a Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị C của hàm số ủó cho.. Gúc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD bằng 45.. S MCD và khoảng cỏch giữa hai ủường thẳng SM và BD.. Hỡnh chiếu vuụng gúc
Trang 1Trường thpt lương thế vinh
Hà nội
Năm học 2014 - 2015
đề thi thử thpt quốc gia năm 2015
Môn thi: Toán Môn thi: Toán Lần thứ 3 Lần thứ 3 Lần thứ 3
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
- Ngày 16.5.2015 -
Cõu 1 (2,0 ủiểm) Cho hàm số 3 2
1
x y x
ư
=
ư a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ ủồ thị (C) của hàm số ủó cho
b) Tỡm cỏc giỏ trị của m ủể ủường thẳng : d y= ư + cắt ủồ thị (x m C) tại hai ủiểm phõn biệt
Cõu 2 (1,0 ủiểm)
a) Cho gúc α thỏa món: 3
2
π
M = α+ α +π + π ư α
b) Cho số phức z thỏa món hệ thức: (i 3)z 2 i (2 i z)
i
+ + + = ư Tỡm mụủun của số phức w= ư z i
Cõu 3 (0,5 ủiểm) Giải bất phương trỡnh: log (2 xư2) log+ 0,5x< 1
Cõu 4 (1,0 ủiểm) Giải bất phương trỡnh: xư xư >2 x3ư4x2+5xư x3ư3x2 + 4
Cõu 5 (1,0 ủiểm) Tớnh tớch phõn: 2 ( )
0
cos 2
π
Cõu 6 (1,0 ủiểm) Cho hỡnh chúp S ABCD cú ủỏy là hỡnh thang vuụng tại A và B ; AB=BC =a; 2
AD= a; SA⊥(ABCD) Gúc giữa mặt phẳng (SCD và mặt phẳng () ABCD bằng ) 45 Gọi M là trung 0
ủiểm AD Tớnh theo a thể tớch khối chúp S MCD và khoảng cỏch giữa hai ủường thẳng SM và BD
Cõu 7 (1,0 ủiểm) Trong mặt phẳng tọa ủộ Oxy cho tam giỏc ABC cú phương trỡnh ủường phõn giỏc ,
trong gúc A là d x: + ư = Hỡnh chiếu vuụng gúc của tõm ủường trũn nội tiếp tam giỏc ABC lờn y 3 0
ủường thẳng AC là ủiểm E(1; 4) ðường thẳng BC cú hệ số gúc õm và tạo với ủường thẳng AC gúc
0
45 ðường thẳng AB tiếp xỳc với ủường trũn ( )2 2
( ) :C x+2 + y = Tỡm phương trỡnh cỏc cạnh của tam 5 giỏc ABC
Cõu 8 (1,0 ủiểm) Trong khụng gian với hệ tọa ủộ Oxyz , cho ủiểm A(1; 1;0ư ) và ủường thẳng
:
ư Lập phương trỡnh mặt phẳng ( )P chứa A và d Tỡm tọa ủộ ủiểm B thuộc trục Ox sao cho khoảng cỏch từ ủiểm B ủến mặt phẳng ( ) P bằng 3
Cõu 9 (0,5 ủiểm) Trong ủợt xột tuyển vào lớp 6A của một trường THCS năm 2015 cú 300 học sinh ủăng
ký Biết rằng trong 300 học sinh ủú cú 50 học sinh ủạt yờu cầu vào lớp 6A Do khụng ủược tổ chức thi tuyển, nhà trường quyết ủịnh bốc thăm ngẫu nhiờn 30 học sinh từ 300 học sinh núi trờn Tỡm xỏc suất ủể trong số 30 học sinh chọn ở trờn cú ủỳng 90% số học sinh ủạt yờu cầu vào lớp 6A
Cõu 10 (1,0 ủiểm) Cho cỏc số thực a b dương và thỏa món , ab ≥ 1
T
Trang 2Tr−êng thpt l−ểng thạ vinh
Hộ néi
Năm học 2014 Ờ 2015
ệịp ịn Ờ thang ệiÓm
ệÒ thi thỏ thpt quèc gia nẽm 2015
Mền thi: Toịn
Mền thi: Toịn Ờ Lẵn thụ Lẵn thụ Lẵn thụ 3 33
- đáp án có 06 trang -
Câu đáp án điểm a) (1,0 ựiểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ựồ thị của hàm số 3 2 1 x y x − = − . Tập xác ựịnh: D = R\{1} lim 3; lim 3 x y x y →−∞ = →+∞ = suy ra tiệm cận ngang y = 3 1 1 lim ; lim x x y y + − → = +∞ → = −∞ suy ra tiệm cận ựứng của ựồ thị hàm số là ựường thẳng x = 1 đạo hàm: ( )2 1 ' 0 1 1 y x x − = < ∀ ≠ − 0,25 Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;1 ) và ( 1; +∞ ) Hàm số không có cực trị 0,25 Bảng biến thiên: x −∞ 1 +∞
y' - -
y 3 +∞
−∞ 3
0,25
đồ thị: (Hs có thể lấy ựiểm (2; 4); (0; 2) ) 0,25
b) (1,0 ựiểm) Tìm các giá trị của m ựể d y : = − + x mcắt ựồ thị ( C ) tại hai ựiểm phân biệt.
