TOÁN TỔNGN HỢP CHO HỌCC SINH CẤP 3

Đây là nội dung các kiến thức cơ bản dành cho học sinh cấp 3 môn Toán. Các kiến thức được tổng hợp theo chuyên đề nhằm giúp các em ôn tập hiệu quả, tập trung. Mỗi phần đều có hướng dẫn phương pháp làm, một số lượng lớn các bài tập nhằm giúp các em củng cố kiến thức của mình

Phần I: hàm số và các vấn đề liên quan.

Cực đại, cực tiểu

Các dạng toán cơ bản:

dang1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số y = f(x) có cực đại cực tiểu

a/ Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị:

Hàm số y = f(x) có cực trị khi phơng trình y = f (x) = 0 có nghiệm và y đổi dấu qua các’ ’ ’

nghiệm đó.

b/ Tìm điều kiện của tham số để hàm số chỉ có1 cựcđại (cực tiểu) :

Hàm số chỉ có cực đại ( cực tiểu) khi:

TH1: y = 0 có 1 nghiệm duy nhất và đổi dấu từ (+) sang ( -),(hoặc từ (-) sang(+)) khi’

qua nghiệm đó.

TH2: y =0 có 1 nghiệm đơn và nghiệm kép và y đổi dấu từ (+) sang (-) , (hoặc từ (-)’ ’

sang(+)) khi qua nghiệm đơn đó.

dạng 2: Viết phơng trình đờng qua đi qua cực đại, cực tiểu.

'

x f y

x f

a/ Hàm phân thức

b/ Hàm đa thức

dạng 3:Biện luận theo tham số , số nghiệm của phơng trình:

a/ Dựa vào đồ thị hàm số vừa vẽ, tìm điều kiện của tham số số nghiệm của phơng trình

b/ Dựa vào bảng biến thiên ( dáng đồ thị) tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm duy nhất, hai nghiệm, ba nghiệm,

=

x

m mx x

Hãy xác định tất cả giá trị của tham số m để điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho

ở về hai phía của đờng thẳng 9x-7y-1=0

m m x m x

y

+

++++

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có hai cực trị trái dấu

4/ Tìm m để hàm số

m x

m mx x

y

+

−+

−+

−

=

x

m m x m x

hàm số có cực trị Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

=

x

m x x

y , xác định tất cả giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số có các

điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía trục tung

8/ Cho hàm số y= x3 −3(m+1)x2 +2(m2 +7m+2)x−2m(m+2) Tìm m để hàm số có cực đại,cực tiểu và viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu đó

9/ Cho hàm số y= x3 +3mx2 +7x+3 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu Lập phơng trình ờng thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu đó

đ-10/ Cho hàm số

m x

m mx x y

−

−+

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m=0

c/ Phơng trình 4x3 −3x= 1−x2 có bao nhiêu nghiệm

15/ Hãy xác định các khoảng tăng giảm, các điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số y=x.e−3x.16/ Cho hàm số

m x

m x m x y

−

+

−++

a/ Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại, cựctiểu cùng dấu

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=2

c/ Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên đồ thi (C) tới hai đ ờng tiệmcận là không đổi

y Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa

các điểm cực trị không đổi

19/ Cho hàm số y=(m+2)x3 +3x2 +mx−5 Tìm giá trị m sao cho hàm số có cực đại và cực tiểu.20/ Cho hàm số y= x4 −2mx2 +2m+m4 Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu;

đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

21/ Với giá trị nào cua a thì đồ thị hàm số y =2x3 +ax2 −12x−13 có điểm cực đại và cực tiểu vàcác điểm này đều thuộc trục tung

22/ Cho hàm số

m x

m x m mx

= 2 (2 2) 2 1 Tìm m để hàm số có cực trị

23/ Cho hàm số

x

m m x m x

2 2

m mx x y

b/ Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu nhau

25/ Cho hàm số y= x4 +8mx3+3(1+2m)x2 −4 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số chỉ cócực tiểu và không có cực đại

26/ Tìm m để hàm số

3

1)2(3)1(3

hoành độ các điểm cực đại và cực tiểu x , 1 x thoả mãn 2 x1+x2 =1

+

+

−+

=

mx

mx m x

29/

Hàm đa thức bậc 3 : các dạng toán thờng gặp:

dạng 1: Từ đồ thị của hàm đã cho suy ra đồ thị của hàm y = f(/x/); y=/f(x)/, dạng 2: Biện luận theo tham số số nghiệm của phơng trình dựa vào đồ thi dạng 3: xác định giá trị của tham số để hàm có cực trị, không có cực trị, dạng 4: Xác định giá trị của tham số để 2 tiếp tuyến tại một điểm vuông góc với nhau.

dạng 5: Xác định giá trị tham số để hàm đồng biến , nghịch biến trên khoảng ,

−+

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với a=3

b/ Tìm các giá trị của tham số a để phơng trình x3 +ax2 −4=0 có nghiệm duy nhất

7/ 1/ Cho hàm số y= x3 −3(a−1)x2 +3a(a−2)x+1, với a là tham số

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a=0b/ Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị x sao cho

2

1≤ x ≤

2/ Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 3

=

x

m x x y

có 3 điểm cực trị.Khi đó chứng minh cả 3 điểm này đều nằm trên đờng cong :y=3(x−1)2

2

12

3

m mx

b/ Viết phơng trình của tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(-1;-2)

c/ Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phơng trình x3 −3x2 −a có 3 nghiệm phân biệt,

trong đó có đúng hai nghiệm lớn hơn 1

11/ Cho hàm số y =2x3 −3(2m+1)x2 +6m(m+1)x+1, (C m)

a/ Tìm điểm cố định mà mọi đơng cong (C m) đều đi qua với mọi m

b/ Tìm các giá trị của m để hàm số trên có cực đại và cực tiểu

c/ Tìm tập hợp các điểm cực đại của đồ thị hàm số khi m thay đổi

d/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0

12/ Cho hàm số : y = x3+ax+2, a là tham số

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a=-3

b/ Tìm tất cả các giá trị của a để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một và chỉ một điểm.13/ Cho hàm số

3

23

++

a/ Tìm m để phơng trình y=0 có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 1

b/ Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực

b/ Chứng minh rằng với mọi m, (C m) luôn cắt đồ thị hàm số y= x3 +2x2 +7 tại hai điểm

A, B phân biệt Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AB khi m thay đổi

c/ Xác định m để (C m) cắt đờng thẳng y=1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho cáctiếp tuyến của (C m) tại D và E vuông góc với nhau

17/ Trong mặt phẳng Oxy cho đờng cong (C) có phơng trình : (C);y=2x4 −3x2 +2x+1và đờngthẳng ∆ có phơng trình y=2x−1

a/ Chứng minh đờng ∆ không cắt (C)

b/ Tìm trên đờng cong (C) điểm A có khoảng cách đên ∆ là nhỏ nhất

18/ Cho hàm số y =2x3 −3(2m+1)x2 +6m(m+1)x+1 Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn

đạt cực trị tại x , 1 x với 2 x2 −x1 không phụ thuộc m

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b/ Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục Oy, d là đờng thẳng đi qua A có hệ số góc k.Xác định k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C

c/ Tìm tập hợp trung điểm I của BC khi k thay đổi

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho

b/ Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị trên và đờng thẳng 2x-y+m=0 Trong trờnghợp có hai giao điểm M, N hãy tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN

4

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2

32

2

+

++

=

x

x x

b/ Tìm k để đờng thẳng y=kx+1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tíchtrung điểm I của đoạn thẳng AB khi m thay đổi

5 Cho hàm số y= x3 −3(2m+1)x2 +6m(m+1)x+m2 −3m, m là tham số ,(C m)

a/ Tìm điểm cố định mà mọi đờng cong (C m) đều đi qua với mọi m

b/ Tìm các giá trị của m để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu

c/ Tìm tập hợp các điểm cực đại của đồ thị khi m thay đổi

6 Cho hàm số y= x3 +3mx2 +3(m2 −1)x+m3 −3m, m là tham số Chứng minh rằng hàm số đãcho luôn có cực đại, cực tiểu, đồng thời khi m thay đổi các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm

số luôn chạy trên hai đờng thẳng cố định

7 Cho hàm số

2

42

2

+

−

−+

=

x

m mx x

a/ Tìm các điểm mà đồ thị hàm số đi qua với mọi giá trị của m

b/ Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu Tìm quỹ tích của điểm cực đại của đồ thịkhi m thay đổi

c/ Biện luận theo tham số m số nghiệm của phơng trình sau:x2 −(1+m)x −m−1=0

x

m mx x

2

−

++

−

=

x

x m x

y có cực đại cực tiểu Tĩm quỹ tích cực đại, cực tiểu.

