Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!KhoágiảiđềTHPTQuốcGia–Thầy:ĐặngThànhNam Môn:Toán;ĐỀSỐ13/50 Ngàythi:04/03/2015 Thờigianlàmbài:180phút,khôngkểthờig
Trang 1Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)
Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)13/50) Ngày)thi):)04/03/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề) Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202)–)Chi)tiết:)www.mathlinks.vn))
Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số! y = x4−2mx2+1 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2.!!
2 Tìm!m!để!(1)!cắt!đường!thẳng! y =−3tại!bốn!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!nhỏ!hơn!2.!
Câu)2)(1,0)điểm).)
a) Giải!phương!trình! cos5x +2sin2x=1.!
b) Giải!phương!trình!
1 log3x+ 2+
2 2log3x+1=1.!!!!
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân!
(x+1)2 dx
0
1
Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! z −3i +(4−2i).z =12−4i !Tính!mô!đun!của!số!phức!
w=
1+ i + z
z2 !
b) Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!khác!nhau.!Chọn!ngẫu!nhiên!một!số!từ!M,! tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!!!
Câu)5)(1,0)điểm).)Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a!và!cạnh!bên!
SA!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Gọi!E,F!lần!lượt!là!trung!điểm!các!cạnh!AD,CD.!Mặt! phẳng!(SEF)!tạo!với!mặt!phẳng!(ABCD)!góc! 600.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng! cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SEF).!
Câu)6)(1,0)điểm).)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!3!điểm!A(3;0;0),!B(0;3;0),!
C(0;0;3).!Xác!định!tâm!và!bán!kính!mặt!cầu!(S)!ngoại!tiếp!tứ!diện!OABC.!Viết!phương!trình! mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A.!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích!
bằng!16!và!M(4;7)!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!CDM!cắt!đường! thẳng!AC!tại!điểm!
F (
6
5;
13
5).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C,D!biết!đỉnh!D!nằm!trên!đường!thẳng!
x + y −3 = 0 và!đỉnh!C!có!hoành!độ!là!số!nguyên!dương.!
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình
x2−2y2−3x + 6y = 2y x −1
(2− 3y )( x + y +1 + x + y ) =1
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! (x + y)2+ 4x2y2+1= (2z2+1)2.! Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức
( y + z)3+ 16y3
(x + z)3+ 3.xy+1
z2+1.!!
mmmHẾTmmm) ) )
Trang 2Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
PHÂN)TÍCH)BÌNH)LUẬN)ĐÁP)ÁN) Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số! y = x4−2mx2+1 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m = 2.!!
2 Tìm!m!để!(1)!cắt!đường!thẳng! y =−3tại!bốn!điểm!phân!biệt!có!hoành!độ!nhỏ!hơn!2.!
1 Học!sinh!tự!giải.!
2 Phương!trình!hoành!độ!giao!điểm: x4−2mx2+1= −3 ⇔ x4−2mx2+ 4 = 0.!!
Đặt! t = x2≥ 0 ⇒ t2−2mt + 4 = 0 (2).!
Để!(1)!cắt!đường!thẳng!y=É3!tại!4!điểm!phân!biệt!khi!và!chỉ!khi!(2)!có!hai!nghiệm!dương!phân! biệt!
⇔
Δ' = m2−4 > 0
S = 2m > 0
P= 4 > 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ m > 2.!
Khi!đó!hoành!độ!giao!điểm!là!
− t2<− t1< t1< t2với! t1= m − m2−4,t2= m + m2−4.! Yêu!cầu!bài!toán!tương!đương!với:!
!
m + m2−4 < 2 ⇔ m + m2−4 < 4 ⇔ m2−4 < 4−m
⇔ 4−m > 0
(m−4)2> m2−4
⎧
⎨
⎪⎪
m< 4
8m< 20
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇔ m <
5 2
.!
Kết!hợp!với!điều!kiện!suy!ra!
2< m <
5
2.!!!
Kết)luận:!Giá!trị!cần!tìm!là!
2< m <
5
2.!!
Câu)2)(1,0)điểm).)
a) Giải!phương!trình! cos5x +2sin2x=1.!
b) Giải!phương!trình!
1 log3x+ 2+
2 2log3x+1=1.!!!!
a)!Phương!trình!tương!đương!với:!
cos5x=1−2sin2x = cos2x ⇔ 5x = 2x + k2π
5x = −2x + k2π
⎡
⎣
⎢
x = k.2π
3
x = k.2π
7
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
,k∈ !.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!
x = k.
