; 'x y 0 x 1 hoặc x0 hoặc x 1

Các khoảng đồng biến: ( 1; 0) và (1; , khoảng nghịch biến ()   và (0;1) ; 1)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x 0, yCĐ  ; đạt cực tiểu tại 1 x  1 và y CT 0

Giới hạn: lim

   và lim

  

Bảng biến thiên:

1

0 0

+∞

+∞

+

-+

1 0

-∞

y y' x

Đồ thị:

0.25 0.25

0.25

0.25

1.b

b) Ta cĩ y' 4x3 4mx 4 (x x2 m y); ' 0 x2 0









, vậy đồ thị hàm số (1) cĩ ba điểm cực trị khi và chỉ khi m 0

Các điểm cực trị hàm số là A(0;1); (B  m;1m2); (C m;1m2) Gọi I là tâm và R là

bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Do ,B C đối xứng nhau qua trục tung nên

tam giác ABC cân tại A , do đĩ tâm I nằm trên Oy , giả sử:

0

2

y

y







1 5

2 hoặc

I I BR  m m  m m m  , do

0.25

0.25

0.25

m  nên chỉ nhận 1; 1 5

2

m m 

I I BR  m m  , phương trình này vô nghiệm do

 22

m m m 

2

m m  là hai giá trị cần tìm

0.25

2

Câu 2a Giải phương trình 3(sin 2xsin )x cos x2 cosx2

2

      

6 1 sin

6

2 ,

2 3

x

x























 







 







0.25 0.25

0.25

0.25

2

Câu 2b Giải phương trình sau 3  23  2

x  x x x

Điều kiện: 1 x 1

Phương trình đã cho tương đương với

x x x x x  x x x

Đặt

2

2

t

t  x x x x   , khi đó phương trình (*) trở thành:

t     t  t  t   t t  t 

2

2 2

2 1

2 2 1 0

2 1

t t

t

t

 



 



(i) Với t 2 x 1x2  2  1x2  2 x

0.25

0.25

0.25

 2

2

(ii) Với t  2 1  x 1x2   2 1  vô nghiệm do VT   1 VP

(iii) Với

t    x x     x    x

2

2

x

x





Vậy phương trình có hai nghiệm là 2, 1 2 2 2 1

0.25

3

Câu 3 (1.0 điểm) Tính tích phân I = 2

1

ln (3 ln )

e

x dx



Ta có

Đặt t 3 lnx lnx t 3 dt 1dx

x

Đổi cận

4

4

3

t



0.25

0.5

4

Câu 4

Tính V SAMN:

Ta có AC2aSA2SC2 AC2 SASC

Hạ SH AC, do(SAC)(ABC)SH (ABC SH), a

Gọi K là trung điểm của AB Ta có 2 2 4

3 3 9

SAMN SAKH

3

Tính d SC AB( , ):

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ sao cho (0; 0; 0), (0; ; 0), ( 3; 0;0), ( 3; ; )

2 2

SC  a AB a CA a a

( , )

7 ,

d SC AB

SC AB

  

 

0.25

0.25

0.25

5

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x y, là hai số dương thỏa mãn x2y2  Tìm giá trị nhỏ nhất của 1

biểu thức A 1 x 1 1 1 y 1 1

        

          

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

x y



Cộng theo vế ta được

Dấu đẳng thức xảy ra

x y

x y

x y





  





Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 2 khi 4 2

2

x y

0.25

0.25

0.25

0.25

II.PHẦN RIÊNG (3.0 điểm):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)

6.a.1

A.Theo chương trình chuẩn

Câu 6.a.1 Đường tròn ( )C có tâm O(0;0)và bán kính r 1 Gọi H là hình chiếu vuông

góc của O trên AB thì H là trung điểm của đoạn AB 2

AB HA

Tam giác OHA vuông tại H, ta có: 2 2 1 1 1

Đường tròn ( ')C tâm I(2; 2) Nên đường thẳng ABchính là đường thẳng vuông góc với

0.25

OI và cách O một khoảng 1

2

Do OI(2; 2) AB x: y c 0

c

Vậy cĩ hai đường thẳng cần tìm là: xy 1 0 và x y 1 0

0.25 0.25

6.a

Câu 6.a.2 M(Oxy)M x y( ; ; 0)

Ta cĩ: MA  ( 1 x;6y; 6),MB(3x; 6 y; 2)

Phương trình mặt phẳng (Oxy) :z 0, do A cĩ cao độ bằng 6, B cĩ cao độ bằng -2 nên hai

điểm A B, nằm về hai phía đối với mặt phẳng (Oxy)

Ta cĩ MA MB AB (không đổi)min(MAMB) AB, đạt được khi ba điểm

, ,

A B M thẳng hàng MA

và MB

3

x

y





 

Vậy điểm cần tìm là M(2; 3; 0)

0.25

0.25 0.5

7.a

2 ( 5 ) (1 5 ) (4 2 5 )(1 5 ) 14 2 5

Vậy z = 142 5 i

Phần thực của z là 14 và phần ảo là 2 5

0.5 0.25 0.25

B.Theo chương trình nâng cao

Câu 6.b.1

Đường trịn ( )C cĩ tâm I ( 1; 2), bán kính R  5

a).Dây MN lớn nhất khi MN là đường kính của ( )C Do đĩ ( ) là đường thẳng đi qua A

0.25

6.b

và I

Ta có IA  (4; 2)

suy ra phương trình đường thẳng ( ) là 3 0 2 3 0

b).Kẻ IH MN tại H Dây MN nhỏ nhất khi IH lớn nhất

Ta có: IH IA2 5IH max 2 5 khi H A  ( ) IA tại A

Vậy ( ) đi qua ( ) và nhận IA (4; 2)

làm véctơ pháp tuyến có phương trình:

4(x3) 2( y0)02xy 6 0

0.25

0.25 0.25

6.b

Câu 6.b.2 Gọi mặt phẳng cần tìm là ( ) : AxByCzD0 (A2B2C2 0)

Ta có I(0; 0;1)( ) CD0 (1)

(3;0; 0) ( ) 3 0

K    AD (2)

( ) và (Oxy) có véctơ pháp tuyến lần lượt là n( ; ; ),A B C k(0; 0;1)

( ) tạo với (Oxy)

một góc bằng 30o nên ta có

2

 

 

 

3A 3B C 0

Từ (1) và (2), ta có C3A thế C3A vào (3) ta được

3A 3B 9A  0 B 2A B  2A

Chọn A1,B  2C 3,D 3

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là: x 2y3z 3 0 và x 2y3z 3 0

0.25

0.25

0.25 0.25

7.b

Câu 7.b Tìm dạng lượng giác của số phức sau 1 3

3

i z

i







1 3

2

2 2

sin

i z

i

cos i i



    

Cách khác: 1 3

3

i z

i





 =

(1 3)( 3 )

0 ( 1) ( ) sin( )

        

0.5

0.5

1