Giải hệ phương trình.. Tam giác SCB là tam giác đều và mặt phẳng SBC tạo với mặt phẳng đáy ABC một góc 0 90 Tính theo a diện tích toàn phần hình chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến
Trang 1SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT CẨM LÝ
KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
MÔN: Toán Thời gian làm bài: 180 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm) ) Cho hàm số y x= 3+3x2−2 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b) Giải biện luận số nghiệm của phương trinh 3 2
x + x − + =m theo m
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Cho sinα +2cosα = −1 với
2
π α π< < Tính giá trị sin 2α
b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z+ − = +3 2i (5 i z) Tính mô đun của số phức
(3 )
w= +i z z+
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình: log (93 x−90) 3= +x Trên tập số thực
Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x x x x y x y
2 2 3 1 ( , )
2 2 3 1
−
−
Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân ( )
2 1
ln
d
x
−
=∫
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A và AB = AC =
2.a Tam giác SCB là tam giác đều và mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy (ABC) một góc 0
90 Tính theo a diện tích toàn phần hình chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
(SAC)
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC Biết B( )3;3 và điểm
( )3;1
H là trực tâm tam giác và điểm G(1; 1− ) là trọng tâm tam giác Tìm các đỉnh còn lại với A có
hoành độ dương
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;3;1) và mặt phẳng ( ) :P x+3y−2z+ =1 0 Và đường thẳng (d): 1 1
x− = y = z+
− Viết phương trình đường thẳng ( )∆
đi qua điểm A song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ( )d và tìm khoảng cách giữa 2 đường thắng d và ∆
Câu 9 (0,5 điểm). Cho đa thức ( ) 3 100
1 2
x
= − ÷
tìm số hạng không chứa x trong khai triển theo
nhị thức NiuTơn của đa thức trên
Câu 10 (1,0 điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b + c + d = 4
b c2 c d2 d a2 a b2 2
1 + +1 + +1 + +1 + ≥
-Hết -Họ và tên thí sinh: ………Phòng thi …… …số báo danh …………
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 4
Đặt 1
1
= −
= −
u x
v y Hệ PT ⇔
2
2
1 3
1 3
v u
u u
v v
⇒ 3u+ +u u2 + = + + 1 3v v v2 + ⇔ 1 f u( ) = f v , với ( ) f t( ) 3 = + +t t t2 + 1
Ta có:
2
2
1 ( ) 3 ln 3 0
1
+
f t
t ⇒ f(t) đồng biến với ∀t
3
Xét hàm số: ( 2 )
3 ( )= −log + + ⇒1 '( ) 0>
g u u u u g u ⇒g(u) đồng biến∀u
Mà g(0) 0= ⇒ u=0 là nghiệm duy nhất của (2).
KL: x= =y 1 là nghiệm duy nhất của hệ PT.
Câu 6 Chú ý: SA SB SC= = Và Sử dụng thể tích tìm khoảng cách
Câu 7
Biết B và G tìm được điểm M (GB =2GM) là trung điểm của AC, lập PT đường thẳng AC
qua M và vuông góc với BH, Tìm diểm D đối xứng vời H qua đt AC Sau đó sử dụng tính chất AH =AD tìm được A lấy đối xứng qua M được C
(Hoặc lấy điểm A theo tọa độ tham số của AC đối xứng qua M có tọa độ C và sử dụng AB
vuông góc với HC)
Câu 10 Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
2
a a ab c a ab c a ab c a ab c a ab abc
b c
2
2 1
+
+ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi b = c = 1
2
bc d
c d
2
1
(2)
2 1
+
+
2
cd a
d a
2
1
(3)
2 1
+
+
2
da b
a b
2
1
(4)
2 1
+
+
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra:
Mặt khác:
• ab bc cd da (a c b d) ( ) a c b d
2
4 2
+ + +
Dấu "=" xảy ra ⇔ a+c = b+d
•
Trang 3⇔ abc bcd cda dab (a b c d) ( ) a b c d (a b c d) ( )
4 4
a b c d abc bcd cda dab
2
4 2
+ + +
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = d = 1. Vậy ta có: a b c d
b c2 c d2 d a2 a b2
4 4 4
4 4
1 + +1 + +1 + +1 + ≥ − −
b c2 c d2 d a2 a b2 2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.