toanmath com đề thi chọn HSG toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT đồng nai

a Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên.. b Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cĩ hai điểm cực trị nằm vế hai phía của trục tung... 3,5 điểm Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng BC

GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2018 – 2019

Câu 1 (5,0 điểm) Cho hàm số y 2x3 3(m 3)x2 18mx 8, m là tham số

a) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên

b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cĩ hai điểm cực trị nằm vế hai phía của trục tung

c) Tìm m để giá trị nhơ nhất của hàm số đã cho trên độn [ 1;0] bằng 24

Giải

' 6 6( 3) 18

y  x  m x  m,

' 'y 0 9(m 3) 108m 0 m 6m 9 0 m 3

b) Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung m 0

c)

+ Nếu m 3 y' 6x2 36x 54 hàm số nghịch biến trên nên giá trị nhơ nhất trên [ 1;0] là (0) 8 24

m y x x thì trên ( 1;0) hàm số nghịch biến nên giá trị nhơ nhất trên [ 1;0] là y(0) 8 24 (vơ lí)

+ Nếu m 0 y' 6x2 18x thì trên ( 1;0) hàm số đồng biến nên giá trị nhơ nhất trên [ 1;0] là ( 1) 3 21 24 1

+ Nếu m 3, m 0, m 1 thì y ' 0 luơn cĩ hai nghiệm là m và 3 Ta xét các trường hợp sau

 Nếu m 0 thì trên ( 1;0) hàm số đồng biến nên giá trị nhơ nhất trên [ 1;0] là y( 1) 24

1

m (nhận)

 Nếu 1 m 0 thì trên ( 1; )m hàm số đồng biến và trên ( ;0)m hàm số nghịch biến nên giá

trị nhơ nhất trên [ 1;0] là y( 1) hoặc y(0), mà y(0) 24 (vơ lí) và y( 1) 24 m 1 (lội)

 Nếu m 1 thì trên [ 1;0] hàm số nghịch biến nên giá trị nhơ nhất trên [ 1;0] là y ( 1) hoặc

(0)

y , mà y (0) 24 (vơ lí) và y ( 1) 24 m 1 (lội)

Vậy m 1 là giá trị cần tìm

Câu 2 (3,5 điểm)

8.25x  8.10x  15.2x  0 2) Giâi phương trình (1 2 sin 4 )tan2x x 1

Giải

1)

2

2 1

5 5

8.25 8.10 15.2 0 8 8 30 0 1

x



 

   

 

 

 

 

 2) Điều kiện

4 2

(1 2sin 4 )tan2x x 1 sin2x 2sin 4 sin2x x cos2x sin2x cos2x cos 6x cos2x

2 6 2

sin 2 cos 6 cos 2 cos 6

(thôa đk)

Câu 3 (3,5 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) Tam giác BCD là tam giác đều, AB a BC , 2 a

1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD)

2) Tính theo a khoâng cách giữa hai đường AC và BD

Giải

1) Có AB ( BCD ) mà AB ( ABC ) ( ABC ) ( BCD )

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) là 900

2) Gọi E là trung điểm BD, dựng hình chữ nhật BFCE

Gọi H là hình chiếu của B trên AF

Ta có BD FC BD ( AFC )

Suy ra d BD AC ( , ) d SB AFC ( ,( )) d B AFC ( ,( ))

(1)

BH AF

CF vuông góc BF và AB Suy ra BH CF (2)

Từ (1) và (2) BH ( AFC )

Vậy BH d B AFC( ,( ) d BD AC( , )

Xét tam giác vuông ABF ta có :

2 3

BH

2

a

d BD AC

Câu 4 (3,0 điểm) Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh A B C , , thực hiện trò chơi chơi như sau : Mỗi bän A B C , , chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác 0 thuộc khoâng ( 6;6) và lần lượt thế vào ba tham số của hàm số y ax4 bx2 c ; nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng Tính xác suất để ba học sinh A B C , , được nhận thưởng

Giải

3

( ) 10

Hàm số có ba cực trị ab 0

0 ' 4 2 0 2 (2 ) 0

2

x

x

a

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

Trường hợp 1 :

Nếu a 0 thì A là điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành

0 0 { 5; 4; 3; 2; 1}

0 0 {1;2;3;4;5}

0 0 {1;2;3;4;5}

A

có 5.5.5 125 (cách)

Trường hợp 2 :

Nếu a 0 thì B C , là điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành

2

0

0 0

0 0

0

4

B

C

a

a b

b y

b c y

a

Dễ suy được c 0 và 4 a {4;8;12;16;20}

Ta có các khâ năng sau :

4

b c

a , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)

4

b c

a , b 2 a {2;3;4;5} có 4 (cách)

4

b c

a , b 3 a {3;4;5} có 3 (cách)

4

b c

a , b 4 a {5} có 1 (cách)

4

b c

a , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)

4

b c

a , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)

4

b c

a , b 3 a {2;3;4;5} có 4 (cách)

4

b c

a , b 4 a {3;4;5} có 3 (cách)

4

b c

a , b 5 a {4;5} có 2 (cách)

4

b c

a , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)

4

b c

a , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)

4

b c

a , b 3 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)

4

b c

a , b 4 a {2;3;4;5} có 4 (cách)

4

b c

a , b 5 a {3;4;5} có 3 (cách)

Với

2

4

b c

a , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) Với

2

4

b c

a , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)

4

b c

a , b 3 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) Với

2

4

b c

a , b 4 a {2;3;4;5} có 4 (cách) Với

2

4

b c

a , b 5 a {2;3;4;5} có 4 (cách)

4

b c

a , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) Với

2

4

b c

a , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) Với

2

4

b c

a , b 3 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)

4

b c

a , b 4 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) Với

2

4

b c

a , b 5 a {2;3;4;5} có 4 (cách) Trong trường hợp này có : 101 (cách)

Suy ra có tất câ 125 101 226 (cách chọn)

Vậy xác suất là 226 113

1000 500

Câu 5 (2,5 điểm) Giâi hệ phương trình

2

2 1 0 (1)

2 3 2 2 (2)

x x y y x

Giải Điều kiện: 0, 2

3

2( 1) ( 1) ( 1) (1 )(1 ) 0

2

2

2

( 1) ( 1) ( 1)( 1) 0

1

1 0

x y

x x y

Với x y 1 thay vào (2) ta được

3 5

y

Trường hợp này có nghiệm 5 3 ;

2 2 Với x2 x y 1 0 1 x x2 y, vì x 0 1 x x2 1 y 1

Kết hợp điều kiện ta được 2

1

3 y

Ta có

2

2

3 3 1 0

0

x x

3 21

6

x (vì x 0)

Xét vế trái của (2) : ( ) f x x x 2 với 3 21 7

Xét vế phải ta có f y( ) 3y 2 2y2 với 2

1

3 y

'( ) 4 0 8 3 2 3 192 128 9 0

4

2 3 2

Suy ra 5

1 ( )

8

f y nên phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 5 3

;

2 2

Câu 6 (2,5 điểm)

1) Cho ba số thực dương a b c , , Tìm giá trị nhô nhất của

P

2) Chứng minh rằng 3n

n

C chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương

1) Đặt

1 ( 6 9 4 ) 35

2 3

1

35

(4 6 9 ) 35

18

P

18

35

1 3

( 18 2 16 2 16 2 16 3 125)

Vậy giá trị nhô nhất của P là 5

3 a b c

(3 )! 1.2.3 (3 1).3 1.2.3 (3 1)

!.(2 )! 1.2.3 (2 )! 1.2.3 ( 1).(2 )!