Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.. Gọi M là trung điểm của BB’.. Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a.. Cho hình bình hành ABCD c
Trang 1Trường THPT Lam Kinh
THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA - LẦN I - NĂM 2015
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian phát đề).
Câu 1 (4.0 điểm) Cho hàm số 2 1
2
x y x
+
= + (1).
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu 2 (2.0 điểm).
a Giải phương trình cos x cos3x 1 2 sin 2x
4
π
b Giải phương trình 1 2 1
logx =1 logx−6
+
Câu 3 (1.0 điểm) Giải bất phương trình 2.14 x+3.49x− ≥4x 0
Câu 4 (4.0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có AC = a, BC= 2a, ·ACB= 120o Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 300 Gọi M là trung điểm của BB’ Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CC’ theo a.
Câu 5 (1.0 điểm) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 7
n
x
−2 2 , biết rằng n là số
nguyên dương thỏa mãn 4C n3+1+2C n2 = A n3
Câu6 (2.0 điểm) Tính nguyên hàm ∫(e x −2015)xdx
Câu 7 (2.0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I
của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C và D.
Câu 8 (2.0 điểm) Giải hệ phương trình:
1 4
+ + + =
( ,x y∈R )
Câu 9 (2.0 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
1 1 2 2
a
a b a c a b c a c a b
HẾT…
Trang 2Họ tên thí sinh: SBD:
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ÔN ĐH - CĐ LẦN I NĂM 2015) Câu Đáp án Điể m Câu 1 (4.0đ) a.(2.0đ) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1 2 x y x + = + . i/ TXĐ: D = R\{-2} ii/ Sự biến thiên + Giới hạn- tiệm cận Ta có: = = =−∞ =+∞
− + → − − → +∞ → −∞ → 2 2 lim ; lim ; 2 lim lim x x x x y y y y Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = -2 và một tiệm cận ngang là y= 2 0,5 + Chiều biến thiên Có x D x y > ∀ ∈ + = 0 ) 2 ( 3 ' 2 Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;−2) và (−2;+∞) 0,5 + Bảng biến thiên x −∞ -2 +∞
y’ + +
+∞ 2
y
2 −∞
0,5
iii/ Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;
2
1 ) và cắt trục Ox tại điểm(
2
1
− ;0)
Đồ thị nhận điểm (-2;2) làm tâm đối xứng
21
0,5
b (2.0 đ) Chứng minh rằng đường thẳng d: y = - x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình
=
− +
− +
−
≠
⇔ +
−
= +
+
) 1 ( 0 2 1 ) 4 (
2 2
1 2
x
x m x x
x
0.5
Do (1) có∆=m2 +1>0va (−2)2 +(4−m).(−2)+1−2m=−3≠0∀m nên đường 0.5
x
y
O 2 -2
Trang 3Ta có: y A = m – x A ; y B = m – x B nên AB 2 = (x A – x B ) 2 + (y A – y B ) 2 = 2(m 2 + 12) mà
AB ngắn nhất khi AB 2 nhỏ nhất, đạt được khi m = 0 ( khi đó AB= 24) 1.0
Câu2
4
π
. cos x cos3x 1 2 sin 2x
4 2cos x cos 2x 1 sin 2x cos2x
π
⇔ 2cos x 2sin x cos x 2cos x cos 2x 02 + − =
0.25
cos x cos x sinx 1 sinx cosx 0
cos x 0 cos x sinx 0
1 sinx cosx 0
=
2
4
x k2 3
2
π
= + π
= − + π
⇔
= π
(k∈¢)
Vậy, phương trình có nghiệm:
2
4
x k2