13 Cho hàm số

2

42

2

+

−

−+

=

x

m mx x

a/ Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu

b/ Tìm quỹ tích điểm cực đại và quỹ tích điểm cực tiểu của (C m)

c/ Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho điểm đó là điểm cực đại của đồ thị với mộtgiá trị m, đồng thời cũng là điểm cực tiểu với một giá trị khác của m

14 Cho hàm số

x x

y= + 1 Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó ta kẻ đợc haitiếp tuyến vuông góc với nhau đến đồ thị hàm số

15 Cho hàm số y= x3 +mx2 −3mx+2m, (C m)

a/ Chứng minh đồ thị (C m) luôn đi qua hai điểm cố định A, B

b/ Xác định m để hai tiếp tuyến của (C m) tại Avà B song song với nhau

c/ Tìm quỹ tích giao điểm của hai tiếp tuyến của (C m) tại Avà B

Điểm đối xứng và đ ờng thẳng đối xứng

1 Cho hàm số y= x3 −3x2 +m Xác định m để trên đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứngnhau qua gốc toạ độ

2 Cho hàm số y= x3 +mx2 +7x+3 Với giá trị nào của m thì trên đồ thị hàm số có một cặp điểm

đối xứng nhau qua gốc toạ độ

3 Cho hàm số y=x3 −3mx2 +3(m2 −1)x+1−m2, có đồ thị (C m) Tìm điều kiện của m để đồ thị)

(C m chứa hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua điểm O(0;0)

=

x

x x

y , có đồ thị (C) Tìm tất cả các cặp điểm thuộc đồ thị (C) nhậnI(0;5/2) làm trung điểm

y Tìm trên đồ thị hai điểm A, B đối xứng nhau qua đờng y=x+3.

x

x x

y ,(C m) Chứng minh rằng hàm số (C m) luôn có cực trị với mọi giátrị của tham số m Tìm m để điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đ ờngthẳng x+2y+8=0

8 Cho hàm sốy= x3 −3x2 +m2x+m. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cựctiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đờng thẳng

2

52

y , (C m) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để trên đồ thị)

(C m có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua điểm O(0;0)

y = + cắt (C tại ba điểm phân biệt A,B,D sao cho AB=BD Khi đó chứng minh rằng0)

b ax

y= + luôn đi qua một điểm cố định

11 Cho hàm số

1

1)

2(

2

+

++

−+

=

x

m x m x

y Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A,B sao cho

:5x A − y A +3=0;5x B − y B +3=0 Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A,B đó đối xứngnhau qua đờng thẳng (d) có phơng trình : x+5y+9=0

12 Cho hàm số

)2(

)1

(C m luôn đi qua với mọi m

m x x y

+

−+

a/ Tìm những điểm cố định mà mọi đờng cong của họ trên đều đi qua

b/ Chứng tỏ rằng những điểm cố định đó thẳng hàng và từ đó suy ra họ đơng cong có chungmột tâm đối xứng

6 Cho họ đờng cong

m x

m mx x y

−

−+

−

= 2 2 ,(C m) Tìm các điểm trên mặt phẳng toạ độ sao cho có

đúng hai đờng của họ (C m) đi qua

7 Cho hàm số

m x

m m x m y

+

−

−+

m x

m x

y

+

−

++

−+

= 2 2 (1 ) 1 Chứng minh rằng với mọi m≠-1 đồ thị hàm số luôn tiếpxúc với một đờng thẳng cố định tại một điểm cố định

9 Cho hàm số

m x

m m mx x

m y

=

2

)2(

4)1(

−+

y Với những giá trị nào của m thì hàm số đã cho đồng biến trên

khoảng (3;+∞)

11/ Cho hàm số

m x

m mx x

y

−

++

−

= 2 2 2 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến với mọi x>1

12/ Cho hàm số

m x

m mx x

b/ Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x>1.

m x

m m mx x

m y

= 1 2 2 3 2 2 Xác định tất cả các giá trị của m sao chohàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó

14/ Cho hàm số y= x3 −3mx2 +3(m2 −1)x+1−m2 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồngbiến trong các khoảng (−∞;2) (∪ 4;+∞)

15/ Cho hàm số ( )

( 1)

244

−

=

m x

m m x m x

định và đồng biến trên khoảng (0;+∞)

16/ Cho hàm số

12

m mx x y

013

0123

3

2

x x

x x

<

++

01093

045

2 3

2

x x x

x x

−

=

−π

285

cotcot

y x

y x gy gx

.22/ a/ Giải phơng trình 2x− 1 −2x2−x =(x−1)2

b/ Giải và biện luận phơng trình : 5x2 + 2mx+ 2 −52x2 + 4mx+m+ 2 = x2 +2mx+m

.23/ Giải phơng trình :

x x

x x

x x x x

cossin4

cossin

3ln1cossincossin

+

+++

y x y x

lnln

−

>

+

26/ Với mọi ∆ABC chứng minh : sinA+sinB+sinC+tgA+tgB+tgC>2π

biện luận nghiệm của phơng trình, bất pt dựa vào đồ thị hàm số:

1/ a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

12

56

b/Biện luận số nghiệm của phơng trình : x2 −6x+5=k2x−1 theo tham số k

2/ a/Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Tìm những giá trị của tham số m để bpt sau đúng với mọi giá trị x :mx4 −4x+m≥0

3/ a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= x4 −2x2 −1

b/ Với giá trị nào của m thì phơng trình x4 −2x2 −1 =log4m có 6 nghiệm phân biệt.4/ Cho hàm số y= x4 −5x2 +4

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số

b/ Tìm điều kiện của tham số m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4 điểm phân biệt

c/Tìm điều kiện của m sao cho đồ thị hàm số chắn trên đờng thẳng y = m ba đoạn thẳng có

=

x

x y

2/Tìm tất cả giá trị của tham số m để đờng thẳng mx – y + 1 = 0 cắt đồ thị (C) hàm số tạihai điểm phân biệt

6/ Cho hàm số y= x3 −3x+2+m

a/ khảo sát khi m = 0

b/ Tìm m để phơng trình x3 −3x+2+m=0 có 3 nghiệm phân biệt.

7/ Cho hàm số y=3x−4x3

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/ Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình 3x−4x3 −3m+4m3 =0

c/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua M (1; 3)

8/ Cho hàm số

1

33

a/ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b/Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình :2x2 +(1−log3m)x+log3m−1=0

=

x

x x y

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/Tìm trên (C) những điểm cách đều 2 trục toạ độ

c/ Tìm k để đờng thẳng y = kx – k + 2 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

11/ Cho hàm số ( )2

3 x

x

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Đờng thẳng d qua O có hệ số góc m Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

c/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số

b/ Tìm m để đờng thẳng y = m (x -5) +10 cắt (C) tại 2 điểm phân biệt và nhân A( 5; 10) làtrung điểm

c/ Biện luận theo k số nghiệm âm của phơng trình ( 2) 2

2

92

16/ Cho hàm số : y=x4 −(m2 +10)x2 +9

a/ Khảo sát khi m = 0

b/ Chứng minh rằng với mọi m ≠ 0, đồ thị hàm số giao với Ox tại 4 điểm phân biệt Chứngminh rằng trong số các điểm đó có 2 điểm nằm trong (-3; 3) và 2 điểm nằm ngoài (-3; 3).17/ Cho hàm số

x

x x

2

2

−

−+

−+

=

x

m x m mx

y

a/ Với giá trị nào của m thì hàm số có hai cực trị thuộc miền (0;+∞)

b/ Khảo sát khi m = 1

c/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với y = -x

d/ Biện luận theo a số nghiệm phơng trình a

x

−+

−

1

212

=

x

mx x y

a/Với giá trị nào của m y = m giao với đồ thị hàm số tại A, B sao cho OA ⊥ OB

b/ Viết phơng trình đờng thẳng d qua điểm A(3; 0) và có hệ số góc k

+/ với giá trị nào của k thì d là tiếp tuyến

+/ Với giá trị nào của k thì d cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt

=

x

x x y

a/ Khảo sát

b/ Biện luận theo m số nghiệm phơng trình m

x

x x

=+

++

11

2

+

++

=

x

x x

21

52

2

=+

b/ Biện luận theo k nghiệm của phơng trình : x3 −3x2 +k =0

c/ Đờng thẳng d : y = k(x - 2) + m – 5 Với giá trị nào của k thì d tiếp xúc với đồ thị hàm số.29/ Cho hàm số:

=

x

x x

a/ Khảo sát

b/Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số, tiệm cận xiên , x = 2, x = 3

c/ Biện luận theo m nghiệm của phơng trình sin2t+(m−1)cost−m=0 ;0<t <2π

Tiếp tuyến

1/ Cho hàm số

1

11

−++

=

x x

y

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Tìm trên đồ thị (C) những điểm có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai

đờng tiệm cận 1 tam giác có chu vi nhỏ nhất

2

+

++

=

x

x x

2/Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = -3

3/ Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểm cực đại, cực tiểu của (C) nằm về hai phíakhác nhau của đờng tròn x2 + y2 −2ax−4ay+5a2 −1=0

