Cho tam giác vuông cân ABC AB = AC.. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN
Trang 1đề thi Ô-lim -pic huyện
Môn Toán Lớp 8 Năm học 2005-2006
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - 6
Bài 2 Cho x, y, z là các số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x4 + y4 + z4 Biết x + y + z = 2
Bài 3 Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn:
và x y 1
b a
y x b
y a
= +
+
+
= +
Chứng minh:
( )1003 1003
2006 1003
2006
b a
2 b
y a
x
+
= +
Bài 4 Cho a, b, c là các số thực dơng Chứng minh bất đẳng thức:
c
1 b
1 a
1 c
ab
a c b ac
c b a
bc
b a
2 2
+
+ + +
+ + +
+
Bài 5 Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M
sao cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN =
2
1AB Đờng thẳng MC cắt NA tại E, đờng thẳng BE cắt đờng thẳng AC tại F
a) Chứng minh AF = AM
b) Gọi H là trung điểm của FC, Chứng minh EH = BM
Hớng dẫn chấm ôlim pic
Môn toán lớp 8
năm học 2005-2006
Bài 1 (4 điểm)
Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x 2 - 7x - 6
Ta thấy: f( -2) = 0; f(3) = 0, nên f(x) có 2 thừa số là (x + 2)(x - 3)
(2đ) chia f(x) cho (x + 2)(x - 3)
Vì x2 + x + 1 = x2 +
2
1
2 x +
4
3 4
1 + > 0) (1đ)
Bài 2 (4 điểm)
Cho x, y, z là các số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của:
x 4 + y 4 + z 4 Biết x + y + x = 2
áp dụng công thức Buhiacopski ta có:
( x + y + z ) 4 ≤[( x + y + z ) 2]2 ≤ [3 ( x + y + z ) 2]2 ≤
9 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 ≤ 27 ( x 4 + y 4 + z 4 ) (2đ)
=> 16 ≤ 27 ( x 4 + y 4 + z 4 )=>
27
16 z y
x 4 + 4 + 4 ≥ (1đ) Vậy giá trị nhỏ nhất của
27
16 là z y
x 4 + 4 + 4
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
2 (1đ)
Trang 2Bài 3 (4 điểm)
Cho x, y, a, b là những số thực thoả mãn:
b a
y x b
y a
+
+
= +
Chứng minh: 1003 ( )1003
2006 1003
2006
b a
2 b
y a
x
+
= +
Từ giả thiết =>
b a
) y x ( b
y
a
+
+
= + <=> (bx4 + ay4)(a + b) =ab(x2 + y2)2 (1đ)
<=> b2x4 +a2y4 - 2abx2y2 = 0 <=> (bx2 - ay2)2 = 0 (1đ)
<=> bx2 - ay2 = 0 <=>
b a
1 b
a
y x b
y a
+
= +
+
=
= (1đ) <=> 10032006 10032006 1003
) b a (
1 b
y a
x
+
=
= <=> 10032006 10032006 1003
) b a (
2 b
y a
x
+
= + (Điều phải cm)
(1đ)
Bài 4 (4 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
c
1 b
1 a
1 c
ab
a c b ac
c b a
bc
b a
2 2
+
+ + +
+ + +
+
Kí hiệu vế trái là A vế phải là B, xét hiệu A - B
c
1 c ab
a c b
1 b ac
c b a
1 a bc
b a
2 2
+
+ +
− +
+ +
− +
+
(0.5đ)
=
) c ab ( c
c ab ac c )
b ac ( b
b ac bc b )
a bc
(
a
a bc ab
a
2
2 2
2
2 2
2
2 2
+
−
− + + +
−
− + + +
−
−
=
) c ab ( c
) b c ( a ) b ac ( b
) a b ( c ) a
bc
(
a
)
c
a
(
b
2 2
− + +
− +
+
−
(0.5đ)
Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a ≥ b ≥ c, khi đó b(a - c) ≥ 0, c(b - a) ≤ 0, a(c - b) ≤ 0 (0.5đ)
a3 ≥ b3 ≥c3 =>abc + a3 ≥abc + b3 ≥ abc + c3 =>
) b ac ( b
) c a ( b ) a bc ( a
) c a ( b
2
−
≤ +
−
(0.5đ) =>A - B ≤
) c ab ( c
) b c ( a ) b ac ( b
) a b ( c ) b ac ( b
) c a ( b
2 2
− + +
− +
+
) c ab ( c
ab ac ) b ac ( b
ac ab
2
− + +
−
(0.5đ) =
) c ab ( c
) c b ( a ) b
ac
(
b
) c
b
(
a
2
−
− +
−
(0.5đ)
Mà
) c ab ( c
1 )
b ac
(
b
1
2
2 ≤ + + nên A - B ≤ 0 (ĐPCM) (0.5đ)
Bài 5 (4 điểm)
Trang 3Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M sao
cho BM = 2MA, trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đờng
thẳng Bx vuông góc với AB, trên Bx lấy điểm N sao cho BN =
2
1 AB Đờng thẳng MC cắt NA tại E, đờng thẳng BE cắt đờng thẳng AC tại F
c) Chứng minh AF = AM.
d) Gọi H là trung điểm của EC, Chứng minh EH = BM
a) Đờng thẳng EC cắt đờng thẳng BN tại K (2đ)
Ta có: AC⊥AB (gt), KB⊥AB (gt) =>FC//KB
) 1 ( NK 2
AB AF NK
AC
2 AB
AF NK
AC NB AF
EN
AE
NK
AC
EN
AE
NB
AF
2
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
=
2
AB KN
AB 2
1 NB KN
AC 2
1 MB
AM
BK
AC
= +
⇒
= +
⇒
=
2
3 KN AB
KN 2 AB 4 2
1 AB
KN
2
AB
2
=
⇒ +
=
⇒
= +
⇒
Từ (1) và (2) => AF AM
3
AB AB 3
AB
AF = 2 = ⇒ = (ĐPCM) b)Từ chứng minh trên suy ra: ∆AFB = ∆AMC => ∠ ABF = ∠ACM
mà ∠ABF + ∠AFB = 1v => ∠ACM + ∠AFB = 1v => ∠FEC = 1v =>EH =
FH
2
3
AC 2 3
AC 3
AC AH FA
A F K
N
E
C B
M