tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán 8

Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất... a Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.. Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của ·B

C xuống đường thẳng AB và AD.

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

a Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

b Tính giá trị của A , Biết |x| =12.

c Tìm giá trị của x để A < 0.

d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 3 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ ME⊥AB, MF⊥AD.

a Chứng minh: DE CF=

b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.

c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.

= (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2

= (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x 2 + 7x + 16)

2

⇒ = hoặc 1

x2

−

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

4A3

⇒ = hoặc 4

A5

b DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC⇒ đpcm (2 điểm)

c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi

ME MF a

⇒ + = không đổi AEMF

(1 điểm)

§Ò thi SỐ 3

Câu 1 : (2 điểm) Cho P=

8 14 7

4 4

2 3

2 3

− +

a

a a a

b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 3 : (2 điểm)

a) Giải phơng trình :

18

1 42 13

1 30

11

1 20

9

1

2 2

+ +

+ + +

+ +

+

− +

+

−

c b

c a

b a

c b a

b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi.

3 2

− +

a ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ớc của 3,

mà Ư(3)={− 1 ; 1 ; − 3 ; 3} 0,25

Từ đó tìm đợc a ∈{− 1 ; 3 ; 5} 0,25

Câu 2 : (2đ)

a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 0,25

Ta có a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )=(a+b)[(a2 + 2ab+b2 ) − 3ab]=

=(a+b)[(a+b) 2 − 3ab] 0,5

V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b) 2 -3ab chia hÕt cho 3 ;

Do vËy (a+b)[(a+b) 2 − 3ab] chia hÕt cho 9 0,25

6 (

1 )

6 )(

5 (

1 )

5 )(

4 (

1

= + +

+ + +

+ +

1 6

1 6

1 5

1 5

1 4

+

− +

+ +

− +

+ +

1 4

; 2

y x c z x b z

+ +

2

1 2 2

z z

y x

z z

x y

x x

y z

y x y

z x x

z y

2 1 x

y

E D

B

A

b) (1đ) Từ (1) suy ra

EM

MD CM

BD = mà BM=CM nên ta có

EM

MD BM

BD =

Chứng minh BMD∆ ∾ MED∆ 0,5

Từ đó suy ra Dˆ1 = Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5

c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25

phaõn tớch thaứnh tớch cuỷa moọt ủa thửực baọc nhaỏt coự caực heọ soỏ nguyeõn

Caõu 3( 1 ủ): tỡm caực soỏ nguyeõn a vaứ b ủeồ ủa thửực A(x) = x4 − 3x3 +ax b+ chia heỏt cho ủa

thửực B x( ) =x2 − + 3x 4

Caõu 4( 3 ủ): Cho tam giaực ABC, ủửụứng cao AH,veừ phaõn giaực Hx cuỷa goực AHB vaứ phaõn giaực Hy cuỷa goực

AHC Keỷ AD vuoõng goực vụựi Hx, AE vuoõng goực Hy.

Chửựng minh raốngtửự giaực ADHE laứ hỡnh vuoõng

Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng

Đáp án và biểu điểm

mn = 10( m + n – 10) + 1

10 10 100 1 ( 10) 10 10) 1

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3

0,5 đ 0,5 đ 4

3 đ

Tứ giác ADHE là hình vuông

Hx là phân giác của góc ·AHB ; Hy phân giác của góc ·AHC mà ·AHB

và ·AHC là hai góc kề bù nên Hx và Hy vuông góc

Hay ·DHE = 90 0 mặt khác ·ADH AEH = · = 900

Nên tứ giác ADHE là hình chữ nhật ( 1)

0,25 đ

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ

0 0

90 45

90 45

AHB AHD

AHC AHE

AHD AHE

Hay HA là phân giác ·DHE (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác ADHE là hình vuông

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

Bài 5: (4 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt làhình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân

giác của ·BAC

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD

⇒OFD OED ODF 90· + · + · = o(1)