5/ Cho hàm số

2

34

b/ Viết phơng trình tiếp tuyến qua điểm 

=

x

x x y

c/ Viết phơng trình tiếp tuyến với (C1) tại các giao điểm của (C1) với trục hoành

d/ Chứng minh rằng với mọi m đồ thị (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định

12/ Cho hàm số y= x3 −3x

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b/ Xác định tất cả các giao điểm của đồ thị hàm số với Ox

c/ Tìm trên x = 2 những điểm có thể kẻ đúng 3 tiếp tuyến tới đồ thị

13/ Cho hàm số

1

43

b/ Với giá trị nào của a thì y = ax + 3 không cắt (H)

c/Viết phơng trình tiếp tuyến với (H) qua M( 2; 3)

14/ Cho hàm số y= x3 −3mx2 +2

a/ Với giá trị nào của m hàm số có cực đại, cực tiểu

b/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

c/ Viết phơng trình tiếp tuyến qua M( 1; 0)

15/ Cho hàm số 2x3 +3mx2 −2m+1

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1

b/ Tìm trên (C) những điểm kẻ tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất

c/ Với giá trị nào của m hàm số đã cho nghịch biến trên ( 1; 2)

m x

m x

m x

y

+

−

++

−+

= 2 2 1 1 có đồ thị (Cm)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b/ Chứng minh rằng với mọi m ≠ -1, (Cm) luôn tiếp xúc với một đờng thẳng cố định Xác địnhphơng trình đờng thẳng đó

+

−+

−

=

x

x x y

b/ Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= xlnx đi qua M( 2; 1)

20/ Cho hàm số

1

63

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ của y=

1

63

c/ Từ O(0; 0) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến tới (C) Tìm toạ độ tiếp điểm nếu có

=

x

x x y

=

mx

x m x

y

a/ Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu

b/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

c/ Chứng minh rằng với mọi M trên (C) , tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tạo 1 tam giác códiện tích không đổi

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Hai tiệm cận cắt nhau tại I, tìm I Chứng minh I là tâm đối xứng

c/ Tìm M thuộc nhánh phải của đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại M vuông góc với đờng thẳng qua

M và I

27/ Cho hàm số y= x3 +3x2 +mx có đồ thị (Cm)

a/ Với giá trị nào của m thì (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm uốn Chứng minh tiếp tuyến đó đi qua( )1;0

b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C0) tại giao điểm của (C0) với trục hoành

c/ Với giá trị nào của m thì (Cm) nhận I(1; 2) là điểm uốn

d/ Với giá trị nào của m thì (Cm) tiếp xúc với trục hoành

33/ Cho hàm số

2

32

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số

b/ Tìm các điểm có toạ độ nguyên và viết phơng trình tiếp tuyến tại các điểm đó

34/ Cho hàm số y= x4 +2mx2 có đồ thị (Cm)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1

b/Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) qua A( )2;0 .

c/ Với giá trị nào của m thì (Cm) có 3 cực trị

35/ Cho hàm số

3

13

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số

b/ Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua x + y – 3 =0

c/ M là điểm thuộc (C) bất kì Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại 2 điểm A, B C là trung

điểm của AB Chứng minh tam giác tạo bởi 2 tiếp tuyến và hai tiệm cận có diện tích không

đổi

36/ Cho hàm số ( )

2

13

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) qua gốc toạ độ

c/ Tìm những điểm thuộc (C) có toạ độ nguyên

39/ Cho hàm số y =x3 −3x2 +2

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/ Viết phơng trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C)

c/CMR tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

d/ Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(0; 3)

40/ Cho hàm số y=(x−1) (x2 +mx+m)

a/ Khảo sát khi m = -2

b/Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox Xác định toạ độ tiếp điểm.41/ Cho hàm số y= x3 −3mx2 +3(m2 −1) (x− m2 −1)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0

b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm 

−++

=

x x

y

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b/M thuộc (C) có hoành độ x = 2 Viết phơng trình tiếp tuyến tại M

c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), x = 2, x = 3, y = 5

=

x

x x y

b ax

x

n n

m

cos

sin

;cos

t=sinx với n lẻ

Với n chẵn ta tách dựa vào công thức :

( ) ( )

x gx

d dx x tgx

d

x tg x

x g x

2 2

2 2

2 2

sin

1cot

;cos

1

1cos

1

;cot1sin1

=

Với n chẵn dùng các công thức trong mục 7/

2

x tg

t=

đặc biệt nếu a2 +b2 =c2ta sử dụng phơng pháp nhóm , giống phơng trình lợng giác

c x b x

10/ Phép đổi biến từng phần ∫udv=uv−∫vdu

a/ Đa thức kết hợp với lợng giác

sinxdx tg2xdx dv

x f u

x f u

b ax

a x

a x

+

Tích phân đổi biến đặc biệt :

1/ Đổi biến qua hàm lợng giác

Tích phân các hàm hữu tỷ

b x a

c bx ax dx

dx a

x

dx b

x a x dx

3

x

dx x

0

6 3

5(1 x ) dx x

12 ∫2 +

01 coscos

π

dx x x

dx x

3

cossin

π

dx x

1

2

ln2ln

π

dx x x

x

0

sincos

π

π

dx x

e

x x

)1(1

cot

=+

x x

1

1

2

2 4

11 ∫ + dx e

19 ∫1+tgxdxcos2003x 20 ∫cose tgx dx2 x 21 ∫3 3 −2

2

x dx

cos

π

dx x

∫4

0 2

π

xdx xtg

)cos(ln 19 ∫2

0

3 sin2 sin cos

π

xdx x

π

dx tgx 23 ∫3

6

2

cos

)ln(sin

π π

dx x x

dx x

2

x x

∫1 ++ −

0

2

52

123

x

x x

9 ∫4

6

3

cos.sin

cossin

π

x

xdx x

13 ∫3 x+1

xdx

x x

x x

x

∫1 + + ++ +

0 2

2 3

92

1102

x x

x x

∫1 ++ ++

0 2

2

92

103

x x

3

17 ∫4

0 2

3

cossin

2

1

1

dx x

x

x

25 ∫2 +−

1 4

57cos

π

x x

x x x x

x

131

5

1

2 2

π

dx x

1

2 4

2

1

1

dx x

x x

π

x x

π

dx x x

2cos

π

x x

2cos

π

x x

π

x x

∫2 − +

1 2

2

12

x x

dx x

π

π

dx x

x x

π

π

dx x

x x

sin4

π

x x

sin4cos5

π

dx x x

x x

0

cossin

π

dx x

0

2

sin1

sin

dx x

x x

79 ∫π +

0

2

cos1

sin

dx x

x x

80 ∫π

0

2

cossinx xdx

dx x

m

n n

cos

sin

;sin

;cos

đạng 3 ∫asinx+dx bcosx+c

dạng 4 ∫asin2 x+bsinx.dxcosx+ccos2 x+d , Chia cả tử và mẫu cho cos 2 x

sinsin

;cos

cos

;sin

dx a

x

dx b

x a x

dx b

x a x dx

7/ ∫2 ++ ++

6cos7sin

π

dx x x

x

x

2sin1

cos

π

dx x x x

π

xdx tg

π

x x

x

24/ ∫8 +

0sin2 cos2

2cos

π

dx x x

ππ

26/ ∫4 +

0sin2 cos2

cossin

π

dx x x

x x

27/ Chøng minh r»ng víi hai sè tù nhiªn m, n kh¸c nhau ta cã:

sincos

dx x x

∫2 −

0

2sin1

π

dx x

0

2cos1

a/ Tính I(t)

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của I(t)

12/Cho hàm số f(x) liên tục trên tập số thực R và với mọi x∈ R đều có:

π

π

dx x f I

;2

3sin2

x y x

x y x

x y x

1

;0

;0

x

x y

x y x

32

4

2 4

2 2

>

+

−

=+

++

a

ax a y a

a ax x

20/ y= xe x;y=0;x=−1;x=2

21/ y=4x−x2và các tiếp tuyến đi qua điểm A(5/2;6)

22/ y2 =6x; x2 + y2 =16

24/

2

;0

;0,cos

25/ y= x3 −3x2 +3;và tiếp tuyến tại (-1;1)

26/Parabol y2= 2x chia hình phẳng giới hạn bởi đờng tròn x2+ y2 =8 thành hai phần Tínhdiện tích mỗi phần đó

2/ Cho D là một miền phẳng giới hạn bởi các đờng cong

2

;1

2

x y x

+

miền D Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành khi cho D quay xung quanh Ox

2

;cos2

vật thể tròn xoay đợc tạo nên khi cho D quay quanh Ox

4/ Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo thành do hình phẳng hữu hạn bởi các Parabol quayquanh trục Ox:y=x2 −4x+6;y =−x2 −2x+6

5/Trong mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đờng y= x; y =−x; x=5

