Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán cơ bản và nâng cao

Cho hình vuông ABCD.. Gọi I là trung điểm của FE, AI cắt CD tại M.. Qua E dựng tia Ey song song với DC cắt AI tại K.. b Tứ giác KFME là hình thoi.. Trên cạnh AB và AC, theo thứ tự lấy cá

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2013 – 2014

MÔN: TOÁN 8

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2,0 điểm)

1 Cho biểu thức

2

2

P

a) Rút gọn biểu thức P;

b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên

2 Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc

Bài 2 (2,0 điểm)

1 Tìm x, y, z biết x2 + y2 + z2 + 2x – 4y + 6z = -14

2 Tìm các số nguyên dương n để số p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố

Bài 3 (1,0 điểm)

Tìm nghiệm nguyên của phương trình 4x + 11y = 4xy

Bài 4 (2,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD Trên BC lấy điểm E, dựng  0

EAx90 sao cho tia Ax cắt

CD tại F Gọi I là trung điểm của FE, AI cắt CD tại M Qua E dựng tia Ey song song với DC cắt AI tại K

a) Tam giác AFE cân tại A

b) Tứ giác KFME là hình thoi

Bài 5 (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC Trên cạnh AB và AC, theo thứ tự lấy các điểm E và D sao cho

BE = CD Gọi N, Q theo thứ tự là trung điểm của BD và CE Gọi G và H lần lượt là giao điểm của NQ với AB và NQ với AC Chứng minh tam giác AGH cân

Bài 6 (1,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 8x 122

M





-Hết -

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

Môn thi: Toán 8

1a) ĐKXĐ : x  2 ; x  5

2

2

2

2

2

P



0,25

0,25

0,25

Để biểu thức P có giá trị nguyên khi và chỉ khi 1

x2có giá trị nguyên

 

Khi x – 2 = 1  x = 3 (TMĐK)

Khi x – 2 = - 1  x = 1 (TMĐK)

Vậy x1 ; 3 thì biểu thức P có giá trị nguyên

0,25

0,25

Bài 1

(2,0 điểm)

2) (a + b + c)3 = (a + b)3 + 3(a + b)2c + 3(a + b)c2 + c3

= (a + b)3 + 3(a + b)c.(a + b + c) + c3 = (a + b)3 + c3

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a + b)

a3 + b3 + c3 + 3ab(- c) ( do a + b + c = 0 nên a + b = -c)

a3 + b3 + c3 + 3ab(-c) = 0 suy ra a3 + b3 + c3 = 3abc

0,25

0,25 0,25 1) x2 + y2 + z2 + 2x – 4y + 6z = -14

Mà (x + 1)2  0 ; (y - 2)2  0 ; (z + 3)2  0

Suy ra : x = -1 ; y = 2 ; z = -3

0,25 0,25 0,25 0,25

Bài 2

(2,0 điểm)

Nếu n = 1 thì p = 0, không phải là số nguyên tố

Nếu n = 2 thì p = 5, là số nguyên tố

Với mọi số tự nhiên n  3 thì n -1  2; n2+1  10

 p có 2 ước lớn hơn 1

Suy ra p là hợp số

Vậy n = 2 là giá trị phải tìm

0,25

0,25 0,25

Bài 3

(1,0 điểm)

4x + 11y = 4xy  (4x – 11)(y – 1) = 11

Vì x, y là các số nguyên nên 4x – 11 và y – 1 là ước của 11

Ta có bảng giá trị:

Vậy nghiệm nguyên của phương trình : (x, y) = (0 ; 0), (3 ; 12)

0,25 0,25

0,25 0,25

Hình vẽ đúng

M I

x F

E

B A

a) - Chứng minh ABE = ADF (g.c.g)

Suy ra AE = AF hay AFE cân tại A

0,5 0,5

Bài 4

(2,5 điểm)

b) - Chứng minh IKE = IMF (g.c.g)

Suy ra IK = IM

Ta có: IK = IM; IE = IF nên tứ giác KFME là hình bình hành

Tam giác AFE cân nên trung tuyến AI cũng là đường cao tức là AM  FE Hình bình hành KFME có KM  FE

Nên KFME là hình thoi

0,5 0,25

0,5 0,25

Hình vẽ đúng

P

Q N

H G

D E

C B

A

Bài 5

(1,5 điểm) Gọi P là trung điểm của ED

Có PN là đường trung bình của EDB

Suy ra NP // EB và 1

2

Tương tự PQ // CD và 1

2



Mà BE = CD (GT)

Do đó PN = PQ  PNQ cân tại P PNQPQN

Lại có: PNQ AGH; (hai góc đồng vị của PN // EB)

và PQN AHG(hai góc đồng vị của PQ // CD)

Nên AGH AHG suy ra AGH cân tại A

0,25 0,25

0,5

0,25 0,25

Bài 6

(1,0 điểm)

Ta có :

Do đó min M = -1  x = - 4

Ta có :

Do đó max M = 4  x = 1

0,25 0,25

0,25 0,25 Chú ý :

- Các cách giải khác nếu đúng đều cho điểm tối đa