Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC.. Hai mặt phẳng SCA và SCB hợp với nhau một góc bằng α =
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1* (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3− (m + 1)x + 5 − m2.
1) Khảo sát hàm số khi m = 2;
2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng
Câu 2* (1,0 điểm)
1 Giải phương trình: 3sin x − cos x + − 2 cos 2 x − sin 2 x = 0
2 Gọi z z1; 2 là 2 nghiệm phức của phương trình sau: z2 − + = z 1 0,( z C ∈ )
Tính A= z1 + z2
Câu 3* (0,5 điểm) Giải bất phương trình sau:
1 log + x + log x + > 2 log 6 − x
Câu 4 (1,0 điểm)
+ + − − =
− − − + + =
Câu 5* (1,0 điểm)
Tính tích phân sau:
3
0
3
x
dx
− + + +
∫
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a ,tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc bằng α =600 Xác định rõ góc α và tính thể tích của khối chóp S.ABC
theo a
Câu 7 (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC,phương
trình đường thẳng DM: x y 2 0 − − = và C 3; 3 ( − ) .Biết đỉnh A thuộc đường thẳng
d : 3x y 2 0 + − = ,xác định toạ độ các đỉnh A,B,D.
Câu 8* (1,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và hai đường thẳng
1 ( ) :
( ') :
Chứng minh: điểm M, (d), (d’) cùng nằm trên
một mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó.
Câu 9* (0,5 điểm)
Cho tập A = { 0;1;2;3;4;5 } , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.
Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z ≥ 0 thoả mãn x+y+z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
( )
3
16
P
x y z
+ +
=
+ +
Trang 2ĐÁP ÁN
2 Cú y’ = 3x2− (m + 1) Hàm số cú CĐ, CT ⇔ y’ = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt
Phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là
2
2
3
y = m + x + − m
0,25 Cỏc điểm cực đại, cực tiểu và điểm I(0 ; 4) thẳng hàng
2
1
m m
⇔ − =
2 1 sin x cos x 1 2sin x 2sin x 2sin x cos x 0 − + + + 2 − =
⇔ (1+2sinx)(sinx - cosx +1) = 0
0,25
2
1
sinx 2
2
− = −
⇔
7 2 6 2 6 3 2 2 2
x k
π
= +
−
= +
= +
=
k ∈ Â
0,25
2
;
3
3 ĐK: 0< <x 6 BPT ( 2 ) ( )2
0.25
Trang 3Hay: BPT 2 ( )2 2
⇔ + > − ⇔ + − >
Vậy: x < − 18 hay 2 x <
4
Đặt
3
Khi đó hệ ban đầu trở thành:
( )
u v
+ =
− − + =
5
x + ⇒ u − = ⇒ x udu dx = ; đổi cận: 0 1
= ⇒ =
= ⇒ =
Ta có:
2
+ + +
1
2
1
2
6
Gọi H là trung điểm của AB⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC )
0,25
( SAC ; SBC ) ( ) ( KA; KB ) 600
Nếu ⇒ ∠ AKB 60 = 0 thì dễ thấy ∆ KABđều ⇒KA KB AB AC= = = (vô lí)
Vậy ∠ AKB 120 = 0
∆ΚΑΒcân tại K⇒ ∠ AKH 60 = 0
0
KH
0,25
Trong ∆ SHC vuông tại H,đường cao
KH
2 3
=
HC
2
SH
8
=
0,25
Trang 42 3
7
Gọi A( t; 3t 2 − + ) Ta có khoảng cách:
( ) ( ) 4t 4 2.4
d A,DM 2d C, DM t 3 t 1
−
hay A 3; 7 ( − ∨ ) A 1;5 ( − ).Mặt khác A,C nằm về 2 phía của đường thẳng DM nên chỉ có A( − 1;5 )
thoả mãn
Gọi D( m;m 2 − ) ∈ DMthì AD uuur = ( m 1;m 7 ,CD + − ) uuur = ( m 3;m 1 − + )
Do ABCD là hình vuông
( ) (2 ) (2 ) (2 )2
m 5 m 1 DA.DC 0
m 1 m 7 m 3 m 1
DA DC
= ∨ = −
=
uuur uuur
m 5
⇔ =
Hay D( ) 5;3 AB DC uuur uuur = = − − ⇒ ( 2; 6 ) B 3; 1 ( − − )
Kết luận A( − 1;5 ) ,B 3; 1 ( − − ) , D( ) 5;3
0,5
0,5
8
*(d) đi qua M1(0; 1;0) − và có vtcp u uur1 = − − (1; 2; 3)
(d’) đi qua M2(0;1; 4) và có vtcp u uur2 = (1; 2;5)
*Ta có u u uur uur1; 2 = − − ( 4; 8; 4) ≠ O ur , M M uuuuuuur1 2 = (0; 2; 4)
Xét u u uur uur uuuuuuur1; 2 M M1 2 = − + = 16 14 0
(d) và (d’) đồng phẳng
0,5
*Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d) và (d’) => (P) có vtpt n ur = (1; 2; 1) − và đi qua M1 nên có phương
trình x + 2 y z − + = 2 0
*Dễ thấy điểm M(1;-1;1) thuộc mf(P) , từ đó ta có đpcm
0,5
9 -Gọi số cần tìm là abcde a ( ≠ 0 )
-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.
Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: 2
5
A cách
3 vị trí còn lại có A43cách
Suy ra có 2 3
5 4
A A số
0.25
Trang 5-Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.
Xếp 3 có 4 cách
3 vị trí còn lại có 3
4
A cách Suy ra có 4.A43 số
Vậy số các số cần tìm tmycbt là: 2 3
5 4
A A - 3
4
4.A = 384
0.25
10
4
x y
(với t = z
a, 0≤ ≤t 1)
0.25
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t∈ [ ] 0;1 Có
9
f t = t − − t f t = ⇔ = ∈ t
0.25
Lập bảng biến thiên
( )
[ ] 0;1
64 inf
81
t
∈
81 đạt được khi x = y = 4z > 0
0.25
Chú ý : Học sinh làm cách khác mà vẫn đúng vẫn được điểm tối đa