Tính thể tích khối tròn tạo thành khi quay hình (D) quanh trục Ox

6/Cho elíp (E): 1

2

2 2

2

=+

b

y a

x Tính thể tích khối tròn xoay khi quay elip:

a/ quanh trục Oxb/ quanh trục Oy

7/ a/ Cho hinh tròn tâm I( 0; 2) bán kính R = 1 quay quanh trục Ox Tính thể tích khốitròn xoay đợc tạo nên

b/ Cho hình tròn tâm I( 2; 0) bán kính R = 1 quay quanh trục Oy Tính thể tích khốitròn xoay đợc tạo nên

8/Tính thể tích khối tròn xoay đợc tạo nên do quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạnbởi đờng tròn: (x- a)2+ y2= b2 với 0 < b < a

9/ Gọi D là miền giới hạn bởi các đờng : y = 0; y = 2x –x2 Tính thể tích vật thể tròn xoay

đợc tạo bởi khi quay D quanh:

a/ trục Ox

b/ Trục Oy

10/Gọi miền giới hạn bởi các đờng y = -3x+10 ; y = 1 và y = x2 (x > 0).Tính thể tích vật thểtròn xoay do ta quay D xung quanh trục Ox tạo nên ( miền D nằm ngoài Parabol y=x2).11/ Trong mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng D giới hạn bởi trục Ox và đờng y = 4x- x2 Tínhthể tích vật thể tròn xoay đợc tạo nên khi quay D xung quanh Oy

12/ Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đờng : y = (x- 2)2 và y = 4.Tính thể tích vật thể trònxoay do ta quay D :

a/ quanh trục Ox

b/ quanh trục Oy

13/Tính thể tích vật thể sinh ra khi ta quay quanh trục Ox của hình giới hạn bởi các đờng :y= ex; y = e-x+2; x = 0 ; x = 2

14/Cho miền D giới hạn bởi : x2+y-5= 0 và x+y –3 = 0 Tính thể tích vật thể tạo nên doquay D xung quanh trục Ox

+/ !( )!

!

k n k

là một bài toán đã chọn xong nhng với một yêu cầu nào đó.

+/ Quy tắc nhân: Một bài toán chọn đợc thực hịên nếu ta phải làm nhiều bớc Khi đó số cách chọn của bài toán lớn bằng tích số cách chọn trong mỗi bớc.

Vd: 7 nam và 3 nữ, xếp thành hàng sao cho 2 bạn nữ bất kì không đứng cạnh nhau.

Giải : +C 1 : Có 7! cách xếp nam, để nữ không đứng cạnh nhau thì ta xếp mỗi bạn nữ vào vị trí giữa hai bạn nam hoặc đầu hàng hay cuối hàng, có 8 vị trí nh vậy cần chọn ra 3 vị trí trong

Vd 1 : 7 nam & 3 nữ, xếp hàng sao cho 3 nữ đứng cạnh nhau

Giải: Ta xếp 1 bạn nữ với 7 bạn nam sau đó chen 2 bạn nữ vào cạnh bạn nữ đã xếp.

Vd 2 : Bài toán lập số : nhất thiết hai số cho trớc đứng cạnh nhau.( Phơng pháp chen đợc thực hiện khi bỏ đi số chen thì số vẫn có nghĩa)

Phơng pháp: Tìm số lớn nhất, nhỏ nhất chia hết cho 7, 11, 13,

Sử dụng tính chất của cấp số cộng :

d

U U

5/Bài toán phân phối vật:

a/ vật khác nhau

Vd: Trên sân ga có 4 khách chờ lên tàu vào 3 toa Hỏi có bao nhiêu cách lên tàu nếu:

? khách lên tàu tuỳ ý

? có 1 toa có đúng 3 vị hành khách Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ ngồi.

1/ từ các số 1, 5, 6, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số

2/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số

3/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là chữ số chẵn

4/ Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thìgiống nhau

5/ Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số và chia hết cho 2

6/ Cho 7 chữ số 0,1, 6

a/ Từ 7 chữ số trên có thể lập thành bao nhiêu số, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau

b/ Trong các số nói ở trên có bao nhiêu số chẵn,

c/ Trong các số nói ở trên có bao nhiêu số chia hết cho 5

7/ Với các số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể thành lập đợc bao nhiêu số chia hểt cho 3 gồm 5 chữ số khácnhau

8/ Cho đa giác lồi P có n cạnh (n>=6)

a/ có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của P

b/ trong số tam giác đó, có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của P

9/ Lớp học có 20 học sinh, với 10 nam, 10 nữ Cần chọn một nhóm 7 ngời, trong đó phải có ítnhất là 2 nam và 2 nữ

10/ Cho E là tập hợp gồm n phần tử Hỏi số tất cả các tập con của E là bao nhiêu

11/ Từ các số 1, 2, 7 có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau

12/ trong một bữa tiệc, có 7 nam và 5 nữ Ngời ta muốn chọn ra 4 cặp (1 nam, 1 nữ) để khiêu vũ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn

13/ Có 7 quả cầu trắng và 6 quả cầu đỏ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quả cầu đó, từ tráisang phải sao cho:

a/ Không có 2 quả cầu nào cùng màu đứng cạnh nhau

b/Có và chỉ có 2 quả cầu nào cùng mầu nào đó đứng cạnh nhau

14/ Với 6 chữ số 0,1, 5 có thể lập đợc bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số và chia hêt cho 5

15/Từ các chữ số 0, 1, 6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số thoả mãn một tronghai điều kiện sau:

a/ các chữ số là đôi một khác nhau

b/ Số đó chia hết cho 4

16/ Một lớp gồm 40 học sinh, trong đó có 8 học sinh nữ

a/ có bao nhiêu cách chia lớp đó thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh

b/ Có bao nhiêu cách chia lớp đó thành 4 tổ sao cho mỗi tổ có đúng 2 nữ và 8 nam

c/ Sau khi chia tổ, nếu mỗi tổ chọn một tổ trởng và một tổ phó thì lớp có bao nhiêu cáchchọn đội ngũ cán bộ tổ khác

17/ Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số gồm: hai chữ số 1, ba chữ số 2 và một chữ sô3 và thoảmãn một trong các điều kiện sau:

a/ Các chữ số giống nhau thì đứng cạnh nhau

b/ Các chữ số giống nhau không nhât thiết đứng cạnh nhau

18/ Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số, trong đó có 3 chữ số 0, 3 chữ số còn lại khác nhau vàkhác 0

19/ Một quầy hoa có 20 bông, ta cần chọn ra 5 bông sau đó tặng An 3 bông, Bình 1 bông và cúc 1bông Hỏi có bao nhiêu cách chọn hoa

20/ Có 1 nhóm học sinh gồm 7 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng vào lớp nếu:

23/ Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 hỏi lập đợc bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau:

a/ tuỳ ý

b/ số 1 và số 2 đứng cạnh nhau

24/ Có 6 bạn namvà 4 bạn nữ Xếp sao cho :

a/ các bạn nữ đứng cạnh nhau trên hàng thẳng hoặc trên đờng tròn

b/ 2 bạn nữ bất kỳ không đứng cạnh nhau trên đờng thẳng hoặc trên đờng tròn

25/ Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau CMR không có sốnào chia hết cho 120 nhng tồn tại ít nhất 2 số mà hiệu của chúng chia hết cho 120

26/ Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập các số có 5 chữ số khác nhau hỏi có bao nhiêu số đ ợc lậpnếu:

a/ có bao nhiêu số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 456

b/ có bao nhiêu số đôi một khác nhau là số chẵn và nhỏ hơn 456

c/ có bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau

32/ Có 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh, 6 viên bi vàng khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 viên

( biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ ngồi)

34/ có 3 viên bi giống nhau cần phân phối vào 3 hộp Hỏi có bao nhiêu cách phân phối bi biếtrằng mỗi hộp có thể chứa ít nhất 3 viên

35/ Có 10 ngời cần chia làm 3 nhóm Hỏi có bao nhiêu cách chia nếu:

a/ 1 nhóm có 5 ngời, 1 nhóm có3 ngời và 1 nhóm có 2 ngời

b/ Có hai nhóm mỗi nhóm 3 ngời, 1 nhóm 4 ngời

36/ có 5 công việc cần chia cho 3 ngời Hỏi có bao nhiêu cách phân việc sao cho không có 2 ngờinào làm chung 1 công việc và mỗi ngời làm ít nhất 1 việc

37/ Từ các số 2, 3, 4 có thể lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số sao cho có mặt cả 3 chữ số

38/ Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 lập đợc bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau nếu:

39/ Trên mặt phẳng cho hình thập giác lồi Hỏi có bao nhiêu :

a/ đờng chéo, tam giác đợc lập từ 10 đỉnh đó

b/ có bao nhiêu tam giác mà có đúng 1 cạnh trùng với cạnh của hình thập giác lồi

Giải tích tổ hợp:

1/ Khai triển nhị thức Newton.

a/Chú ý

? Trong biểu thức khai triển nhìn số hạng đầu suy ra đợc a, nhìn số hàng cuối suy ra đợc b.

