Tìm m để Cm cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, mà 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.. Tìm quỹ tích tất cả các điểm M sao cho từ M ta kẻ được hai tiếp tuyến tới P vuông góc với nhau
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút)
Câu 1: (5 điểm)
Cho hàm số y= x +
1
−
x
m
(Cm)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2 Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt, mà 2 tiếp tuyến tại
đó vuông góc với nhau
Câu 2: (3 điểm)
1 Giải phương trình sau: x - 22006 + x - 12006 = 1
2 Giải bất phương trình sau: x log2
2 x - 2x log2 x ≥ - log2
2 x + 5 log2 x - 6
Câu 3: (4 điểm):
1 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng ∀x∈[-2;4]
- x2 + 2x + 4 −x2 + 2x+ 8+ m ≥ 0
2 Tính ∫ x x)dx
4 sin(
2
2 sin
+ Π
Câu 4: (5 điểm).
1 Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau Tính tổng tất cả các số đó?
2 Cho Parabol (P): y2 = 8x Tìm quỹ tích tất cả các điểm M sao cho từ M
ta kẻ được hai tiếp tuyến tới (P) vuông góc với nhau
Câu 5: (3 điểm).
Cho lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 đứng có tất cả các cạnh bằng a Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB1 và CC1, I là trọng tâm tam giác
Trang 2ABC Đường thẳng d qua I cắt AB1 và MN lần lượt tại P và Q Tính độ dài đoạn PQ theo a
Hết _
Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT
MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút)
Câu 1: (5.0 điểm).
1 m = 1 hàm số trở thành y = x +
1
1
−
x
3đ
TXĐ: D = R /{1}; y’ = 1 (x 1)2'
1
−
−
, y’ = 0 ⇔
=
=
2
0
x x
0,5đ
⇒ y’ > 0 <=> x∈ (- ∞; 0) U (2; + ∞)
y’ < 0 ⇔ x∈(0;1) U (1; 2)
Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞; 0) và (2; + ∞)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (1; 2)
0,5đ
⇒ ycđ = y (0) = - 1 , yct = y (2) = 3
0,5đ
±
→ 1
x limy = x lim → 1 ±
−
+
1
1
x
⇒ Đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
∞
→
x
lim
(y - x) =x lim → ∞
− 1
1
x = 0 ⇒ ĐT y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
±∞
→
x lim y = xlim→±∞
−
+
1
1
x
0,5đ
Bảng biến thiên:
y’
x x x
- ∞
-1
0
- ∞
+ ∞
1
+ ∞
Trang 3y
Đồ thị:
Đồ thị hàm số không cắt trục Ox, cắt trục Oy tại điểm (0; - 1)
2 Bài toán ⇔ tìm m để:
−
=
=
−
+
1 ) ( ' ).
( '
0 1 2
x y x
m x
(1) ⇔ x2 - x + m = 0 (3) có 2 Nopb x1, x2 khác 1
⇔
≠ +
−
>
∆
0 1
1
0
≠
<
0
4 / 1
m m
0,5đ
−
1 1 ) (
1
x
m
−
−
) 1 (
1 2
x
m
= -1⇔ m = 1/5 (Theo ĐL Viet PT (3)) 0,75đ
KL: m =
5
1
là giá trị cần tìm
0,25đ
Câu 2: (3 điểm)
có 2 N0pb x1, x2 khác 1 (1) đ 2,0
(2) 0,5đ
1 3
- 1
y
x
0.5đ
0.5đ
I
Trang 41 Giải phương trình: |x -1|2006 + |x -2|2006 = 1
1.5đ
Nhận xét: x = 1 và x = 2 là hai nghiệm của phương trình
0.5đ
+ x > 2 => | x -1| > 1 => | x -1|2006 > 1 => VT > 1 = VP => PTVN
+ x < 1 => | x -1| > 1 => | x -2|2006 > 1 => VT > 1 = VF => PTVN
+ 1 < x < 2 =>
0 < | x -2| < 1
=> VT < | x -2| + | x -1| = x - 1 + 2 - x = 1 = VF
0 < | x -1| < 1
=> PTVN 0.75đ KL: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 2
0.25đ
2 ĐK: x > 0
1.5đ
BPT <=> (x + 1) log2
2 x - (2x + 5) log2 x + 6 > 0
<=> (log2 x - 2) (log2 x -
1
3
+
x ) > 0 (*) 0.5đ
⇔
>
⇔ +
≤
⇔ +
−
=
≤ +
−
⇔ +
≤
4 2
2 1 2
3 2 0 1
3 1
3
2
2 2
2
2
1 1
3
x log
x x log x x log (*) : x x
(Vì hàm số y = log 2 x -
1
3
+
x đồng biến trên (0; + ∞))
=> x ∈ ∪[ +∞)