Ta có OFD· + ω +OED· + β +ODF· + α =270o(2)

17

x

=

++

−+

1x

1 + + =

Tính giá trị của biểu thức:

xy 2 z

xy xz

2 y

xz yz

2 x

yz

+

+ +

+ +

=

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn

vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ sốhàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm

a) Tính tổng

'CC

'HC'BB

'HB'AA

'HA

++

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và gócAIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM

2'CC'

BB'

AA

)CABCAB(

++

++

• Bài 2 (1,5 điểm):

0z

xyz

xzyz

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó:

)yz)(

xz(

xy)

zy)(

xy(

xz)

zx)(

yx(

yzA

m–k = 11 m–k = 33

m = 67 m = 37

k = 56 k = 4 (0,25điểm) Kết luận đúng abcd = 3136 (0,25điểm)

'HABC

'

AA.21

BC'

HA.2

1S

'HCS

S

ABC

HAB = ;

' BB

' HB S

S

ABC

HAC = (0,25điểm)

S

SS

SS

S'CC

'HC'

BB

'HB

HAB ABC

=+

+ (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

AI

ICMA

CM

;BI

AINB

AN

;AC

BI

1BI

IC.AC

ABAI

IC.BI

AI.AC

ABMA

BB'

AA

)CABCAB

(

2 2

2

2

≥+

+

++

(0,25điểm)Đẳng thức xảy ra ⇔BC = AC, AC = AB, AB = BC

1

1:1

1

x x x

x x

Bài 3 (3 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

Bài 4 (2 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a4 −2a3+3a2−4a+5

Bài 5 (3 điểm)

(0,5điểm ) (0,5điểm )

⇔

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh

b, Cho AB = 4cm Tính các cạnh của tứ giác AMNI

Bài 6 (5 điểm)

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Đường thẳng qua O

và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N

a, Chứng minh rằng OM = ON

b, Chứng minh rằng

MN CD AB

2 1 1

)(

1 (

) 1 )(

1 ( :

1

1

2

2 3

x x x x x

x x x

x x x

+

− +

− +

1 )(

1 (

) 1 )(

1 ( : 1

) 1

x x x

x x x x

+

− +

+

−

−

− + +

5 (

3

5 1

Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi ( 1 +x2 )( 1 −x) < 0 (1) 0,25đ

Vì 1 +x2 > 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 −x< 0 ⇔ x> 1

KL

0,5đ0,25đ

Bài 2 (3 điểm)

Biến đổi đẳng thức để được

bc ac ab c

b a ac a

c bc c

b ab

b

a2 + 2 − 2 + 2 + 2 − 2 + 2 + 2 + 2 = 4 2 + 4 2 + 4 2 − 4 − 4 − 4

0,5đ

Biến đổi để có (a2 +b2 − 2ac) + (b2 +c2 − 2bc) + (a2 +c2 − 2ac) = 0 0,5đBiến đổi để có (a−b) 2 + (b−c) 2 + (a−c) 2 = 0 (*) 0,5đ

Vì (a−b) 2 ≥ 0;(b−c) 2 ≥ 0;(a−c) 2 ≥ 0; với mọi a, b, c

nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a−b) 2 = 0;(b−c) 2 = 0 và (a−c) 2 = 0;

0,5đ0,5đ

Bài 3 (3 điểm)

Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11 Phân số

cần tìm là

11 +

−

x x

(x khác -15)

0,5đ

Theo bài ra ta có phương trình

11 +

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đb,(2điểm)

= ,

AC

OC AB

OM = (1), xét ∆ADCđể có

AD

AM DC

Từ (1) và (2) ⇒ OM.(

CD AB

1

AD

AD AD

DM AM

0,5đ

Chứng minh tương tự ON.( 1 + 1 ) = 1

CD AB

2 1

⇒ S AOB.S DOC =S BOC.S AOD 0,5đ

⇒ S AOB.S DOC = (S AOD) 2

Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009

à i 1:

Cho x = 2 2 2

2

b c a bc

2 2

( ) ( )

Cho ∆ABC; AB = 3AC

Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C

ĐỀ

S Ố 9 B

b/ Tìm các giá trị của x để A<1

c/ Tìm các giá trị nguyên của x để Acó giá trị nguyên

Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên Biết rằng đa thức

x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x) Tính P(1)

Bài 4 (3,5 điểm):

Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD Nối D với

E Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK Gọi G là giao điểm của DK và EM

c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:

Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ,

6 giờ, 7 giờ và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h

Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?

1: (2điểm)

a) Cho x2 −2xy 2y+ 2 −2x 6y 13 0+ + = Tính

23x y 1N

Tính thời gian ô tô đi trên quãng đường AB biết người đó đến B đúng giờ

Bài

4: (3 điểm)

Cho hình vuông ABCD trên cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng CD tại F Gọi I là trung điểm của EF AI cắt CD tại M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N.

a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi

b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC

b, Cho a, b, c ≠0 Tính giá trị của D = x2011 + y2011 + z2011

Biết x,y,z thoả mãn: x22 y22 z22

a b c

2 2

b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và 1+1+1 = 0

c b a

Rút gọn biểu thức:

ab c

ca b

bc a

N

2

1 2

1 2

1

2 2

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau khi đi được 15 phút, người

đó gặp một ô tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km

Tính quãng đường AB

Bài 4: (3điểm)

Cho hình vuông ABCD M là một điểm trên đường chéo BD Kẻ ME và MF vuông góc với AB và AD

a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau

b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy

c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

Bài 5: (1điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:3x2 +5y2 =345

§

Ề S Ố 14 Bài 1: (2,5điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử

a) x5 + x +1b) x4 + 4c) x x- 3x + 4 x-2 với x > 0

Bài 2 : (1,5điểm)

Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:

2 2

2 1

2 + + + + + + +

+

=

c ac

c b

bc

b a

ab

a A

Bài 3: (2điểm)

Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0

Tính: 4a2 b2

ab P

a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm

b) Chứng minh : AFEN là hình thang cân

c) Tính : ANB + ACB = ?

d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hình thoi và cần thêm điều kiện của ∆ ABC

để cho AEMF là hình vuông

Bài 5: (1điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23

§Ò S Ố 15 Bài

1: (2 điểm)

a) Phân tích thành thừa số: (a+b+c) 3 −a3 −b3 −c3

b) Rút gọn:

9 33 19

3

45 12 7

2

2 3

2 3

− +

x

x x

Tính xem trong bao lâu thì giếng sẽ hết nước

a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN

b) So sánh hai tam giác ABC và INC

09

00 1

99 224

9 sè 2 -

1 3

6

6 4

2 3

2

x

x x

x x x

x x

a) Rút gọn p

b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / =

4 3

c) Với giỏ trị nào của x thỡ p = 7

d) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để p cú giỏ trị nguyờn

Cõu 4 : ( 3 ủieồm ) Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1

Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0

Cõu 5 : ( 3ủieồm)

Qua trọng tõm G tam giỏc ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lầnlượt tại M và N Tớnh độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giỏc ABC bằng 75(cm)

Cõu 6 : ( 4 ủieồm ) Cho tam giỏc đều ABC M, N là cỏc điểm lần lượt chuyển động trờn hai

cạnh BC và AC sao cho BM = CN xỏc định vị trớ của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏnhất

đề

SỐ 17 Bài 1: (2 điểm)

Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:

3. Tìm số d trong phép chia của biểu thức (x+ 2) (x+ 4) (x+ 6) (x+ + 8) 2008 cho đa thức x2 + 10x+ 21.

Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.

1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn

1.1 (0,75 ®iÓm)

( ) ( )

2 7 6 2 6 6 1 6 1

x + x+ =x + +x x+ =x x+ + x+ = +( x 1) (x+ 6)

0.5 0,5

⇔ =x 1; x= 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)

Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x=1.