?Nếu 1 biểu thức có hai vế: 1 vế chỉ có tổ hợp chập chẵn, vế còn lại chập lẻ thì ta sử dụng khai triển (a- b) n

? Biểu thức cần tính có thể thay đổi nên số đầu là:

b/Sử dụng đạo hàm để tính giá trị biểu thức: Ta sử dụng công thức đạo hàm để tính khi trong biểu thức ngoài công thức tổ hợp, luỹ thừa, còn có số bật ra nh : 1, 2, 3, 4 , hoặc 1, 3, 5, 7, hoặc 1,

?Nếu số bật ra tăng hoặc giảm 1 đơn vị chứng tỏ khai triển chỉ liên quan đến x :

+/ Nếu số bật ra tăng 1 đơn vị từ 1 đến hết (giảm từ n đến hết) thì sử dụng khai triển bình thờng.

+/ Nếu số bật ra tăng 1 đơn vị nhng không phải từ 1 chứng tỏ trong khai triển ta nhân hoặc chia hai vế của biểu thức với x hoặc x a nào đó.

n n

2 2

1 2

c/Sử dụng tích phân để tính giá trị biểu thức: Biểu thức ngoài công thức tổ hợp, luỹ thừa còn có

số bật xuống ở dới mẫu

CHUY: Nếu trong biểu thức có hai số bật xuống ta phải đạo hàm hoặc tích phân 2 lần d/ Hệ số trong khai triển

?/ A là tổng hệ số trong khai triển Newton

n

a a

a a A x a x

a x a a b

2 1 0

Để tính tổng các hệ số trong khai triển ta thay x = 1 vào 2 vế của khai triển, khi đó các hệ số của khai triển bằng vế phải sau khi thay x = 1.

?/ Tìm hệ số của đại lợng x k trong khai triển ( k cho trứơc).

+/ k = 0, tìm số hạng không phụ thuộc x trong khai triển.

b a b

2/ Khai triển của 3 hay n số hạng : Ta phải nhóm các số thành 2 cặp để sử dụng nhị thức

Newton, thông thờng ta nhóm 1 số là số có luỹ thừa cao nhất, số còn lại là tất cả các số còn lại 3/ Hệ số của tích 2 khai triển :Ta lần lợt viết 2 khai triển trên, khi đó hệ số trong khai triển bằng tổng các đại lợng nhân của khai triển thứ nhất với phần thiếu của nó trong khai triển thứ hai 4/ Giải ph ơng trình và bất ph ơng trình tổ hợp:

a/ CY : điều kiện Pn là n∈N.

Ck

n ;Ak

n là : n∈N ; 0 ≤ k ≤ n b/ Phơng pháp giải :Sử dụng các công thức biến đổi, giản ớc để đa về phơng trình bất ph-

ơng trình bậc 2, 3, 4 Nếu không thấy có xu hớng giản ớc thì chọn phơng pháp nhóm Nếu có hai loại hàm khác nhau phải sử dụng phơng pháp hàm số: nhẩm nghiệm, tính đơn điệu Với chú ý là nghiệm của phơng trình, bất phơng trình là những nghiệm nguyên dơng nên ta có thể dùng phơng pháp thử điểm và dùng hàm số chứng minh

1/ Tính tổng :

2006 4

2004 3 2006 2

2005 1 2006 2006

4 2006 2

2 2006

n

212

2.52

2 2

1 2

n n

S = 02 + 22 + 42 + + 22

n

n n

n n

2 1

2 1 2 2

n n

n

2 4 1 2 1 2 2 2

0

2 2 −3.3 2 +5.3 − + 2 +1.3

h/ C C Cn

n n

.2

=

221

642

2 1 0

+

−+

−+

n n

n n

12.2

0

+++

+

=

2/ Tìm n biết rằng tổng hệ số trong khai triển : (1+2x)n bằng 729

3/ Tìm số hạng không phụ thuộc vào x trong khai triển:x3 x +x−2845n Biết rằng

79

2 1

=+

2 1

k n

k n

k

n

1 1

1 3

1 2

11/ Trong khai triển (1+x+x2)10, hãy tìm hệ số của x5

12/ Xét khai triển (x2+1)n.(x-2)n Tìm hệ số của x3n-5 trong khai triển trên

n

n

đờng tròn

Các dạng bài toán thờng gặp:

Bài toán 1: Lập phơng trình tiếp tuyến kẻ từ M tới đờng tròn (C)

+/ Xét vị trí tơng đối của M đối với đờng tròn (C).

+/ M ngoài (C) Xét

+/ Đờng thẳng qua M và vuông góc với Ox.

+/ Đờng thẳng qua M và có hệ số góc k.

Bài toán 2: Giả sử E, F là hai tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M Lập phơng trình đờng thẳng EF

+/ M, E, F, I thuộc 1 đờng tròn đờng kính MI.

+/ EF là trục đẳng phơng của hai đờng tròn nói trên.

Bài toán 3: Viết phơng trình đờng thẳng cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B và nhận điểm M cho trớc

là trung điểm của AB.( M nằm trong đờng tròn).

PP: đờng thẳng đi qua tâm và đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung đó, nên ờng thẳng (AB) nhận IM là véc tơ pháp tuyến.

đ-Bài toán 4: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn:

1 1

R a x

R a x

1 1

;

;

R d I d

R d I d

1/ Cho đờng tròn (C):x2 + y2 +2x−4y−4=0 và điểm A(2;5) Hãy tìm phơng trình tiếp tuyến

kẻ từ A đến đờng tròn Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với đờng tròn tại M và N, hãy tính độ dàiMN

2/ Cho họ đờng cong (C m) có phơng trình:

0138)

2(2)1(

−+

+

<

+

2)

1(2

2

a y

x y x

y x

4/ Trong tất cả các nghiệm (x;y) của bất phơng trình 5x2 +5y2 −5x−15y+8≤0 Hãy tìmnghiệm có tổng x+3y nhỏ nhất

5/ cho a là một số thực dơng Chứng minh hệ bất phơng trình sau vô nghiệm

a x y

y x

2

ã4

2

2 2

6/ cho hai đờng tròn: (C 1) x2 +y2 −4x+2y−4=0 và

(C 2) x2 +y2 −10x−6y+30=0 có tâm lần lợt là I, J

a/ Chứng minh rằng (C tiếp xúc với 1) (C và tìm toạ độ tiếp điểm H.2)

b/ Gọi (D) là một tiếp tuyến chung không đi qua H của (C và1) (C Tìm toạ độ giao điểm2)

K của đờng thẳng (D) và đờng thẳng IJ Viết phơng trình đờng tròn (C) đi qua K và tiếp xúcvới hai đờng tròn (C và1) (C tại H.2)

7/ Cho họ đờng tròn :x2 + y2 −2(m−1)x−2m2y+m4 =0(m≠1)

a/ Tìm quỹ tích tâm của họ đờng tròn khi m thay đổi

b/ Chứng minh rằng các đòng tròn trong họ luôn tiếp xúc vớimột đờng thẳng cố định Tìm

+

=+

4)(

)1(2

2

2 2

y x

a y

đ-14/ Cho họ đờng tròn: x2 +y2 −2mx−2(m+1)y+2m−1=0.

a/ Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ đờng tròn luôn đi qua hai điểm cố định

b/ Chứng minh rằng với mọi m, họ đờng tròn luôn cắt trục tung tại hai điểm phân biệt.15/ Trong hệ Oxy xét hệ đờng tròn có phơng trình:

0138)

2(2)1(

2

a/ Tìm quỹ tích tâm đờng tròn của họ đó

b/ Xác định toạ độ tâm của đờng tròn thuộc họ đã cho mà tiếp xúc với trục Oy

16/ Trong hệ trục toạ độ Oxy, hãy viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ∆ABC, biết

ph-ơng trình đờng thẳng AB là y-x-2=0, phph-ơng trình đờng thẳng AC là y+x-8=0, phph-ơng trình đờngthẳng BC là 5y-x+2=0

17/ Cho họ đờng cong (C m): x2 + y2 +2mx−6y+4=0.

a/ Chứng minh rằng (C m) là đờng tròn với mọi m Hãy tìm tập họp tâm của các đờng trònkhi m thay đổi

b/ Với m=4 hãy viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng (∆): 3x-4y+10=0 vàcắt đờng tròn tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài bằng 6

18/ Cho đờng tròn có phơng trình x2 +y2 +8x−4y−5=0 Viết phơng trình tiếp tuyến của ờng tròn đi qua điểm A(0;-2) Gọi M, N là các tiếp điểm, tính độ dài đoạn MN

đ-19/ Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn

(C): x2 +y2 −1=0 và (C’): (x−8)2 +(y−6)2 =0

20/ Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn

044612

b/ Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của hai đờng tròn vừa tìm đợc

22/ Cho đờng tròn x2 +y2 −2x−6y+6=0 và điểm M(2;4)

a/ Viết phơng trình đờng thẳng qua M cắt đờng tròn tại hai điểm A, B sao cho M là trung

