Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm sốC 2.. Chứng minh tam giỏc AMN vuụng.. Tớnh thể tớch S.ABC và khoảng cỏch từ điểmC đến mặt phẳng SAB theo a.. Tỡm tọa độ điểm M trờn trục hoành sao cho gúc AMB
Trang 1Sở giáo dục & đào tạo Thừa thiên huế
Trường THPT 80 Nguyễn Huệ
đề chính thức
Kỳ thi tuyển sinh CHUNG quốc GIA
Năm học 2014-2015
Mụn thi : Toán
(120 phút, không kể thời gian giao đề)
-Cõu I (3,0 điểm) Cho hàm số 2
3 2
+
+
=
x
x y
cú đồ thị (C)
1 Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số(C)
2 Cho đường thẳng d:
m x
y =−2 +
Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phõn biệt với
mọi s ố t h ự c m G ọ i
, 1
k k2
l ầ n l ư ợ t l à h ệ s ố g ú c củ a t i ế p t u y ế n c ủ a ( C ) t ạ i
A v à B T ỡ m m đ ể P = ( )2014 ( )2014
k + k
đạt giỏ trị nhỏ nhất
Cõu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trỡnh lượng giỏc: cos2x sin x cosx 0− + =
2 Giải hệ phương trỡnh:
= +
+ +
− +
= + +
10 )
1 ( 4 ) 1 9 (
1
1 1
9 1 3
2 2
3
2
x x
y x
x x
y xy
Cõu III (2,0 điểm) Cho khối chúp S ABC. cú SA = 2a, SB = 3a, SC = 4a,
ASB SAC= =90 ,
BSC =
Gọi M, N lần lượt trờn cỏc đoạn SB và SC sao cho SM = SN = 2a Chứng minh
tam giỏc AMN vuụng Tớnh thể tớch S.ABC và khoảng cỏch từ điểmC đến mặt phẳng
(SAB)
theo a.
Cõu IV (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm
( )1; 2
A
và
( )4;3
B
Tỡm
tọa độ điểm M trờn trục hoành sao cho gúc AMB bằng
0 45
Trang 2Câu V (1,0điểm) Chứng minh rằng nếu
,
x y
là các số thực dương thì
( ) (2 )2
1
1 x + 1 y ≥ xy
+
- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
- Họ và tên thí sinh Số báo danh
Câu I
1 Khảo sát tự làm
2 Nội dung Điểm
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:
m x
x
+
+
2
2
3
2
=
− +
− +
−
≠
⇔
(*) 0 2 3 ) 6 ( 2
2
x
x
0,5
Xét phương trình (*), ta có:
R
m∈
∀
>
và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là
2 2 2 2
1
1
) 1 (
1 ,
)
1
(
1
+
= +
=
x
k x
k
, trong đó 1
x
, 2
x
là 2 nghiệm của phương trình (*), ta thấy
1 2
2
1
2 1 2 1
2 2
2 1
2
+ + +
= + +
=
x x x x x
x
k
k
(k1>0, k2>0)
0,5
Có P = ( )2014 ( )2014 ( )2014 2015
k + k ≥2 k k =2
, do dó MinP = 22015 đạt được khi
2 2
2 1 2
2
2 1
2
) 2 (
1 )
2 (
+
= +
⇔
x x
k
k
do 1
x
, 2
x
phân biệt nên ta có x1 +2 = - x2 - 2
⇔
x1 + x2 = - 4 ⇔
m = - 2 Vậy m = - 2 là giá trị cần tìm
0,5
Câu II
1 Nội dung Điểm
cos 2x sin x cos x 0− + = ⇔cos x sin x (cos x sin x) 0− + − = 0,5
(cosx sin x)(cosx sin x 1) 0
Trang 32.cos x 0
cosx sin x 1 0
4
0,5
4 2
4 3
4 4
π π
0,5
2 Nội dung Điểm
ĐK:x≥0
NX: x = 0 không TM hệ PT
Xét x > 0
x x
y y
1 9 3
⇔
1 1
1 1 1 ) 3 ( 3 3
2
2 + = + +
+
x x x y
y y
(3)
0,5
Từ (1) và x > 0 ta có: y > 0 Xét hàm số f(t)= t + t. 1
2 +
t
, t > 0
1 2
2 2
+ + +
t
t t
>0 Suy ra f(t) luôn đồng biến trên (0,+∞)
PT(3) ⇔
f(3y)= f x
1
⇔
3y = x
1
0,5
Thế vào pt(2) ta được PT:
10 ).
1 (
4 2 2
3 +x + x + x =
x
Đặt g(x)=
10 ).
1 (
4 2 2
3 +x + x + x−
x
, x > 0 Ta có g’(x) > 0 với x > 0
⇒
g(x) là hàm số đồng biến trên khoảng (0,+∞)
0,5
Ta có g(1) = 0
Vậy pt g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1
0,5
Trang 4Với x =1⇒
y =3
1
KL: Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (1;3
1
)
Câu III
Dùng Đlý hàm số Cosin tính được: MN = 2a 3
0,25
AM=2a 2, AN=2a (Tam giác vuông SAC có SC=2SA nên góc ∠ASC
= 600)⇒
tam giác AMN vuông tại A
0,25
Gọi H là trung điểm của MN, vì SA = SM = SN và tam giác AMN vuông tại A
)
(AMN
SH ⊥
⇒
; tính được SH = a
0,5
2
.
a
3
1
.
SC SB
SN SM
V
V
ABC
S
AMN
S
3 2 2a
V S ABC =
⇒
0,25
Vậy
3
2
3
S ABC SAB
Câu IV
Giả sử tọa độ của
( );0
M x
Khi đó
(1 ; 2 ;) (4 ;3)
Theo giả thiết ta có
0 cos 45
MA MB MA MB=
N
M
S
C
B
A
H
N
M A
S
Trang 5( ) ( ) ( )2 ( )2
2
2 2
2
0,25
2
2
2 5 10 2 5 8 25 (do 5 10 0)
10 44 110 75 0
0,25
Vậy ta có hai điểm cần tìm là
( )1;0
M
hoặc
( )5;0
Câu V
Do
, 0
x y>
nên bất đẳng thức đã cho tương đương với
( ) (2 ) (2 ) ( ) (2 )2
1 x 1 y 1 xy 1 x 1 y
0,25
(2 2x 2y x2 y2) (1 xy) (1 2x x2) (1 2y y2)
( ) (2 )2
1 0
, bất đẳng thức này luôn đúng
Dấu bằng xảy ra khi
1
x= =y
0,25
0,25