0,5 0,5 2.2

c c

b a

b c

a b

a c

b a c b a

= 3 ( ) ( ) ( )

c

b b

c a

c c

a a

b b

4.1 + Hai tam giác ADC và BEC

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)

Suy ra: ãBEC= ãADC= 135 0(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

Nên ãAEB= 45 0 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

BE=AB =m

1,0

0,5 4.2

BC = ìBC = ìAC (do BEC∆ : ∆ADC)

mà AD AH= 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

BC = ìAC = ì AC = AB = BE (do ABH∆ : ∆CBA)

Do đó BHM∆ : ∆BEC (c.g.c), suy ra: ãBHM = ãBEC= 135 0 ⇒ ãAHM = 45 0

0,5 0,5

0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó.

Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010

b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

Đáp án và biểu điểm Bài 1: Phân tích:

+) x - 2 = -2 => x = 0

S = {0;4} 1đ

Bài 3(2 đ)

Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ

Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

 PO là đường trung bình của tsm giác CAM

 AM//PO

⇒tứ giác AMDB là hình thang 1đ

b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ

Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)

O M

P

I E

F

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử

b) Tìm giá trị nguyên của x để A M B biết

5 2005

4 2006

3 2007

2 2008

x

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF

a) Chứng minh∆EDF vuông cân

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho

BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:

a/ DE có độ dài nhỏ nhất

b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

Híng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm Bài 1: (3 điểm)

x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1)

− − + (0,25đ)

2009 2006

2009 2007

2009 2008

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

Do đó : 0

2003

1 2004

1 2005

1 2006

1 2007

1 2008

1 + + − − − < (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = -2009

Bài 3: (2 điểm)

a) (1đ)

Chứng minh ∆EDF vuông cân

Ta có ∆ADE =∆CDF (c.g.c) ⇒ ∆EDF cân tại D

Mặt khác: ∆ADE =∆CDF (c.g.c) ⇒Eˆ1=Fˆ2

Mà Eˆ 1 +Eˆ 2 +Fˆ 1 = 90 0 ⇒ Fˆ 2 +Eˆ 2 +Fˆ 1 = 90 0

⇒ EDF = 90 0 Vậy∆EDF vuông cân

b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng

Theo tính chất đường chéo hình vuông ⇒ CO là trung trực BD

Mà∆EDF vuông cân ⇒ DI = 1

2 EFTương tự BI = 1

1 2

A D B

C E

b) 2x2 – 5x – 7

Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng:

x

A x

2

2

Bài 3: Cho phân thức:

x x

x

2 2

5 5

2 +

+

a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức đợc xác định

b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1

Bài 4: a) Giải phơng trình : x x−+22−1x = x(x2−2)

b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + 3

Bài 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:

Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất đợc 50 sảnphẩm Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất đợc 57 sản phẩm Do đó đã hoàn thànhtrớc kế hoạch một ngày và còn vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sảnxuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày

Bài 6: Cho ∆ ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH và

trung tuyến AM

a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA

2 (

) 2 ( 2 ).

2 ( 2 )

2 (

) 4 2 )(

4 2 ( 2

4 ) 2 [(

+

−

= +

+

−

= +

x x

x x

x

x x

x x x

x x x

x

x x

x

x

2

5 ) 1 ( 2

) 1 ( 5

2 )

2 (

2) - (x - 2) x(x

Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất là : x ngày

Điều kiện: x nguyên dơng và x > 1

Vậy số ngày tổ đã thực hiện là: x- 1 (ngày)

⇔x = 10 (thoả mãn điều kiện)

Vậy: số ngày dự định sản xuất là 10 ngày

Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm)