;2 4;
2
1
0.5đ
TH2: 2 <
1
1
+
x <=> x <
2
1
: (*) <=> [ 4
2
≤
≥
x
x => x ∈ (0;
2
1
)
TH3: 2 =
1
3
+
x <=> x =
2 1
: (*) <=> (log2 x - 2)2 > 0, ∀ x > 0 => x = 1/2 t/m
Trang 5Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: (0;2]∪[4;+∞)
0.5đ
Câu 3: (4 điểm)
1 Xét f(x) = - x2 + 2x + 8 với x ∈[-2;4]
2,0 đ
Ta có: x0 = 1∈[-2;4], f(1) = 9, f(-2) = 0, f(4) = 0
=> Tập giá trị của f(x) trên [-2;4] là ([0;9]
1,0đ
Đặt: t = − x 2 + 2 x + 8, 0 < t < 3
=> Bài toán <=> tìm m để t2 + 4t + m - 8 > 0, ∀t ∈[0;3]
0.5đ
Xét g(t) = t2 + 4t + m - 8 trên đoạn [0;3]
Ta có: t0 = 2 ∉ [0;3], g(t) đồng biến trên đoạn [0;3], g(0) = m - 8, g(3) = m + 13 Suy ra g(t) > 0, ∀t ∈[0;3] <=> m - 8 > 0 <=> m > 8 0.5đ
+
−
−
= +
− +
dx ) x sin(
) x cos x (sin dx
x cos x sin
) x cos x
(sin
4 2
1 1
2
2,0đ
= - cosx + sinx + C1 - ∫ Π
+ ) x sin(
dx 4 2
1
0.5đ
+
Π +
=
Π Sin (x )
) x sin(
) x
sin(
dx
4
4 4
0.5đ
Trang 6= Π =
+ +
Π +
−
Π +
−
∫
)) x cos(
))(
x
cos(
(
) x cos(
d
4
1 4 1
4
2 1 4
1 4 2
1
C )
x cos(
) x cos(
+
Π +
−
Π +
0.5đ
) x cos(
) x cos(
+
Π +
−
Π +
1 4
1 4 2
2 1
0.5đ
Câu 4: (5 điểm)
1 - Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được 3
6
A = 120 số tự nhiên có 3
2,5đ
chữ số khác nhau
- Tính tổng các số lập được:
0.5đ
Có 2
5
A số có chữ số 6 đứng ở hàng đơn vị
Có 2
5
A số có chữ số 5 đứng ở hàng đơn vị
Có 2
5
A số có chữ số 4 đứng ở hàng đơn vị
Có 2
5
A số có chữ số 3 đứng ở hàng đơn vị
Có 2
5
A số có chữ số 2 đứng ở hàng đơn vị
Có 2
5
A số có chữ số 1 đứng ở hàng đơn vị
=> Tổng các chữ số hàng đơn vị là:
2
5
A (1 + 2 + 3 +4 + 5 + 6) = 420
1,0đ
Tương tự: Tổng các chữ số hàng chục là: 420
Tổng các chữ số hàng trăm là: 420 0.5đ
Trang 7Vậy tổng các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lập được từ các số đã cho là:
420 100 + 420.10 + 420 = 46620
0.5đ
2 Gọi M (x0; y0), hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của (P) qua M là d1và d2
2,5đ.
Giả sử PT d1 là: A (x - x0) + B (y - y0) = 0 (A2+B2 ≠ 0)
<=> Ax + By - (Ax0 + By0) = 0 0.5đ
=> Phương trình d2 là: Bx - Ay - (Bx0 - Ay0) = 0
0.5đ
Theo giả thiết: d1, d2 tiếp xúc với (P) nên ta có hệ phương trình
0.5đ
4B2 = 2A (-Ax0 - By0) (1) 4A2 = 2B (-Bx0 - Ay0) (2)
Từ hệ phương trình suy ra A.B ≠ 0
0.5đ
Từ (2) ta có: y0 =
AB
A x B AB
x B
2 0 2
2
2
=
0 = -2 0.5đ
Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng x = -2
0.5đ
Câu 5: (3 điểm)
P
J
B 1
C 1
A 1
Trang 80,25 đ
Theo giả thiết lăng trụ có hai đáy là hai tam giác đều cạnh a, ba mặt bên
là ba hình vuông cạnh a
0.25đ
- Dựng PQ: Kẻ qua I đường thẳng song song CB cắt AB tại F Trong mặt phẳng (ABA1B1), đường thẳng FM cắt đường thẳng AB1tại P
IF // BC // MN => Trong mặt phẳng (IFMN) đường thẳng IP cắt MN tại
Q Vậy P, Q là hai điểm cần xác định
1,0đ
- Tính PQ: Đường A1B1 cắt PF tại J Do M là điểm BB1 nên BF = B1J
I là trọng tâm tam giác đều ABC nên BF =
2
1
AF = a/3
=> B1J =
2
1
AF => 4PM = 3FP (vì M là trung điểm của FJ và J là trung điểm PF) => 4 PQ = 3 PI
0.5đ
- Mặt khác: FP = 4 MF = 4
3
13 2 2
BF
FI =
3
1
BC =
3
a
, MI =
3 2
7 2
BI
M
I A F
Trang 9=> Cos ∠ IFM =
13
1 2
2 2
IM IF
IM FM IF
0.5đ
=> IP2 = IF2 + FP2 - 2IF.FP cos ∠ IFM =
3
57 9
IP
=> PQ =
4
3
PI =
4
57
a Vậy PQ =
4
57 a
0.5đ
(Thí sinh có thể làm bài này theo phương pháp toạ độ)
Hết _
