Tìm các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị.. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA , đáy là tam giác vuông tại B.. Gọi B' là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng SB.. Qu
Trang 1SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013 (Đề thi gồm 01 trang)
Môn thi: TOÁN - BT THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (5,0 điểm).
1 Cho hàm số y x= 4 +2mx2 − −m 1, với m là tham số
Tìm các giá trị của m để hàm số có ba điểm cực trị
2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) =x 4 x− 2 trên đoạn [−1; 1]
Câu II (5,0 điểm).
1 Giải bất phương trình 3x2 −7x 4 x 1+ ≥ − (x∈¡ )
+ + = −
Câu III (5,0 điểm).
1 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niutơn của 10
n 3
1
x
+ ≠
C +C + + C − +C =1024 (với n∈¥ , * C là số các tổ hợp chập kn k của n )
2 Giải phương trình : (2cosx 1 2sin x cosx+ ) ( + ) =sin 2x sin x+
Câu IV (5,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA , đáy là tam giác vuông tại B Gọi B' là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng SB Qua điểm B' kẻ đường thẳng song song với đường thẳng BC cắt SC tại C'
1 Chứng minh rằng: SB vuông góc với mặt phẳng (AB'C' )
2 Tính theo a thể tích khối chóp S.AB'C', biết SA a, AB a 3= = và BC 4a=
Hết
-Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Đề thi dự bị
Trang 2SỞ GD& ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12
NĂM HỌC 2012 - 2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ Môn: TOÁN - BT THPT
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
I.
1,
(2,5đ)
TXĐ: D=¡
Ta có y' 4x= 3 +4mx
y' 0= ⇔4x +4mx 0= ⇔x x +m =0
( )
2
x 0
=
⇔ + =
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ( )1 có hai nghiệm
phân biệt khác 0
m 0
m 0
m 0
<
⇔ ≠ ⇔ < Vậy giá trị cần tìm là: m 0<
I.
2,
(2,5đ)
Hàm số f x( ) =x 4 x− 2 liên tục trên đoạn [−1; 1]
−
2
4 2x
4 x
−
−
= ∉ −
⇔
= − ∉ −
Ta có f( )− = −1 3, f 1( ) = 3
Vậy Min f x[ 1;1] ( ) ( )f 1 3
− = − = − , Max f x[ 1;1] ( ) ( )f 1 3
II.
1,
(2,5đ) Bất phương trình đã cho tương đương với ( )
2
2 2
x 1 0
1
x 1 0
2
− ≤
− + ≥
− >
− + ≥ −
Hệ BPT ( )
x 1
x 1
4 x 3
≤
≤
⇔ ⇔ ≤
≥
Trang 3Hệ BPT ( ) 2
x 1 2
>
⇔ − + ≥
x 1
3
2 3
x 2
>
≤
⇔ ⇔ ≥
≥
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S ( ;1] 3;
2
= −∞ ∪ + ∞÷
II.
2,
(2,5đ)
+ − = −
+ + = −
⇔
= − − +
xy 3
+ + + + = + = −
⇔ = − − + ⇔ =
= −
= −
⇔ =−
= −
Vậy nghiệm (x; y của hệ phương trình đã cho là: ) (− −1; 3 ,) (− −3; 1)
III.
1,
(2,5đ)
1 1+ =C +C + + C − +C
Từ giả thiết ta suy ra 2n =1024⇔2n =210 ⇔ =n 10
Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của
10 3
1 x x
+
là k (10 k) 3k k 4k 10
Nên x ứng với 4k 10 1010 − = ⇔ =k 5
Vậy hệ số của x là 10 C105 =252
Trang 42,
(2,5đ)
PT⇔(2cosx 1 2sinx +cosx+ ) ( ) =2sin x cos x sinx+
(2cosx 1 2sinx +cosx) ( ) sin x 2cosx 1( ) 0
sinx+cosx = 0 (2)
+ =
π
= ± + π = − + π ∈¢
IV.
1,
(2,5đ)
Ta có SA⊥(ABC) ⇒SA⊥BC (1)
Từ ( )1 và ( )2 suy ra BC⊥(SAB)
Do đó BC SB⊥ ⇒B'C' SB 3⊥ ( ) (vì B'C'// BC )
Theo giả thiết ta có SB AB' (4)⊥
Từ ( )3 và ( )4 suy ra SB⊥(AB'C')
IV.
2,
(2,5đ)
2
Do BC⊥(SAB) ⇒B'C'⊥(SAB) ⇒B'C' AB'⊥
Thể tích của khối chóp S.AB'C' là
3
-Hết -Chú ý: - Học sinh giải cách khác đúng cho điểm phần tương ứng.
- Khi chấm giám khảo không làm tròn điểm.
B’
B A
C C’
S