Phương trình tương giao: 3 2
1
x
x m x
−
= − +
2
0,25
đK: (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 0
(1) 0
f
∆ >
⇔
≠
2
⇔ − − > 0,25
1
(2,0ự)
6; 2
⇔ > < 0,25
a) (0,5 ựiểm) Cho tan α = 2 3
2
π
Ta có 12 2 2 1 1 3
π
α
0,25
5 − 5 0,25
2
(1,0ự)
b) (0,5 ựiểm) Cho 2
( i 3) z i (2 i z )
i
+ + + = − Tìm môựun của số phức w = − z i.
Trang 3Gọi ( 2 )
z = + a ib a b ∈ R i = − Từ giả thiết ta có:
1
5
a a
= −
+ =
0,25
Từ ñó: 1 1
z − = − − i i = + = 26
5 0,25
Giải bất phương trình: log (2 x − 2) log + 0,5x < 1
ðiều kiện: x > 2
Bpt 2( ) 2 2
3
(0,5ñ)
⇔ − < ⇔ > −
Kết hợp ñiều kiện ta ñược nghiệm của bpt là x > 2 0,25
Giải bất phương trình: x − x − > 2 x3− 4 x2+ 5 x − x3− 3 x2+ 4.
Bpt ( )2 ( )2
⇔ − − > − + − − + ( x ≥ 0 )
( )2 ( x 2) | x 2 | x 1 x 1 x 2 1
(1)
• x = 2 : (1) ⇔ > 0 2 2 (loại) x = 0 : (1) ⇔ − > − 2 2 (loại)
0,25
(1) ⇔ ( x − 2) 1 + x + 1 > x 1 + x − 2 + 1
Chia 2 vế cho x x − ( 2) > 0 ta ñược:
( )2
Xét hàm 2
2
1
t
t
+ ⇒ f t ( ) ñồng biến ∀ > t 0
(1)
2
x x
⇔ >
−
0,25
2
⇔ − > ⇔ − + > ⇔ > <
Kết hợp x > ⇒ > 2 x 4 0,25
4
(1,0ñ)
• 0 < < x 2 :
(1) ⇔ ( x − 2) 1 − x + 1 > x 1 + x − 2 + 1
Chia 2 vế cho x x − ( 2) < 0 ta ñược:
( )2
x x
Xét hàm
2 2
1
R ⇒ f t ( ) ñồng biến ∀ t
Từ ñó 1 1
(1)
2
x x
⇔ <
− Trường hợp này vô nghiệm vì
1 0 2
x <
0,25
Trang 4Cách 2: ðK x ≥ 0 (mỗi dấu + ứng với ¼ ñiểm)
0
x = không là nghiệm Xét x > 0 :
+ Xét
( )
g x
Nếu x ≥ 1 thì g x > ( ) 0
+ Nếu 0 < < x 1: x + > ⇒ 1 1 x + > 1 1 Ta có: 1 1 1
(1) 2
3 2 ( )( )2
x − x + = x + x − = − x x + > − = − x x
⇒ x3− 4 x2+ 5 x + x3− 3 x2+ > − 4 2 x
(2) 2
x
−
− + + − + Từ (1) và (2) suy ra g x ( ) > ∀ > 0 x 0
+ f x ( ) > ⇔ − > ⇔ > 0 x 4 0 x 4 Kết hợp ðK suy ra ñáp số: x > 4
0
π
2
cos 2
= ∫ + ∫ Ta có
3 2
0 0
1
π
π π
= ∫ = = 0,25
2
0
cos 2
π
= ∫ ðặt 1
2
u = ⇒ x u = v = x ⇒ = v x
2 2 0 0
π π
0,25
2
0
π
5
(1,0ñ)
I = + = A B
3 1
24 2
π −
.
S ABCD ñáy là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a ; AD = 2 a; SA ⊥ ( ABCD ) Góc giữa
( SCD ) và ( ABCD ) bằng 450 M là trung ñiểm AD Tính thể tích S MCD , d SM BD ( , )
6
(1,0ñ)
Ta có ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD 0
CD ⊥ SA AC ⇒ CD ⊥ SAC ⇒ SC ⊥ CD ⇒ SCA = 0,25
Trang 5B
A
C I
D
F
E
J
.
1 3
2
MCD
SA = AC = a S = a
Suy ra . 1 1 2
2.
