Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình chữ nhật không có nắp.. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư.. Có bao nhiêu kết quả
Trang 1SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THỪA THIÊN HUẾ
TRƯỜNG THPT HOÁ CHÂU
Số BD :
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học : 2008 - 2009 Môn thi : TOÁN - LỚP 12
Thời gian : 150 phút ( không tính thời gian giao đề )
Câu 1: (1,50 điểm)
Tính :
x
x
x 1 cos
1 2 1 lim
2
+
−
Câu 2: (1,50 điểm)
Cho phương trình : ( cosx +1)(cos2x – mcosx) = msin2x (1) Tìm m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn [ 0 ;
3
2π
]
Câu 3: (1,50 điểm) :
Cho bất phương trình : 1+log (x +1)≥log (mx2 +4x+m)
5
2
tham số m để cho bất phương trình (1) được nghiệm đúng với mọi x
Câu 4: (2 điểm)
Từ tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a, b Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình chữ nhật không có nắp Cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình hộp có thể tích lớn nhất?
Câu 5: (1,50 điểm) :
Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh từ 1 đến 100 cho 100 người Xổ số có bốn giải : 1 giải nhất , 1 giải nhì , 1 giải ba, 1 giải tư Kết quả là việc công bố
ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Hỏi :
a Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng nguời giữ vé số 47 được giải nhất?
b Có bao nhiêu kết quả có thể, nếu biết rằng nguời giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải ?
Câu 6: (2 điểm) :
Tìm các đỉnh B, C của tam giác ABC biết rằng tam giác ABC có đỉnh A ( -3 ;1) , trực tâm
H (
2
3
; 1) và trọng tâm G (1;1)
Trang 2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC : 2008 – 2009
Câu 1: (1,50 điểm)
♦ Tính :
x
x
x 1 cos
1 2 1 lim
2
+
−
→
• (0,50 đ )
x
x
x 1 cos
1 2 1 lim
2
+
−
) 1 2 1 )(
cos 1 (
2 lim
2
2
−
x x
) 1 2 1 ( 2 sin 2 sin 2
4 2
2 2 lim
2
+ +
−
→
x x
x
x x x
Câu 2: (1,50 điểm)
• (0,25 đ )
(1) ⇔(cosx +1)(cos2x - mcosx) =
m(1 + cosx)(1- cosx)
⇔(cosx + 1)(cos2x – m) = 0
⇔(cosx + 1)(2cos2x – m – 1) = 0 (2)
• (0,25 đ ) Đặt t = cosx, do x ∈ [0 ; -
3
2π
]
⇒ t ∈ [-
2
1
; 1]
Từ (2) suy ra : ( t +1)(2t2- m – 1) = 0 (3)
+
=
−
=
⇔
2 1
1
t
t
(4)
Nghiệm t = -1 không thuộc đoạn [-
2
1
; 1] Do
đó ta tìm m sao cho phương trình (4) có 2
nghiệm phân biệt t ∈ [-
2
1
; 1] ( mỗi nghiệm t
∈ [-
2
1
; 1] cho đúng một nghiệm x∈[ 0 ;
3
2π
] )
• (0,25 đ ) m ≤ 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán
• (0,25 đ ) Với m > -1
ta có : (4)
2
1
+
±
=
Điều kiện là :
−
≥
+
−
≤ +
2
1 2
1
1 2 1
m
m
• (0,25 đ ) ⇔
2
1 2
1 ≤ +
m
⇔ m ≤ -
2 1
• (0,25 đ ) Tóm lại, giá trị của m cần tìm là :
-1 < m < -
2 1
Câu 3: (1,50 điểm)
1 + log5 (x2 +1) ≥ log5 (mx2 + 4x + m) (1)
• (0,25 đ ) Điều kiện : mx2 + 4x + m > 0
• (0,50 đ )
(1) ⇔
≥
>
+ +
m) + 4x + (mx 1) + 5(x
0 m 4x mx
2 2
2
⇔
≥ +
>
+ +
(3) 0 m) -(5 4x -m)x
-(5
(2) m 4x mx
2 2
• (0,75 đ ) (1) thỏa với mọi x ⇔(2) và (3) thỏa
với mọi x
⇔
≤
−
−
=
∆
>
−
<
−
=
∆
>
0 ) 5 ( 4 , 0 5
0 4
, 0
2 2
2 1
m m
m m
⇔
≥
−
>
<
<
2 5
2
5 0
m và m
m
⇔ 2 < m ≤ 3
Trang 3Câu 4: (2 điểm)
• (0,25 đ ) Giả sử a < b , gọi x là là cạnh của
hình vuông cắt đi, ta phải có 0 < x <
2
a
• (0,50 đ ) Thể tích hình hộp là :
V = x ( a – 2x)( b – 2x) = 4x3 – 2(a + b)x2 + abx
V / = 12x2 – 4(a + b)x + ab
V / = 0 ↔
+
− + +
=
+
−
− +
=
) (
6 1
) (
6 1
2 2
2
2 2
1
b ab a b a x
b ab a b a x
• (0,25 đ ) Theo định lý Viet : x1 > 0 ; x2 > 0
và vì V / (
2
a
) = a2 – ab < 0 nên : 0 < x1 <
2
a
< x2
• (0,50 đ ) Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên kết luận : V đạt giá trị lớn nhất khi :
6
b ab a b
• (0,50 đ ) Nếu a = b thì phương trình V / = 0
có 2 nghiệm : x1 =
6
a
; x2 =
2
a
Khi đó V lớn nhất
khi : x = x1 =
6
a
Vậy : Trong mọi trường hợp, V lớn nhất khi :
6
b ab a b
Câu 5: (1,50 điểm)
• (0,50 đ ) a Nếu giải nhất đã xác định thì 3
giải nhì , ba , tư sẽ rơi vào 99 người còn lại
Vậy : có A = 941094 kết quả có thể993
• (1đ ) b Người giữ vé số 47 có bốn khả năng trúng một trong bốn giải Sau khi xác định giải của người này thì 3 giải còn lại sẽ rơi vào 99 người không giữ vé số 47 Vậy : có A khả 993
năng Theo quy tắc nhân ta có :
4 × 3 99
A = 3 764 376 kết qủa có thể
Câu 6: (2điểm)
• (0,75 đ ) Gọi M (x ;y) là trung điểm của BC ,
ta có : A (-3;1) , G (1;1) ; AG 2= GM
⇔ (4;0) = 2(x -1 ; y -1) ⇔ ( x = 3 ; y =1)
Vậy : M (3;1)
M là trung điểm của BC nên ta có thể đặt :
B( 3 – a ; 1 – b ) ; C ( 3 + a ; 1+ b ) , bài toán trở
thành tìm a và b
• (0,50 đ ) Do H là trực tâm của tam giác ABC
nên ta có :
=
=
0
0
AC
BH
BC
AH
= ;0 2
9
( ) ; ) ; AC ( 6 ; )
2
3 ( BH
; 2
;
•(0,75 đ ) Vậy : (1)
⇔
±
=
=
⇔
= + +
−
−
=
3 b ; a 0 )
6 ).(
2
3 (
0 9
2
b a
a
a
Do đó : B (3 ;-2 ) ; C ( 3;4)
Hay : C (3 ;-2 ) ; B( 3;4)