điểm của AB

b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn có hệ số góc k=-1

23/ Cho hai đờng thẳng d1: 3x+4y+5=0 và d2: 4x-3y-5=0 Viết phơng trình đờng tròn có tâm nằmtrên đờng thẳng d: x-6y-10=0 và tiếp xúc với hai đờng thẳng d1, d2

24/ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm M(2;3/2)

a/ Viết phơng trình đờng tròn (C) có đờng kính OM

b/ Viết phơng trình đờng thẳng (D) đi qua M và cắt hai trục dơng Ox, Oy lần lợt tại A và Bsao cho diện tích tam giác OAB bằng 6 đvdt

c/ Viết phơng trình đờng tròn (T) nội tiếp tam giác OAB

25/ Lập phơng trình đờng tròn qua các điểm A( 3; 1), B(-1; 3) và có tâm thuộc đờng thẳng : 3x –

y – 2 = 0

26/ Lập phơng trình đờng tròn qua M ( 2; ±1) và tiếp xúc với các trục toạ độ

27/ Lập phơng trình đờng thẳng qua A(-1; 1), B(2; 4) và tiếp xúc với (D): 2x – y – 5 = 0

28/ Cho đờng tròn (C) x2 + y2 −8x−4y+15=0 Lập phơng trình đờng tròn qua A(0; 3) ;

B(-2; 3) và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (C)

29/ Cho hai điểm

2

;2

2

;2

2

B

a/CMR tập hợp những điểm M thoả mãn : AM.BM =0 là một đờng tròn (C) cố định.

b/Tìm m để đờng tròn (C) tiếp xúc với đờng tròn: x2 + y2 −2my+m2 −9=0(m>0)

30/ Cho hai đờng tròn (C1):x2 + y2 −10x=0

(C2):x2 + y2 +4x−2y−20=0a/ Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn

b/ Viết phơng trình đờng tròn qua giao điểm của (C1) và (C2) có tâm nằm trên đờng thẳng x + 6y – 6 = 0.

31/ Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn :

054

2

01686

2

x

32/ Cho đờng thẳng d: x – y + 1 = 0 và (C) : x2 +y2 −2x−4y=0 Tìm toạ độ điểm M trên (d)

mà qua đó kẻ đợc hai tiếp với đờng tròn (C) tại các điểm A, B sao cho ∠AMB = 600

33/ Cho A(3;−1) ( ) ( ), B 0;7 ,C 5;2

a/ Chứng minh rằng tam giác ABC vuông Tính diện tích tam giác ABC

b/Giả sử M chạy trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng khi đó trọng tâm của tam giác MBC cũng chạy trên 1 đờng tròn cố định

34/ Cho (C) : x2 +y2 =1 ; A( )2;3

a/ Viết phơng trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đờng tròn (C)

b/ Giả sử EF là các tiếp điểm của các tiếp tuyến nói trên Viết phơng trình đờng thẳng (EF)

x Xét điểm M chuyển động trên tia Ox, điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho

đ-ờng thẳng MN luôn tiếp xúc với (E) Xác định toạ độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất.2/ Cho Elíp có phơng trình: 1

850

2 2

=+ y

x Một đờng thẳng tiếp xúc với (E) tại M cắt Oy tại hai

điểm A, B Tìm toạ độ điểm M sao cho diện tích tam giác OAB nhỏ nhất

3/ Cho Elíp có phơng trình: 1

48

2 2

=+ y

x và đờng thẳng d có phơng trình:

02

4/ Trong mặt phẳng toạ độ cho elíp (E): x2+4y2=4 và hai điểm M(-2;m), N(2;n) Gọi A1, A2 là các

đỉnh trên trục lớn của (E) Hãy viết phơng trình các đờng thẳng A1N và A2M và xác định giao

điểm I của chúng Khi M, N thay đổi hãy tìm quỹ tích điểm I

5/ Cho Parabol (P): y=x2-2x và Elíp (E): 1

9

2

2

=+ y

x Chứng minh rằng (P) và (E) cắt nhau tại 4

điểm và 4 điểm này cùng nằm trên một đờng tròn Tìm tâm và bán kính đờng tròn đó

6/ Tìm điểm M trên Elip : 1

25100

2 2

=+ y

x nhìn hai tiêu điểm dới góc 120o.

7/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ vuông góc Oxy, cho một Elíp (E) có khoảng cách giữa các đờngchuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu của điểm M nằm trên (E) là 9 và 5.Viết phơng trình chínhtắc của (E) và viết phơng trình tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm M

8/ Cho Elíp (E): 4x2+9y2=36 và điểm M(1;1) Lập phơng trình đờng thẳng qua M và căt (E)9/ Biết rằng elíp 1

2

2 2

2

=+

b

y a

x nhận các đờng thẳng3x-2y-20=0 và x+6y-20=0 làm tiếp tuyến Tìm

a2 và b2

10/ Cho Elíp (E) có phơng trình: 1

49

2 2

=+ y

x và đờng thẳng (∆) có phơng trình 3x+4y+24=0.Tìm điểm M trên (E) có khoảng cách tới đờng thẳng (∆) là ngắn nhất

49

2 2

=+ y

a/ Một đờng thẳng d qua O giao với (E) tại M, N CMR các tiếp tuyến tại M, N song songvới nhau.

b/ Cho I( 1; 1), lập phơng trình đờng thẳng qua I giao với (E) tại hai điểm A, B sao cho làtrung điểm của AB

c/M( x; y) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P = x+2y-1

d/CMR tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (E) đến một tiếp tuyến bất kì của nó làkhông đổi

e/ Cho M(1; 4) Hãy lập phơng trình các tiếp tuyến kẻ từ M đến (E) Gọi T1; T2 là các tiếp

điểm của tiếp tuyến tới (E) Hãy lập phơng trình đờng thẳng T1T2

g/ Xét các tiếp tuyến (d1) , (d2) có phơng trình x = - 3 , x = 3 tiếp xúc với (E) tại các điểm

A1(-3; 0) , A2(3; 0) Các điểm M trên d1, N trên d2 sao cho MN tiếp xúc với (E) CMR

const N

A M

h/Tính diện tích của (E)

14

2 2

=+ y

x M(-2; 3), N(5; n) Viết phơng trình các tiếp tuyến của (E) đi qua M.

Tìm n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi qua N có 1 tiếp tuyến song song với một trong hai tiếptuyến qua M

49

2 2

=+ y

ON

OM1 2 + 1 2 = Từ đó chứngminh MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định

49

2 2

=+ y

x A(−3;0) ,M(−3;a) ( ), B 3;0 , N( )3;b , a, b thay đổi

a/ Tìm điều kiện của A, B để MN tiếp xúc với (E)

b/Xác định toạ độ giao điểm I của AN và BM

c/ Giả sử MN tiếp xúc với (E) Chứng minh I thuộc một Elíp cố định

49

2 2

=+ y

x

a/ Viết phơng trình tiếp tuyến chung của (E1) và (E2)

b/ Viết phơng trình đờng tròn qua giao điểm của (E1) và (E2)

Phần vi: Hypebol

1/ lập phơng trình chính tắc của hypebol có tiêu điểm nằm trên trục hoành biết:

a/ Nửa trục thực bằng 4, tiêu cự bằng 10

b/ Tiêu cự bằng2 13, một tiệm cận là y=2/3x

c/ Tâm sai e= 5và hypebol qua điểm M( 10;6)

d/ Tiêu cự bằng 10, trục ảo bằng 8

e/ Trục thực 16, tâm sai e=5/4

f/ Trục thực bằng 10, trục ảo bằng 8

2/ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì của hypebol 1

2

2 2

tiệm cận của nó là một số không đổi

3/ Trong hệ trục toạ độ cho họ các đờng các phơng trình: (m2- 4)x2-4y2=4(m2-4) Tuỳ theo m chỉ rõ bản chất của đờng đó

4/ Cho họ đờng cong (C m) có phơng trình: 1

25

2

2 2

có bao nhiêu Elíp, bao nhiêu Hypebol

5/ Một tiếp tuyến của Hypebol tại M cắt hai đờng tiệm cận tại A, B Chứng minh M là trung điểm

đoạn AB

6/ Cho Hypebol x2-y2=1 và một điểm T(x0; y0) bất kì trên Hypebol Gọi d là tiếp tuyến của Hypeboltại T, M và N là các giao điểm của d với các tiệm cận của Hypebol.

a/ Viết phơng trình tiếp tuyến d

b/ Chứng minh T là trung điểm của MN

c/ Chứng minh diện tích ∆OMN không phụ thuộc vàp T

7/ Viết phơng trình tiếp tuyến của Hypebol 1

416

2 2

=

− y

x trong các trờng hợp sau:

a/ Tại điểm có hoành độ x = -5 và tung độ y < 0

b/ Qua điểm A(5; 2 )

c/ Tiếp tuyến song song với đờng x-y+1=0 Tìm toạ độ tiếp điểm

d/ Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng mà từ đó kẻ đợc tới Hypebol hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

