Hãy xác định điểm A trên Ox sao cho MA kéo dài cắt Oy tại B thì tích MA.MB có giá trị nhỏ nhất... có giá trị nhỏ nhất khi A,B lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua M và vuông góc
Trang 1SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ LỚP 12 (2008 - 2009)
Tổ Toán Thời gian: 90 phút
Bài 1:Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (3+2 2)x = ( 2 −1)x +3 , chứng minh
rằng khi đó x0 cũng là nghiệm của phương trình
9 cos 2 ) 1 2
Bài 2:Giải phương trình
x
x 6 sin
16
4 2 = với 0 ≤ x ≤ 2π
Bài 3:Cho a,b,c >0 chứng minh:
3 3
3 3
3
(
8 a +b +c ≥ a+b + b+c + c+a
Bài 4:Trong mặt phẳng cho 2 tia Ox và Oy và một điểm M nằm giữa 2 tia đó Hãy xác
định điểm A trên Ox sao cho MA kéo dài cắt Oy tại B thì tích MA.MB có giá trị nhỏ nhất
Bài 5:Cho hàm số y = f (x) liên tục và thỏa điều kiện:
) ( 2 ) 1 2
Chứng minh rằng f(x) = 0 với mọi x∈[−1;1].
Trang 2ĐÁP ÁN TÓM TẮT
Bài 1: ( 3 + 2 2 )x = ( 2 − 1 )x + 3 (1)
Đặt 2t = ( 2 +1)x,t >0 ta có phương trình:
2
1 3
4t3 − t = (2) Tìm nghiệm t∈[−1;1], đặt t = cos α , 0 ≤ α ≤ π ta có phương trình
9
7
; 9
5
; 9 2
1 3 cos 2
1 cos 3 cos
Phương trình (2) có đủ 3 nghiệm nên không cần xét t∉ [ − 1 ; 1 ]
Vì t > 0 nên
9 cos 2 ) 1 2 ( 9
Bài 2:
=
=
⇔
=
2
1 sin
1
sin 2
16
4 sin2 6 sin
x
x
x x
Bài 3: 8 (a3 +b3 +c3 ) ≥ (a+b) 3 + (b+c) 3 + (c+a) 3
⇔6(a3+b3 +c3)≥3(a2b+b2a+a2c+c2a+b2c+c2b)
Ta có: a3 +a3 +b3 ≥3a2b
a b b b
a3 + 3 + 3 ≥3 2
c a c
a
a3 + 3 + 3 ≥3 2
a c a c
c3+ 3 + 3 ≥3 2
c b c
b
b3 + 3 + 3 ≥3 2
b c b c
c3+ 3 + 3 ≥3 2
Suy ra 6(a3 +b3+c3)≥3(a2b+b2a+a2c+c2a+b2c+c2b) (đpcm)
Bài 4:
B P
Q O
M A
Gọi P cà Q lần lượt là hình chiếu của M trên Ox và Oy
Đặt OAB∧ =α,OBA∧ = β ta có:
O
MQ MP O
MQ MP MQ
MP MQ
MP
MB
MA
cos 1
2 cos
) cos(
2 )
cos(
) cos(
2 sin
sin
+
≥ +
−
= +
−
−
=
=
β α β
α β
α β
α
Trang 3MA. có giá trị nhỏ nhất khi A,B lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua M
và vuông góc với đường phân giác của góc xOy với Ox và Oy
Bài 5: f(2x2 −1) = 2xf (x) với mọi x∈R, suy ra
0 ) 1 ( )
1 ( 2 )
1
f
0 ) 1 ( ) 1 ( 2 )
1
f
Với giá trị a∈(−1;1), xét dãy số
≥
+
=
=
− ( 2 ) 2
1
1
1
n
x x
a x
n n
Thì dãy số x n <1 với mọi n, do đó 1 1
2
1
−
− + >
> n n
x Suy ra dãy số xn có giới hạn
và giới hạn đó là 1
Ta có
) ( 2 ) (x n 1 x n f x n
Nên
) ( 2 ) (a x2f x2