Chứng minh rằng A',B',C' thẳng hàng.. Cạnh SA vuông góc với đáy, M là một điểm nằm trên cạnh SB, N nằm trên cạnh SC sao cho MN song song với BC và AN vuông góc với CM.. Tìm tỉ số MS/MB..
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12
Bảng B
Bài I
1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2.Giả sử A,B,C là ba điểm thẳng hàng phân biệt thuộc (C), tiếp tuyến với (C) tại A,B,C tương ứng cắt lại (C) tại A',B',C' Chứng minh rằng
A',B',C' thẳng hàng
n
Bài II.
x+y + x – y = 0
2 Giải bất phương trình:
ln x2+1 - ln(x2-x +1) > 0
Bài III:
dx
+
Bằng phương pháp thêm bớt vào tử số hãy tính nguyên hàm F(x) trên
1
2
ln(
−
+
Bài IV:
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB
=AC =a SA=a Cạnh SA vuông góc với đáy, M là một điểm nằm trên cạnh
SB, N nằm trên cạnh SC sao cho MN song song với BC và AN vuông góc với CM
Tìm tỉ số MS/MB
Bài V:
Xét các tam giác ABC Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
HƯỚNG DẪN CHẤM Bài (6 đ )
CâuI (3 đ )
Trang 21 Tập xác định: R
2 Sự biến thiên:
a y’ = 3x2 -3 = 3(x2-1) => x =-1 hoặc x = 1
(0.25 đ ) y’>0 trên khoảng (-∞; -1) và (1; +∞) y’<0 với x ∈ (-1;1)
(0.5đ) b Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1; yCĐ = y(-1) = 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x=1; yCĐ = y(1) = 0 (0.5đ) c Giới hạn: =
→ −y∞ x lim −∞+ → x (1-3/x 2/x ) 3 2 3 limx = - ∞;
lim→ +y∞ = x = + ∞ + → x (1-3/x 2/x ) 3 2 3 limx = + ∞ (0.5đ) d Tính lồi lõm và điểm uốn y” = 6x; y”= 0 <=> x = 0 x - ∞ 0 + ∞
y” - 0 +
đồ thị lồi U(0;2) lõm
(0.5đ) e Bảng biến thiên: x - ∞ -1 0 1 + ∞
y’ + 0 - - 0 +
y 4 2 + ∞
- ∞ 0
(0.25đ) 3.Đồ thị: ( Học sinh tự vẽ) Đồ thị: qua A(-2;0) nhận I(0;2) làm tâm đối xứng
Trang 3Giả sử A,B,C là 3 điểm thẳng hàng thuộc đường thẳng d có phương trình y=ax+b
-3x1, + 2 (d1) (0.5 đ )
x3 -3x +2 = (3x12-3,)(x- x1,) + x1,3 -3x1, + 2
<=> (x- x1,)2(x+2x1) = 0
(0.5 đ ) => d1 cắt (C) lần nữa tại A' có hoành độ: x1' = -2 x1 Tương tự B',C' lần lượt có hoành độ x2' = -2 x2, x3' = -2 x3
(0.5 đ ) Vì A,B,C có hoành độ xi thoã mãn phương trình axi + b = xi3 -3 xi + 2 (i = 1,2,3) mà xi = - xi'/2 =>a(- xi'/2) + b = (- xi'/2)3 -3(- xi'/2) + 2
(0.5đ) => -4a xi' + 8b = -xi3 -12 xi+16 <=> xi'3-3 xi' + 2 = (4a + 9) xi' + 18 - 8b hay ba điểm A',B',C' nằm trên đường thẳng y = (4a + 9) x' + 18 - 8b Bài II (4đ) Câu I: điều kiện x+y ≥ 0 3x +2y ≥ 0 Đặt u = x+y ≥ 0 => x –y = 2v2 -5u2
(0.5đ) v = 3x 2+ y ≥ 0 Ta có hệ phương trình đã cho u – v = -1
(0.5đ)
u + 2v2 -5u2 = 0
u = 2
(0.5đ)
v = 3
Vậy x + y = 4 x = 1
3x + 2y = 9 y = 3
(0.5đ)
Trang 4Thõa mãn điều kiện
Câu II điều kiện x # -1
(0.5đ)
<=> x+ 1 > 2(x2-x +1) (1)
(0.5đ)
<=>2x2-3x +1<0 <=> 1/2 < x < 1 ( thoã mãn x>-1)
(0.5đ)
Tóm lại bất phương trình đã cho có nghiệm 1/2 < x < 1 (0.5đ)
Bài III (5đ)
CâuI: (2.5đ) Ta có
) 1 (
1 ) 1 (
1 1
2 3
2 2 2
3 5
x x x
x x
− +
= +
=
(0.5đ)
1 ) 1
(
1
1
x x
x
+
− +
) 1 (
1
2
2 2
x x
x x
3
1
1
1
x
x
x+ +
(1đ)
+
+ +
−
x x
x d x
dx dx
2
1 ln
1 1
) 1 ( 2
2 2
2 2
3
(1đ)
−
− +
1 1
2
ln( t a t dt
(0.5đ)
∫
∫
∫
−
−
−
+ +
−
==
+ +
1
2 2 1
1 2 1
2
) ln(
ln
t a
t
a
(1đ)
(1đ)
Bài IV:
Trang 5S
N
A C
M
B
Cho hệ toạ độ Axyz với A(0,0,0) B(a,0,0) C(0,a,0) S(0,0,a)
Giả sử M(x,0,a-x) (0 ≤ x ≤ a)
Do tam giác SAC vuông cân tại A và MS/MB = NS/NC => N(0,x,a-x)
(1đ)
Vậy
AN = (0,x,a-x)
CM = (x,-a,a-x)
Do AN vuông góc với CM <=>AN CM = 0
(1đ)
x =
2
5
2
1
5 −
=
−
=
x a
x MB MS
(1đ)
Bài V:(2đ)
≥12(cotgA cotgB + cotgC cotgB + cotgA cotgC) =12
Đẳng thức xảy ra khi cotgA = 1,cotgB = 1/2, cotgC =1/3
(1đ)