S MCD
3 2 6
a
0,25
Gọi N là trung ñiểm AB ⇒ BD //( SMN )
Suy ra:
d SM BD = d BD SMN = d D SMN = d A SMN
Kẻ ( ) , ( )
0,25
Tam giác vuông SAP có 1 2 12 12
AH = AS + AP
2
4
a
Suy ra 22
11
a
11
a
0,25
Tam giác ABC có phân giác trong góc A là d x : + − = y 3 0 Hình chiếu của tâm ñường tròn nội
tiếp tam giác ABC lên AC là E (1; 4) BC có hệ số góc âm và tạo với ñường thẳng AC góc 450
ðường thẳng AB tiếp xúc với ( )2 2
( ) : C x + 2 + y = 5 Tìm phương trình các cạnh
Gọi F là ñiểm ñối xứng với E qua d ⇒ F ( 1; 2) − Nhận xét: ( ) C có tâm I ( 2;0), − bán kính R = 5
và F ∈ ( ) C
Từ ñó AB qua F và vuông góc với IF nên có phương trình AB x : + 2 y − = 3 0
0,25
(3;0)
AB ∩ = d A ⇒ AC : 2 x + − = y 6 0
Gọi J là tâm ñường tròn nội tiếp ∆ ABC ðường thẳng ∆ qua
1 10
3 3
E ⊥ AC ⇒ ∆ x − y + = ⇒ ∆ ∩ = d J −
0,25
7
(1,0ñ)
Gọi vtpt của ñường thẳng BC là n = ( ; ), a b a2+ b2 ≠ 0 Ta có:
0
2 2
cos 45
5.
a b
+
=
+
• a = 0 : suy ra b = 0 (loại)
• a ≠ 0 : chọn a = ⇒ = 1 b 3 (thỏa mãn hệ số góc âm),
1
3
b = − (loại)
Suy ra phương trình BC x : + 3 y + = C 0
0,25
A
D
S
M
N P H
WWW.VNMATH.COM
Trang 6Do J là tâm ựường tròn nội tiếp ∆ ABC nên d J AC ( , ) = d J BC ( , )
Suy ra
29 10 2
3
C C
= ⇒ = (thỏa mãn); 29 10 2
3
= (loại vì khi
ựó A J , nằm 2 phắa BC) Từ ựó: 29 10 2
3
đáp số: AB x : + 2 y − = 3 0; AC : 2 x + − = y 6 0; 29 10 2
3
0,25
( 1; 1;0 )
:
− Lập ( ) P chứa A và d Tìm B ∈ Ox d B Ox : ( , ) = 3
đường thẳng d qua M ( − 1;1;0 ) và có vtcp u = (2;1; 3) − Ta có MA = (2; 2;0) −
( ) P qua A ( 1; 1;0 − ) và có vtpt n = MA u , = ( 6;6;6 ) Chọn n = (1;1;1) 0,25
Phương trình tổng quát của ( ) P là: 1( x − + 1) 1( y + + 1) 1( z − 0) = ⇔ + + = 0 x y z 0. 0,25 Gọi B b ( ;0;0) ∈ Ox ; | |
3
b
8
(1,0ự)
| | 3 b b 3 B ( 3;0;0)
đáp số: ( ) : P x + + = y z 0; B ổ ( 3;0; 0) 0,25
Có 300 học sinh ựăng ký Có 50 học sinh ựạt yêu cầu vào lớp 6A Bốc thăm ngẫu nhiên 30 học sinh từ
300 học sinh nói trên Tìm xác suất ựể có ựúng 90% số học sinh ựạt yêu cầu
Gọi A là biến cố: ỘChọn ựược 90% học sinh ựạt yêu cầuỢ
Chọn ngẫu nhiên 30 học sinh từ 300 học sinh có C30030 cách chọn
Chọn ựược 90% học sinh ựạt yêu cầu, tức là chọn ựược 27 em Chọn 27 học sinh từ 50 học sinh có C5027
cách
Chọn nốt 3 em từ 250 em còn lại có C2503 cách
0,25
9
(0,5ự)
Số cách chọn học sinh ựạt yêu cầu là: C5027.C2503
Xác suất của biến cố A là P A = ( )
27 3
21
50 250 30 300
.
1, 6.10
C
−
≈ 0,25
Cho a b > , 0 : ab ≥ 1 Tìm GTNN của 1 1 32
T
10
(1,0ự)
Ta có: 1 1 2 , ( 1 )
1 a + 1 b ≥ 1 ab ab ≥
Thật vậy: Quy ựồng, chuyển vế, bựt trên tương ựương với ( ) (2 )
a − b ab − ≥ (đúng)
Lại có: 2 2 2 4
2
+ + + Suy ra:
1 a + 1 b ≥ ab 3
0,25
WWW.VNMATH.COM