2π
3 ,x = k.2π
7 ,k∈ !.!
b)!Điều!kiện:!
x> 0 log3x+ 2 ≠ 0 2log3x+1≠ 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ 0 < x ≠ 1
9;
1 3
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭⎪⎪.!
Đặt! t =log3xphương!trình!trở!thành:!
Trang 3Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!
1
t+ 2+
2
2t+1=1 ⇔ 2t +1+ 2(t + 2) = (t + 2)(2t +1)
⇔ 2t2+ t −3 = 0 ⇔
t=1
t= −3 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
log3x=1 log3x= −3
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x = 3(t / m)
3 3(t / m)
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Kết)luận:!Vậy!phương!trình!có!hai!nghiệm!là!
x = 3;x = 1
3 3.!
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!tích!phân!
(x+1)2 dx
0
1
Ta!có:!
I= (x−1)2+1
(x+1)2 dx
0
1
(x+1)2 dx
0
1
(x+1)2 dx
0
1
∫
= 1− 4
x+1+
5
(x+1)2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟dx 0
1
x+1)
1
0=7
2−4ln 2
.!
Kết)luận:!Vậy!
I=
7
2−4ln 2.!!
Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! z −3i +(4−2i).z =12−4i !Tính!mô!đun!của!số!phức!
w=
1+ i + z
z2 !
b) Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!khác!nhau.!Chọn!ngẫu!nhiên!một!số!từ!M,! tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!!!
a) Giả!sử! z = x + y.i(x,y ∈!)theo!giả!thiết!ta!có:!
!
x + yi −3i + (4−2i)(x − yi) =12−4i
⇔ x + ( y −3)i + 4x −2y −2xi −4yi =12−4i
⇔ 5x −2y −12+ (−2x −3y +1).i = 0
⇔ 5x −2y −12 = 0
−2x −3y +1= 0
⎧
⎨
⎪⎪
x= 2
y= −1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ z = 2−i
!.!
Vì!vậy!
w=1+ i + z
z2 =1+ i + (2−i)
(2−i)2 = 3
3−4i=
3(3+ 4i)
25 =9+12i
25 ⇒ w = 81
625+144
625 =3
5.!!
b) !Giả!sử!số!thuộc!M!có!dạng:! abcd !
+)!
a∈ 1,2,3,4,5,6,7,8,9{ }⇒ acó!9!cách!chọn.!
+)! bcd có! A9
3cách!chọn.!
Vậy!trong!M!có!tất!cả! 9.A93= 4536số.!
+)!Gọi!A!là!biến!cố!chọn!một!số!từ!M!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.! không!gian!mẫu!Ω = 4536.!
Một!số!chọn!ra!thoả!mãn!nếu! 1≤a <b <c <d ≤9 !
Trang 4Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
+)!Chọn!4!số!trong!tập!{1,2,3,4,5,6,7,8,9}!có! C94=126!cách.!
Với!mỗi!4!số!chọn!ra!!có!duy!nhất!một!cách!sắp!xếp!chúng!thành!một!số!tự!nhiên!có!4!chữ!số! thoả!mãn!yêu!cầu.!
Vậy!trong!M!có!tất!cả!126!số!mà!chữ!số!đứng!sau!lớn!hơn!chữ!số!đứng!liền!trước.!
Vì!vậy:!
ΩA =126 ⇒ P(A) = ΩA
Ω =
126
4536= 1
36.!!!!
Bài)tập)tương)tự)m!Gọi!M!là!tập!hợp!các!số!tự!nhiên!gồm!4!chữ!số!phân!biệt.!Chọn!ngẫu!nhiên!
một!số!từ!M,!tính!xác!suất!để!chọn!được!một!số!mà!
a) Được!một!số!lẻ.!
b) Được!một!số!mà!chữ!số!đầu!lớn!hơn!chữ!số!đừng!liền!sau.!
c) Được!một!số!lớn!hơn!2015.!
!
Câu)5)(1,0)điểm).)Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!vuông!cạnh!2a!và!cạnh!bên!
SA!vuông!góc!với!mặt!đáy!(ABCD).!Gọi!E,F!lần!lượt!là!trung!điểm!cách!cạnh!AD,CD.!Mặt! phẳng!(SEF)!tạo!với!mặt!phẳng!(ABCD)!góc! 600.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.ABCD!và!khoảng! cách!từ!điểm!B!đến!mặt!phẳng!(SEF).!