0,5 đ0,5 đ0,5 đ0,5 đ

15 = =

=

=

HA HB

hay BA

BC HA

AC HB AB

25

05

b) 4

1004

1x1986

21x1990

17

x

=

++

−+

1x

1 + + =

Tính giá trị của biểu thức:

xy 2 z

xy xz

2 y

xz yz

2 x

yz

+

+ +

+ +

=

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn

vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ sốhàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm a)

Tính tổng

'CC

'HC'BB

'HB'AA

'HA

++

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và gócAIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM

'CC'

BB'

AA

)CABCAB(

2 2

2

2

≥+

+

++

xyz

xzyz

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )

Do đó:

)yz)(

xz(

xy)

zy)(

xy(

xz)

zx)(

yx(

yzA

'

AA.21

BC'

HA.2

1S

'HCS

S

ABC

HAB = ;

' BB

' HB S

S

ABC HAC = (0,25điểm)

S

SS

SS

S'CC

'HC'

BB

'HB

HAB ABC

=+

+ (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

AI

ICMA

CM

;BI

AINB

AN

;AC

BI

1BI

IC.AC

ABAI

IC.BI

AI.AC

ABMA

hoặc hoặc

4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2

4'CC'

BB'

AA

)CABCAB

(

2 2

2

2

≥+

+

++

(0,25điểm)(Đẳng thức xảy ra ⇔BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔AB = AC =BC

2

2 3 4

+

− + + +

n

n n n

+ +

+ + +

+ +

c b

bc

b a

b b

c a

c c

b b

132 86

214 + − + − =

x

b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9

c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng

Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đờng chéo.Qua 0 kẻ

đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F

a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC

b Chứng minh:

EF CD AB

2 1

0,50,50,50,50,5

b, (2điểm) B=n2

+3n-2n

⇔

c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1)[ (n2 − 4)+ 5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2

Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+25 (tich 5số tự nhiên liên tiếp)

Và 5 n(n-1)(n+15 Vậy D chia 5 d 2

Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phơng

Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phơng

Câu 2

(5điểm)

+ +

+ + +

+ +

c b

bc

b a

ab a

1

2 + + + + +

+ +

c ac

abc abc

abc c

ac abc ac

1

1 1

1

+ +

+ +

= + +

+ + +

+ +

ac abc c

ac

c ac

c

abc c

ac ac

0,50,50.50.50.50.5

0,50,50,50,5

b, (2điểm) a+b+c=0⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc)

⇒a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì

a+b+c=0

⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì

a+b+c=0 ⇒2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2)

b b

a c

b b

a

2 2

2

2 2

c b

a a

c b

a

2 2

2

2 2

b a

c c

b a

c

2 2

2

2 2

2

=

≥ +

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:

a

bb

cc

a(2)a

cc

bb

a(

2 2

2 2

2

++

≥+

a

bb

cc

aa

cc

bb

a

2

2 2

2 2

2

++

≥++

82

54 84

132 86

132 (

) 1 86

214 (x− − + x− − + x− − =

⇔ 0

82

300 84

300 86

1 86

C©u 3

0,50,5

0,50,5

b, (2®iÓm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9

⇔(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 ⇔(64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 §Æt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔k2=72,25 ⇔

k= 8,5±Víi k=8,5 tacã ph¬ng tr×nh: 64x2-16x-8=0 ⇔(2x-1)(4x+1)=0; ⇒

x=

4

1

; 2

1 , 2 1

c, (1®iÓm) x2-y2+2x-4y-10 = 0 ⇔(x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 ⇔(x+1)2-(y+2)2=7 ⇔(x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d-

¬ng Nªn x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒x=3 ; y=1 Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm d¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)

EO = MÆt kh¸c AB//DC

⇒

DC AB

AB DC

EO AC

AO BC AB

AB OC

AO

AO BC

AB

AB OC

AO DC

⇒ +

= +

⇒

=

⇒

EF AB DC EF

DC AB

DC AB DC

AB

AB DC

0,5 0,5

0,5 1,0 0,5 1,0 1,0

O

I M N