Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng NaiĐề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2018 – 2019 sở GDĐT Đồng Nai
Trang 1GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2018 – 2019
Câu 1 (5,0 điểm) Cho hàm số y 2x3 3(m 3)x2 18mx 8, m là tham số
a) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến trên
b) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cĩ hai điểm cực trị nằm vế hai phía của trục tung
c) Tìm m để giá trị nhơ nhất của hàm số đã cho trên độn [ 1;0] bằng 24
Giải
' 6 6( 3) 18
y x m x m,
' 'y 0 9(m 3) 108m 0 m 6m 9 0 m 3
b) Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung m 0
c)
+ Nếu m 3 y' 6x2 36x 54 hàm số nghịch biến trên nên giá trị nhơ nhất trên [ 1;0] là (0) 8 24
m y x x thì trên ( 1;0) hàm số nghịch biến nên giá trị nhơ nhất trên [ 1;0] là y(0) 8 24 (vơ lí)
+ Nếu m 0 y' 6x2 18x thì trên ( 1;0) hàm số đồng biến nên giá trị nhơ nhất trên [ 1;0] là ( 1) 3 21 24 1
+ Nếu m 3, m 0, m 1 thì y ' 0 luơn cĩ hai nghiệm là m và 3 Ta xét các trường hợp sau
Nếu m 0 thì trên ( 1;0) hàm số đồng biến nên giá trị nhơ nhất trên [ 1;0] là y( 1) 24
1
m (nhận)
Nếu 1 m 0 thì trên ( 1; )m hàm số đồng biến và trên ( ;0)m hàm số nghịch biến nên giá
trị nhơ nhất trên [ 1;0] là y( 1) hoặc y(0), mà y(0) 24 (vơ lí) và y( 1) 24 m 1 (lội)
Nếu m 1 thì trên [ 1;0] hàm số nghịch biến nên giá trị nhơ nhất trên [ 1;0] là y ( 1) hoặc
(0)
y , mà y (0) 24 (vơ lí) và y ( 1) 24 m 1 (lội)
Vậy m 1 là giá trị cần tìm
Câu 2 (3,5 điểm)
8.25x 8.10x 15.2x 0 2) Giâi phương trình (1 2 sin 4 )tan2x x 1
Giải
1)
2
2 1
5 5
8.25 8.10 15.2 0 8 8 30 0 1
x
2) Điều kiện
4 2
(1 2sin 4 )tan2x x 1 sin2x 2sin 4 sin2x x cos2x sin2x cos2x cos 6x cos2x
Trang 22 6 2
sin 2 cos 6 cos 2 cos 6
(thôa đk)
Câu 3 (3,5 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng ( BCD ) Tam giác BCD là tam giác đều, AB a BC , 2 a
1) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD)
2) Tính theo a khoâng cách giữa hai đường AC và BD
Giải
1) Có AB ( BCD ) mà AB ( ABC ) ( ABC ) ( BCD )
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) là 900
2) Gọi E là trung điểm BD, dựng hình chữ nhật BFCE
Gọi H là hình chiếu của B trên AF
Ta có BD FC BD ( AFC )
Suy ra d BD AC ( , ) d SB AFC ( ,( )) d B AFC ( ,( ))
(1)
BH AF
CF vuông góc BF và AB Suy ra BH CF (2)
Từ (1) và (2) BH ( AFC )
Vậy BH d B AFC( ,( ) d BD AC( , )
Xét tam giác vuông ABF ta có :
2 3
BH
2
a
d BD AC
Câu 4 (3,0 điểm) Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh A B C , , thực hiện trò chơi chơi như sau : Mỗi bän A B C , , chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác 0 thuộc khoâng ( 6;6) và lần lượt thế vào ba tham số của hàm số y ax4 bx2 c ; nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng Tính xác suất để ba học sinh A B C , , được nhận thưởng
Giải
3
( ) 10
Hàm số có ba cực trị ab 0
0 ' 4 2 0 2 (2 ) 0
2
x
x
a
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
Trang 3Trường hợp 1 :
Nếu a 0 thì A là điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành
0 0 { 5; 4; 3; 2; 1}
0 0 {1;2;3;4;5}
0 0 {1;2;3;4;5}
A
có 5.5.5 125 (cách)
Trường hợp 2 :
Nếu a 0 thì B C , là điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành
2
0
0 0
0 0
0
4
B
C
a
a b
b y
b c y
a
Dễ suy được c 0 và 4 a {4;8;12;16;20}
Ta có các khâ năng sau :
4
b c
a , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)
4
b c
a , b 2 a {2;3;4;5} có 4 (cách)
4
b c
a , b 3 a {3;4;5} có 3 (cách)
4
b c
a , b 4 a {5} có 1 (cách)
4
b c
a , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)
4
b c
a , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)
4
b c
a , b 3 a {2;3;4;5} có 4 (cách)
4
b c
a , b 4 a {3;4;5} có 3 (cách)
4
b c
a , b 5 a {4;5} có 2 (cách)
4
b c
a , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)
4
b c
a , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)
4
b c
a , b 3 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)
4
b c
a , b 4 a {2;3;4;5} có 4 (cách)
4
b c
a , b 5 a {3;4;5} có 3 (cách)
Trang 4Với
2
4
b c
a , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) Với
2
4
b c
a , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)
4
b c
a , b 3 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) Với
2
4
b c
a , b 4 a {2;3;4;5} có 4 (cách) Với
2
4
b c
a , b 5 a {2;3;4;5} có 4 (cách)
4
b c
a , b 1 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) Với
2
4
b c
a , b 2 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) Với
2
4
b c
a , b 3 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách)
4
b c
a , b 4 a {1;2;3;4;5} có 5 (cách) Với
2
4
b c
a , b 5 a {2;3;4;5} có 4 (cách) Trong trường hợp này có : 101 (cách)
Suy ra có tất câ 125 101 226 (cách chọn)
Vậy xác suất là 226 113
1000 500
Câu 5 (2,5 điểm) Giâi hệ phương trình
2
2 1 0 (1)
2 3 2 2 (2)
x x y y x
Giải Điều kiện: 0, 2
3
2( 1) ( 1) ( 1) (1 )(1 ) 0
2
2
2
( 1) ( 1) ( 1)( 1) 0
1
1 0
x y
x x y
Với x y 1 thay vào (2) ta được
Trang 53 5
y
Trường hợp này có nghiệm 5 3 ;
2 2 Với x2 x y 1 0 1 x x2 y, vì x 0 1 x x2 1 y 1
Kết hợp điều kiện ta được 2
1
3 y
Ta có
2
2
3 3 1 0
0
x x
3 21
6
x (vì x 0)
Xét vế trái của (2) : ( ) f x x x 2 với 3 21 7
Xét vế phải ta có f y( ) 3y 2 2y2 với 2
1
3 y
'( ) 4 0 8 3 2 3 192 128 9 0
4
2 3 2
Suy ra 5
1 ( )
8
f y nên phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 5 3
;
2 2
Câu 6 (2,5 điểm)
1) Cho ba số thực dương a b c , , Tìm giá trị nhô nhất của
P
2) Chứng minh rằng 3n
n
C chia hết cho 3 với mọi n nguyên dương
1) Đặt
1 ( 6 9 4 ) 35
2 3
1
35
(4 6 9 ) 35
18
P
18
35
Trang 61 3
( 18 2 16 2 16 2 16 3 125)
Vậy giá trị nhô nhất của P là 5
3 a b c
(3 )! 1.2.3 (3 1).3 1.2.3 (3 1)
!.(2 )! 1.2.3 (2 )! 1.2.3 ( 1).(2 )!