π
= + π
= − + π
= π
(k∈¢ )
0.25
logx =1 logx−6
+
ĐK: x > 0 và x ≠1; x≠
10
1
0.25
Đặt t = logx, được phương trình theo ẩn t là:
t 2 - 5t + 6 = 0 (với t≠0 và t≠-1) 2
3
t t
=
⇔ =
0.5
Với t = 2 thì ta có x = 100 (t/m)
Với t= 3 thì ta có x = 1000 (t/m)
Vậy phương trình có hai nghiệm là x =100 và x = 1000 0.25
Trang 4Chia cả hai vế của bpt cho 4 x được bpt
2
⇔ ÷ + ÷ − ≥
Đặt 7
2
x
t= ÷ (với t > 0 ) Bpt trở thành 3t2 + 2t – 1 ≥ 0
1
1 1
3 3
t
t t
≤ −
≥
0.5
7 1
x
⇔ ÷ ≥
log 3
x
⇔ ≥ −
KL: BPT có tập nghiệm
∞ +
−
= log 3;
2 7
Câu 4
(4.0đ)
0.5
Kẻ đường cao CH của tam giác ABC.Có CH⊥AB ;CH⊥AA’ suy ra CH⊥
(ABB’A’),Do đó góc giữa A’C và mp(ABB’A’) là góc · 0
' 30
.sin120
ABC
a
S∆ = CA CB =
Trong tam giác ABC : AB2 = AC2 +BC2 −2AC BC c os1200 =7a2 ⇒ AB a= 7 0,5
30 0
M H
C/
B/
A/
C
B
A
120 0
2a a
Trang 5
ABC
a
' sin 30 ' 2
7
CH = A C ⇒ A C = a
7
AA = A C −AC =a
0,5
+)
3 ' ' '
15 '
2 7
a
+)d(CC’ ;AM)=d(CC’ ;(ABB’A’))=d(C;(ABB’A’))= 3
7
Câu 5
n
x
số nguyên dương thỏa mãn 4C n3+1+2C n2 = A n3.
6
) 1 ((
) 1 ( 4 2
0,25
11
) 2 ( 3 3 ) 1 ( 2
=
⇔
−
= + +
⇔
n
n n
0,25
11 0
3 22 11
11 0
11 2 11
11
=
−
=
−
=
−
k
k k k k
k k
x x
C x
x
Số hạng chứa x là số hạng ứng với k thỏa mãn 7 22−3k =7⇔k =5
Suy ra hệ số củax là 7 5.( 2)5 14784
11 − =−
C
0,5
Câu 6
Đặt
−
=
=
dx e
dv
x u
x 2015)
−
=
=
⇒
x e
v
dx du
Khi đó
∫(e x −2015)xdx =x(e x −2015x)−∫(e x −2015x)dx
0,5
2 2015 (
e x
xe x − − x −
=xe x −e x − x2 +C
2
Trang 6Câu 7
(2.0đ) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh C
và D.
Ta có:uuurAB= −( 1;2)⇒ AB= 5 Phương trình của AB là: 2x y+ − =2 0
0,5
I∈ d y x= ⇒I t t I là trung điểm của AC và BD nên ta có:
(2 1;2 ,) (2 ;2 2)
C t− t D t t−
Gọi CH là đường cao kẻ từ đỉnh C của hình bình hành
Theo giả thiết S ABCD =AB CH =4 4
5
CH
⇒ =
0,5
Ta có: ( )
;
t
d C AB CH
= ⇒
Vậy tọa độ của C và D là 5 8; , 8 2;
C D
hoặc C(−1;0 ,) (D 0; 2− )
1.0
Câu8
(2.0đ) Giải hệ phương trình:
1 4
+ + + =
NX: hệ không có nghiệm dạng (x0 ;0)
Vớiy≠0, ta có:
2
2
1
4
1 4
x
x y y
x y
y
+ + + =
+ + + = ⇔
0.5
Đặt
2 1 ,
x
y
+
= = + ta có hệ:
− = + − = = − =
0,5
+) Với v=3,u=1ta có hệ:
2, 5
= =
+ = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔
+ = = − = − = − =
KL: Hệ pt có hai nghiệm là: (1; 2) và (-2; 5)
0,5
Trang 7+) Với v= −5,u=9ta có hệ:
+ = ⇔ + = ⇔ + + =
+ = − = − − = − −
VN
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y = − 0,5
Câu 9
(2.0đ)
Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
a
a b a c a b c a c a b
Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên:
a b c
b c a
c a b
+ >
+ >
+ >
a b c a
x y a z x y z x y z y z x z x y
+ = + = = > ⇒ + > + > + >
Viết lại vế trái:
2
VT
a c a b a b c
y z z x x y
0,5
Ta có: x y z z x y z( ) 2z x y( ) 2z z
x y z x y
+ > ⇔ + + < + ⇔ >
+ + + . Tương tự: x 2x ; y 2y
y z < x y z z x < x y z
2
x y z
y z z x x y x y z
+ +
a
a b a c a b c a c a b
0,5