!
Ta!có:! AC ⊥ BD,EF //AC ⇒ EF ⊥ BD !
Kẻ!AH!vuông!góc!với!EF!tại!H!ta!có! AH ⊥ EF !
Kết!hợp!với! EF ⊥SA⇒ EF ⊥ (SAH).!
Vì!vậy!góc!giữa!mặt!phẳng!(SEF)!và!mặt!đáy!(ABCD)!
bằng!góc! SHA! = 600.!
Gọi!I!là!tâm!hình!vuông,!J!là!trung!điểm!của!đoạn!ID.! Ta!có:!
AH = IJ =
BD
4 =2a 2
4 =a 2
2 !
Tam!giác!vuông!SAH!có!
SA = AH.tan60
0=a 2
2 3=a 6
2 !!!!!!!
!Vì!vậy!
V S ABCD=1
3SA.S ABCD=1
3.
a 6
2 .4a2=2a3 6
3 (đvtt).!
+)!Ta!có:!
d(B;(SEF ))=
BJ
IJ d(I ;(SEF )) = 3d(I;(SEF )) = 3d(A;(SEF )).!
Kẻ!AK!vuông!góc!với!SH!tại!K!ta!có! AK ⊥ (SEF ).!
Tam!giác!vuông!SAH!có:!
!
1
SA2= 2
a2+ 2
3a2= 8
3a2 ⇒ AK = a 6
4 !.!
Vậy!
d(B;(SEF ))= 3.
a 6
4 =3a 6
4 !!!!!
Câu)6)(1,0)điểm).)Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!3!điểm!A(3;0;0),!B(0;3;0),!
C(0;0;3).!Xác!định!tâm!và!bán!kính!mặt!cầu!(S)!ngoại!tiếp!tứ!diện!OABC.!Viết!phương!trình! mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A.!
Trang 5Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
Giả!sử!mặt!cầu!(S)!có!dạng:! x2+ y2+ z2−2ax −2by −2cz + d = 0(a2+ b2+ c2−d > 0).!
Vì!O,A,B,C!thuộc!(S)!nên!
d= 0 9−6a + d = 0 9−6b + d = 0 9−6c + d = 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⇔ a = b = c =
3 2
d= 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
.!
Vì!vậy! (S): x2+ y2+ z2−3x −3y −3z = 0.!
Mặt!cầu!(S)!có!tâm!
I (
3
2;
3
2;
3
2),R=3 3
2 !
+)!Ta!có:!
AI
! "!
= (−3
2;
3
2;
3
2) //(−1;1;1).!Mặt!phẳng!(P)!tiếp!xúc!với!(S)!tại!A!nên!nhận! AI! "! làm!véc!
tơ!pháp!tuyến!vì!vậy! (P): x − y−z −3= 0.!!!!!!!!!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích!
bằng!16!và!M(4;7)!là!trung!điểm!cạnh!BC.!Đường!tròn!ngoại!tiếp!tam!giác!CDM!cắt!đường! thẳng!AC!tại!điểm!
F (
6
5;
13
5).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!A,B,C,D!biết!đỉnh!D!nằm!trên!đường!thẳng!
x + y −3 = 0 và!đỉnh!C!có!hoành!độ!là!số!nguyên!dương.!
!
+)!Tứ!giác!DCMF!nội!tiếp!đường!tròn!đường!kính!DM!nên!
DFM ! = DCM! = 900.!
Vì!vậy!DF!vuông!góc!với!MF,!đường!thẳng!DF!đi!qua!F!và! nhận
FM
! "!!
= (14
5 ;
22
5 ) //(7;11)làm!vtpt!nên!có!phương!trình!là:!
7x +11y −37 = 0 !
!
Toạ!độ!điểm!D!là!nghiệm!của!hệ!
7x +11y −37 = 0
x + y −3 = 0
⎧
⎨
⎪⎪
x= −1
y= 4
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ D(−1;4).!
+)!Gọi!C(a;b)!ta!có! S ABCD = CD.CB = 2CD.CM = 4S CDM =16 ⇒ S CDM = 4.!
Đường!thẳng!DM!có!phương!trình!là! 3x −5y+23= 0 !
Ta!có:!
S CDM =1
2 3
2+ 52.3a −5b + 23
32+ 52 = 4 ⇔ 3a −5b + 23 = 8.!
Và!tam!giác!CDM!vuông!nên!theo!Pitago!ta!có:!
!
