Gọi M là trung điểm của SA.. Mặt phẳng BCM cắt SD tại N.. Tính thể tích khối chóp S.BCMN và khoảng cách giữa SB và AC.. Viết phương trình đường tròn C có tâm I thuộc d3, cắt d1 tại A và
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1( 2 điểm) : Cho hàm số 3 2
y = − + x x − a*) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên
b*) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3−3x2+ =m 0
Câu 2 ( 1 điểm ) :
a*) Giải phương trình: 2sin2x + 3cosx – 2 = 0
b*) Tìm số phức liên hợp của
1 (1 )(3 2 )
3
i
+
Câu 3* ( 0,5 điểm): Giải phương trình 2x−23 −x− =2 0
Câu 4 (1,0 điểm) Giải phương trình: x4+ + + = x2 1 x x (1 − x2)
Câu 5* ( 1 điểm): Tính Tích phân 2
0 cos
π
=∫
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA a = , SA ⊥
(ABCD) Gọi M là trung điểm của SA Mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCMN và khoảng cách giữa SB và AC.
Câu 7( 1,0 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 3 đường thẳng d x1: + 2 y − = 6 0 ; d x2: + 2 y = 0 và
3: 3 2 0
d x y − − = Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d3, cắt d1 tại A và B, cắt d2 tại
C và D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Câu 8 *( 1 điểm ) : Cho mặt cầu (S): x2+ y2+ − z2 2 x + 6 y − + = 8 z 1 0
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S)
b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1)
Câu 9* (0.5 điểm) Cho khai triển:
3 x + 1 n= a + a x a x + + + a xk k+ + a xn n, (k n N, ∈ ;0≤ ≤k 2n)
Biết rằng: a0− + a1 a2− + − ( ) 1 kak + + a2n = 4096 Tìm hệ số của x8 trong khai triển.
Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: x y z+ + =1
Trang 2Tìm giá trị nhỏ nhất của: P= x y xy z+ + y z yz x+ + z x zx y+
c) d) ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Câ
u 1
(1,0) )
a • TXĐ: D = R.
• y ' = − 3x2+ 6x
2
x y
x
=
• Giới hạn: lim , lim
0.25
• Bảng biến thiên:
0.25
• Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên (−∞;0) và (2;+∞)
• Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1 0.25
• Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học
môn toán
0.25
Trang 3b • x3−3x2+ = ⇔ − +m 0 x3 3x2− = −1 m 1
• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = − + x3 3 x2− 1 với đường thẳng y = m – 1
0,5
Vậy
m − > ⇔ > m : Phương trình có 1 nghiệm
m − = ⇔ = m : Phương trình có 2 nghiệm
3 > − > − ⇔ > > m 1 1 4 m 0: Phương trình có 3 nghiệm
m − = − ⇔ = m :Phương trình có 2 nghiệm
m − < − ⇔ < m : Phương trình có 1 nghiệm
0,5
Câu 2
(1,0)
a, 2sin2x + 3cosx – 2 = 0 (1)
• Pt (1) ⇔ 2(1 – cos2x) + 3cosx – 2 = 0 ⇔ 2cos2x – 3cosx = 0 (*)
• đặt t = cosx (t ≤ 1)
• Pt (*) trở thành : 2t2 – 3t = 0 ⇔
t = 0 3
t = 2
So sánh điều kiện t = 0 thỏa mãn
• Với t = 0 ⇒ cosx = 0 ⇔ x = k2π (k ∈ Z)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = k2π (k ∈ Z)
0,25
0,25
b, Ta có 3 3
i i
0.25
Trang 4Suy ra số phức liên hợp của z là: 53 9
10 10
Câu 3 ( 0,5 điểm)
2
x
−
Đặt 2 ,x 0
t = t >
Phương trình trở thành:
2 8 0
2 ( )
t nhan
t t
t loai
=
− − = ⇔ = −
0.25
t= ⇔ = ⇔ =x
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
0.25
Câu 5
(1)đ
2 0 cos
I x xdx
π
=∫
2
0
π
0,5
0,5
Câu 6
(1)đ
Do (BCM) // AD nên mp này cắt mp (SAD) theo giao tuyến MN // AD.
Ta có
BC AB
BC BM
BC SA
⊥
Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao,
5
;
MN = BM =
.
‘0.5
Trang 5Diện tích hình thang BCMN là
2
5
BCMN
a a a
a S
+
Dụng SK ⊥ BM , do BC⊥(SAB)⇒BC⊥SK⇒SK ⊥(BCMN)
Có
5 ( , )
5
a
SK =d A BM =
Vậy
.
S BCMN
Trong mặt phẳng (ABCD) dựng ∆ qua B song song với AC Đặt (P) = ( ∆ , SB).
Khi đó, AC // (P) và d(AC; SB) = d(AC; (P)) = d(A; (P))
Từ A hạ AI ⊥ ∆ tại I; Từ A hạ AH ⊥ SI tại H suy ra AH = d(A; (P))
Ta có AI =
3 3 2
AH
0.5
Câu 7
(1)đ
Gọi I(a; 3a – 2)
Vì ABCD là hình vuông ⇒ d(I, AB) = d(I, CD) = d
0,25
=
3
5
⇔
0.25
Bán kính: 3 2
R = d 2 =
5
0.25
B A
d I
Trang 6⇒ pt(C): ( )2 ( )2 18
x - 1 + y - 1 =
5
0.25
Câu 8
(1)đ a.Từ phương trình mặt cầu ta có:
− = − =
0,25
Tọa độ tâm I(1; -3; 4)
Bán kính: r = 1 9 16 1 5 + + − =
0,25
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp
(0; 4; 3)
IM = − uuur
0,25
Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT IMuuur=(0; 4; 3)− có phương trình:
0( 1) 4( 1) 3( 1) 0
A x x B y y C z z
y z
0,25
Câu 9
0.5 đ
Ta có:
Thay x = -1, ta có: (-2)2n = a0 – a1 + a2 - … + (-1)kak +…+ a2n
Từ giả thiết suy ra: (-2)2n = 4096 ⇒ n = 6
0.25
Với n = 6, ta có khai triển:
( )12 0 1 2 2 12 12
⇒ Hệ số của x8 trong khai triển là: C 3128 8
0.25
Câu 10
1 đ
Ta có x y z+ + = ⇒ + = −1 x y 1 z
0.5
Trang 71 1
Khi đó
P
xy z yz x zx y
1 (1 )(1 )
z
−
1 (1 )(1 )
x
−
1
(1 )(1 )
y
−
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
Vậy MinP = 3 đạt được khi
1 3
x= = =y z
0.5