925

2 2

=+ y

x Viết phơng trình chính tắc của Hypebol biết đỉnh của Hypebol là tiêu

điểm của Eip và tiêu điểm của Hypebol là đỉnh của Elip

9/ viết phơng trình chính tắc của Hypebol đi qua điểm )

3

2

;3

54(

M , biết rằng M nhìn hai tiêu điểm

trên Ox dới góc 600

10/ Lập phơng trình đờng thẳng chứa dây cung của Hypebol 1

49

2 2

2 2

b/ Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = mx-1 có điểm chung với (H)

12/ Cho Hypebol có phơng trình: 4x2-9y2=36

a/ xác định toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol

b/ Viết phơng trình chính tắc của Elip đi qua điểm

37

M và có chung tiêu điểm với hypebol đã cho

a/ Tại điểm có hoành độ x = 9 và y < 0

b/ Biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(3; 4 )

c/ Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đờng 2x + y + 5=0 Tìm toạ độ tiếp điểm

d/ Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng toạ độ mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (P) và hai tiếp tuyến đó vuông góc

e/ Một điểm K nằm trên (P) Gọi K’ là hình chiếu của K trên Oy Chứng minh rằng tiếp tuyến của (P) tại K đi qua trung điểm của OK’

3/ Hãy xác định tiếp tuyến chung của Elip 1

68

2 2

=+ y

x và parabol y2=12x.

4/ Cho hai Parabol có phơng trình y2=2px và y = ax2+bx+c chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắtnhau tại 4 điểm phân biệt thì 4 điểm đó nằm trên một đờng tròn

5/ Cho điểm A(0; 2 ) và parabol (P) có phơng trình y =x2 xác định các điểm M trên (P) sao cho

AM ngắn nhất Chứng tỏ AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M

7/ trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P) có đỉnh tại gốc toạ độ và đi qua điểm A(2;2 2)

Đ-ờng thẳng d đi qua điểm I(5/2; 1) cắt (P) tại hai điểm M, N sao cho IM = IN tính độ dài đoạn MN.8/ Cho parabol (P) có phơng trình :y2=8x

a/ tính toạ độ tiêu điểm và phơng trình đờng chuẩn của (P)

b/ qua tiêu điểm kẻ đờng thẳng bất kì cắt (P) tại hai điểm A, B Chứng minh tiếp tuyến với (P)tại A và B vuông góc với nhau

c/ Tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó có thể kẻ hai tiếp tuyến với (P) và chúng vuông góc vớinhau

9/ Cho parabol (P) có phơng trình : y = x2-4x+3 và M(4;3) Viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với (P) tại M và có tâm nằm trên trục hoành

10/ Cho parabol (P) có phơng trình: y2=2x và 3 điểm A, B, C phân biệt thuộc (P) có tung độ lần lợt là: a, b, c

a/ Viết phơng trình tiếp tuyến ta, tb, tc lần lợt tại A, B, C của (P)

b/ Chứng minh rằng khi A, B, C thay đổi trên (P), các tiếp tuyến ta, tb tc tạo thành một tam giác có trực tâm thuộc một đờng tròn cố định

11/ trong mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn xOy, cho parabol (P) có phơng trình y2=8x và đờng thẳng (T) có phơng trình x+y+3=0 Xác định điểm M thuộc (P), điểm N thuộc (T) để đoạn MN ngắn nhất

12/ Cho parabol (P) có phơng trình: x2=2y và họ đờng thẳng 2mx-2y+1=0 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đờng thẳng luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N và các tiếp tuyến với (P) tại M, N vuông góc với nhau

13/ Cho parabol (P):y2=4x một đờng thẳng bất kì đi qua tiêu điểm của (P) và căt (P) tại hai điểm phân biệt A, B Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ điểm A và B đến trục của (P) là một đại l-ợng không đổi

14/ Cho parabol (P): y2=4x

a/ Chứng minh rằng từ điểm N tuỳ ý thuộc đờng chuẩn của (P) có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến

đên (P) mà hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

b/ Gọi T1, T2 lần lợt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên Chứng minh rằng đờng thẳng

T1T2 luôn đi qua một điểm cố định khi N thay đổi

c/ Cho M là một điểm thuộc (P) (M khác đỉnh của (P)) Tiếp tuyến tại M của (P) cắt các trục toạ độ Ox, Oy lần lợt tại A, B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi M chạy trên (P)

đối diện với đỉnh O của hình hộp đó

a/ tính khoảng cách từ điểm C đến đến mặt(ABD)

b/ Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt (ABD) Tìm điều kiện của a, b, c đểhình chiếu đó nằm trong mặt phẳng Oxy

5/ Cho hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz Trên các nửa trục toạ độ Ox, Oy, Oz lấy các điểm tơngứng A(2a; 0; 0), B(0; 2b; 0), C(0; 0; 2c) với a>0, b>0, c>0

a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo a, b, c

b) Tính thể tích khối đa diện OABE theo a, b, c trong đó E là chân đờng cao AE trong tamgiác ABC

6/ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB=a, BC=b, AA’=c

a) Tính diện tích của tam giác ACD’ theo a, b, c

b) Giả sử M và N lần lợt là trung điểm của AB, BC Hãy tính thể tích tứ diện D’DMN theo

a, b, c

7/ Cho 3 điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là 3 số dơng thay đổi và luôn thoả mãn

a2+b2+c2=3 Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ điểm O(0; 0; 0) đên mặt phẳng (ABC) là lớnnhất

8/ Viết phơng trình mặt phẳng trong mỗi trờng hợp sau:

a) Đi qua điểm M(2; 1; -1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x-y+z-4=0 và 3x-y+z-1=0

b) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y+2z-4=0 và x+y-z-3=0, đồng thời song song với mặtphẳng x+y+z-2=0.

c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc vớimặt phẳng 2x-z+7=0

9/ Cho (α1): 2x-y+z+1=0; (α2): x+3y-x+2=0; (α3):-2x+2y+3x+3=0

a/ Viết phơng trình mặt phẳng chứa các đờng OA’, OB’ Chứng minh mặt phẳng đó vuônggóc với đờng thẳng CD

=+++

∆

02

012

:

z y x

z y x

và mặt phẳng (P): 4x-2y+z-1=0 Viết phơng trình hình chiếuvuông góc của đờng thẳng ∆ trên mặt phẳng (P)

13/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng có phơng trình :

=

−+

=

−

−

063

033:

;0422

0

1

z x

y ax d z

y x

a az x

d

a/ Tìm a để hai đờng thẳng d1 và d2 cắt nhau

b/ Với a=2, viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa d2 và song song với d1 Tính khoảng cáchgiữa d1 và d2 khi a=2

14/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A≡O,B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) (a>0, b>0) Gọi M là trung điểm cạnh CC’

a/ Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a,b

b/ Xác định tỉ số a:b để hai mặt phẳng (A’BD)⊥(MBD)

15/ Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đờng thẳng có phơng trình:

−+

=

−+

−

∆

t z

t y

t x z

y

x

z y

x

212

1:

;0422

042

a/ Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng ∆1 và song song với ∆2

b/ Cho điểm M(2;1;4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng ∆2 sao cho đoạn MH có độ dài nhỏnhất

16/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1;1) và B(0;-1;3) và đờng thẳng d có phơngtrình d:

=

−

−

083

01123

x y

y x

.a/ Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB.Gọi K là giao điểm của đờng thẳng d và mặt phẳng (P) Chứng minh d⊥IK

b/ Viết phơng trình tổng quát của hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng có

c/ Gọi H là trực tâm tam giác BCD, Viết phơng trình đờng thẳng AH

18/ Oxyz: A(-1;2;5), B(11;-6;10) Tìm trên mặt phẳng Oxy điểm M sao cho tổng khoảng cách từ

M đến A, B là nhỏ nhất

19/ Oxyz: A(1;1;-1), B(3;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+x-2=0 Tìm trên mặt phẳng (P) các điểm Msao cho tam giác MAB là tam giác đều.

20/

Bài toán vị trí t ơng đối giữa đ ờng thẳng và mặt phẳng.

Bài toân tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng và qua đ ờng thẳng.