CM2+CD2= DM2⇔ (a −4)2+ (b −7)2+ (a +1)2+ (b −4)2= 32+ 52
Vậy!ta!có!hệ!!
!
a2+ b2−3a −11b + 24 = 0 3a −5b + 23 = 8
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
a = 3,b = 8
a = 0,b = 3
a= −24
17,b=91
17
a=75
17,b=96
17
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇒ C(3;8).!
Trang 6Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
Vì!M!là!trung!điểm!của!BC!nên!B(5;6).!Vì! AD! "!! = BC! "!! ⇒ A(1;2).!
Kết)luận:!Vậy A(1;2),B(5;6),C(3;8),D(−1;4) !!
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình
x2−2y2−3x + 6y = 2y x −1
(2− 3y )( x + y +1 + x + y ) =1
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
Điều!kiện:! x ≥1,y ≥0.!
Phương!trình!thứ!hai!của!hệ!tương!đương!với:!
!
2− 3y = x + y +1− x + y ⇔ x + y − 3y = x + y +1−2
x + y + 3y =
x + y −3
x + y +1 + 4 ⇒ (x −2y)(x + y −3) ≥ 0 (1)
.!
+)!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!cho!phương!trình!đầu!của!hệ!ta!được:!
!
x2−2y2−3x + 6y = 2y x −1 ≤ 2y x−1+1
2 = xy
⇒ x2−2y2− xy −3x + 6y ≤ 0
⇔ (x −2y)(x + y)−3(x −2y) ≤ 0 ⇔ (x −2y)(x + y −3) ≤ 0 (2)
.!
Từ!(1)!và!(2)!suy!ra:!
(x −2y)2(x + y −3)2≤ 0 ⇔ x = 2y
x + y = 3
⎡
⎣
⎢
Và!dấu!bằng!trong!bất!đẳng!thức!AM!–GM!xảy!ra!vì!vậy!
!
x = 2y
x + y = 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ x= 2
y=1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ !(thỏa!mãn).!
Kết)luận:)Vậy!hệ!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! (x;y) = (2;1).!!
Bài)tập)tương)tựm)
Bài)số)01.!Giải!hệ!phương!trình!
( x + y + 2 + x + y )(2− 2y ) = 2 ( y +1) x + 3 = x2− x + 4y + 4
2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
.!Đ/s:! (x; y) = (1;1).!
Bài)số)02.!Giải!hệ!phương!trình!
x y + 2 + y x + 2 = 2y2+ 5x −3y + 4
2
x + y + 3 + y2+ y = x + y2+ 3
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
.!Đ/s:! (x; y) = (2;2).!!!!!
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!dương!thoả!mãn! (x + y)2+ 4x2y2+1= (2z2+1)2.! Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức
( y + z)3+ 16y3
(x + z)3+ 3.xy+1
z2+1.!!
Đặt!
a = x + y
b = xy
⎧
⎨
⎪⎪
2≥ 4b > 0) ⇒ a2+ 4b2+1= (2z2+1)2.!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
!
a
3+ b3= (a + b)3−3ab(a + b) ≥ (a + b)3−3.(a + b)2
4 (a + b) =1
4(a + b)3.!
Áp!dụng!ta!có:!!!
Trang 7Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
!
x3
( y + z)3+ y3
(x + z)3≥1
4(
x
y + z+
y
z + x)
3
≥1
4 3(
x
y + z+
y
x + z)−2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟≥
1
4(
5
2− 3z
x + y)
.!
Bởi!vì!
x
y + z+
y
z + x+
z
x + y≥
3
2.!!
Ta!chứng!minh:!
z2+1≥ 4
z
x + y
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
2 !Thật!vậy!bất!đẳng!thức!tương!đương!với:!
! (x + y)2(xy +1) ≥ 4z2(z2+1) = (2z2+1)2−1 ⇔ a2(b +1) +1≥ (2z2+1)2.!
Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!ta!có:!
! a2(b +1) +1= a2b + a2+1≥ a2+1+ 4b2.!
Mặt!khác!theo!giả!thiết!có: a2+1+ 4b2= (2z2+1)2.!Ta!có!điều!phải!chứng!minh.!
Vì!vậy!!
!
P≥ 4(
5
2− 3z
x + y)+12(
z
x + y)
2=12( z
x + y−
1
2)
2+7 ≥7.!
Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi! x = y = z !Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!7.!
!
!
!!!
!!
!!!
!!!!!!
!
!!!
!!!!!
!