1/ Cho hai đờng thẳng (d1), (d2) có phơng trình:

−

=++

01

012

y x

t y

t x d

54

21

Gọi B, C lần lợt là các điểm đối xứng của A(1; 0; 0) qua (d1) và (d2) Tinh diện tích ∆ABC.2/ Tìm trên mặt phẳng (P):2x-y-z+1=0 một điểm M sao cho tổng khoảng cách từ đó đến A(-1; 3;-2) và B(-9; 4; -9) là bé nhất

3/ Tìm trên mặt phẳng Oxz một điểm M sao cho hiệu khoảng cách từ đó đến hai điểm A(3; 2; -5)

và B(8; -4; -13) là lớn nhât

4/ Cho điểm A(1; 2; -1), đờng thẳng (d):

2

23

a/ Tìm điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng (P)

b/ Viết phơng trình đờng thẳng qua A, cắt (d) và song song với mặt phẳng (P).5/ Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) cho bởi các phơng trình sau:

a

1

13

94

12: x− = y− = z−

b

34

32

18

13: x− = y− = z−

d

4

51

45

7: x− = y− = z−

−

=+++

062

016753

z y x

z y x

=

−++

05

010632

z y x

z y x

02

0

y x

z y x

c/ Tìm toạ độ điểm O1 đối xứng với điểm O qua đờng thẳng BD

8/ Cho mặt phăng (P) có phơng trình: x-2y-3z+14=0 và điểm M(1; -1; 1)

a/ Viết phơng trình mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (P)

b/ Hãy tìm toạ độ hình chiếu H của điểm M trên (P)

c/ Hãy tìm toạ độ điểm N đối xứng với M qua mặt phẳng (P)

9/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1; 1; 0), S(0; 0; 1) Hai điểm M(m; 0; 0),N(0; n; 0) thay đổi sao cho m+n = 1, m >0, n > 0

a/ Chứng minh rằng thể tích hình chóp S.OAMN không phụ thuộc vào m và n

b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SMN) Từ đó suy ra mặt phẳng (SMN)luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định

10/ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đỉnh S cả 8 cạnh đều bằng a 2 (a>0)

a/ Chứng minh rằng S.ABCD là một hình chóp tứ giác đều có đờng cao bằng a.b/ Chọn hệ trục toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz trong không gian sao cho O là tâmhình vuông ABCD, OA là trục hoành, OB là trục tung Tính toạ độ các đỉnh của hình chóp

c/ Tìm toạ độ điểm I nằm trên SO, cách đều mặt phẳng đáy và mặt bên (SAB) củahình chóp

11/ Cho mặt phẳng (P): 6x+3y+2z-6=0

a/ Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(0; 0; 1) lên mặt phẳng (P)

b/ Tìm toạ độ điểm B đối xứng của A qua mặt phẳng (P)

12/ Cho điểm M(1; 2; -1) và đờng thẳng (d)

2

22

23

M qua đờng thẳng (d) Tính độ dài đoạn MN

022

z y x

z y x

Tìm điểm đối xứng của điểmA(3; -1; 2) qua đờng thẳng (d)

14/ Cho đờng thẳng (d): x=1+2t; y=2-t; z=3t với t∈R và mặt phẳng (P): 2x-y-2z+1=0

a/ Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó

16/ trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm: S(3;1;-1), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0)

a/ chứng minh rằng hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và 3 mặt bên làcác tam giác vuông cân

b/ Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua AB

c/ M là một điểm bất kì thuộc mặt cầu có tâm là điểm D, bán kínhR= 18(M

không thuộc (ABC) ) Xét tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các đoạn thẳng MA,

MB, MC Hỏi tam giác ấy có đặc điểm gì?

17/ Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho đờng thẳng (d) có phơng trình :

−

+

=+

+

αα

αα

α

αα

αα

α

sin5cos2coscos

sin

cos5sin6sinsin

cos

z y

x

z y

x

với α là tham số

a/ Chứng minh rằng đờng thẳng (d) song song với mặt phẳng có phơng trình :xsin2α-ycos2α+z-1=0

b/ Gọi (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) trên mặt phẳng xOy Chứng minh khi α

thay đổi đờng thẳng (d’) luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định

18/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đờng thẳng (d):

3

21

12

19/ Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt (P): 3x-8y+7z-1=0

a/ Tìm toạ độ giao điểm I của đờng thẳng đi qua hai điểm A, B với mặt phẳng (P).b/ Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC đều

20/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x-y+2=0 và đờng thẳng (dm) có

=

−+

−++

02412

011

12

m z m mx

m y m x

m

( với m là tham số) Xác định m để đờng thẳng dm

song song với mặt phẳng (P)

21/ Trong không gian với hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): x-y+z+3=0 và hai

điểm A(-1;-3;-2), B(-5;7;12)

a/ Tìm toạ độ điểm A’ là điểm đối xứng với A qua (P)

b/ Giả sử M là một điểm chạy trên (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của MA+MB

22/ Trong không gian với hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz cho đờng thẳng có phơng trình







=++

−

=+

−+

01

023

:

z y

kx

z ky

x

d k Tìm k để đờng thẳng dk vuông góc với mặt phẳng (P): x-y-2z+5=0

Đ ờng vuông góc chung của hai đ ờng thẳng chéo nhau.

Vị trí t ơng đối và khoảng cách giữa hai đ ờng thẳng.

Đờng thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) có VTCP u=(a;b;c):

c

z z b

y y a

1 1

1

c

z z b

y y a

D Cz By Ax M

d

++

+++

=α

Khoảng cách từ một điểm M1(x1;y1;z1) đến đờng thẳng D qua M0(x0;y0;z0) có VTCP u là:

u

u M M D M

;

;

;

u u

M M u u D D

1/ Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho 4 điểm A(4; 1; 4), B(3; 3; 1), C(1; 5; 5),D(1; 1; 1) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng Viết phơng trình đờng thẳng vuônggóc chung của AC và BD

2/ Cho hai đờng thẳng chéo nhau có phơng trình:

t y

x

3

24

z

u y

u x

a/ Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng (m) và (n)

b/ Viết phơng trình tham số đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng (m) và(n)

3/ Trong không gian với hệ toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz, cho hai đờng thẳng :

(d1):

1

92

31

17

−

x

a/ chứng tỏ rằng đó là hai đờng thẳng chéo nhau

b/ Lập phơng trình chính tắc đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng trên

4/ Cho đờng thẳng (dk):

k

z k

y k

x

−

+

=+

+

=+

−

1

13

2

11

1(4

y m

(dm) luôn nằm trên một mặt phẳng cố định khi m thay đổi

6/ Xét vị trí tơng đối của các đờng thẳng d và d’ cho bởi phơng trình sau:

a/

1

22

13

6:'

;4

37

12

y x

d

b/

0

43

52

:'

;12

22

x

c/

129

26

7:'

;8

16

66

7:'

;3

36

29

1

d z y

x d

7/ Xét vị trí tơng đối của các đờng thẳng d và d’ cho bởi phơng trình sau:

09332:'

;35

9:

z y x

z y x d t z

t y

t x d

−

=

−+

0:'

;33

48:

z y x

z y x d t z

t y

t x d

−

=+

022

:'

;41

32:

z y x

z y d t z

y

t x

=

−+







=+

=+

−

08

082:'

;032

032:

z x

z y d y

x

y x d

8/ Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng

−

=

−++

0252

04

z y x

x y x

và song song với đờng

t y

t x

25

21

t y

t x

51

−

−

=

−+

034

;3

24

21

1

z y x

z y x z

y x

10/ Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M(1; -1; 1) và cắt cả hai đờng thẳng

0

12

41

2:'

;41

−

=+

−+

01

012

z ky x

z y kx

nằm trong mặt phẳngOyz

12/ Tìm trên Oz những điểm cách đều điểm A(2; 3; 4) và mặt phẳng 2x+3y+z-17=0

13/ Tìm trên Oy những điểm cách đều hai mặt phẳng x+y-z+1=0 và x-y+z-5=0

14/ tính khoảng cách từ điểm M0(2; 3; 1) và M1(1; -1; 1) đến đờng thẳng

2

12

11

=

−

−+

0223

012

z y x

z y x

16/ Tìm khoảng cách giữa các cặp đờng thẳng sau đây:

'32

'32

;111

t z

t y

t x

z

t y

t x







=+

023

;04

012

z y

y x y

x

z x

c)

4

12

14

2

;2

41

32

a/ Tính khoảng cách giữa hai đờng AC và BD khi m=2

b/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD Tìm các giá trị của tham số m để diện tíchtam giác OBH đạt giá trị lớn nhất

18/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết S(3;2;4),B(1;2;3), D(3;0;3)

a/ Lập phơng trình đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng AC và SD

b/ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Lập phơng trình mặt phẳng qua BI vàsong song với AC

c/ Gọi H là trung điểm của BD, G là trực tâm tam giác SCD Tính độ dài HG

19/ Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ có cạnh bằng a

a/ Tính theo a khoảng cách giữa hai đờng thẳng A’B và B’D

b/ Gọi M, N lần lợt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc giữa 2 đờngthẳng MP và C’N

20/ Cho điểm A(2;3;5) và mặt phẳng (P): 2x+3y+z-17=0

a/ Viết phơng trình đờng thăng (d) qua A và vuông góc với (P)

b/ Chứng minh đờng thẳng (d) cắt trục Oz, tìm giao điểm đó

c/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P)

21/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đờng thẳng có phơng trình:

=+

013

:

;12

11

z x d z y

x

d

a/ Chứng minh d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau

b/ Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng d cắt cả hai đờng thẳng d1, d2 và songsong với đờng thẳng

2

34

71

4: