a Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học có 15 nam và 20 nữ để tham gia đồng diễn.. Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
-
Câu 1 (3 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 2
4 sin x+ 4 cosx− = 1 0.
b) (2 cos 1)(cos 1) 3 2 cos( 1)
sin
x x
c) tanx−sin 2x=cos 2x(tanx+6)
Câu 2 (1 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số trong đó chữ số 9 xuất hiện 3 lần, các chữ số còn lại
có mặt một lần
Câu 3 (2 điểm)
a) Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học có 15 nam và 20 nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam b) Một đồng xu do chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt ngửa chỉ bằng 80% xác suất xuất hiện mặt sấp Tính xác suất để khi gieo 4 lần độc lập thì được ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa
Câu 4 (1 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 3
2
1 3
n
x x
−
biết rằng:
2
2P n− 4n+5 P n− =3A n n−
Câu 5 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2
( ) :C x +y − 2x+y− 10 = 0. Tìm trên đường tròn ( )C các điểm M N, sao cho N là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỷ số k = −2 (với O là gốc
tọa độ)
Câu 6 (2 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang và AD//BC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD; H, K lần lượt là trung điểm của SE và SF; G là trọng tâm của tam giác ABD Trên đoạn SG lấy điểm I sao cho SI = 3IG.
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (HIK) Thiết diện là hình gì?
b) Biết rằng SA=BC=a và SD=AD= 2 a Hãy tính theo a chu vi của thiết diện vừa tìm được
-HẾT -
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1
-
1a)
4 sin 4 cos 1 0 4 4 cos 4 cos 1 0 4 cos 4 cos 3 0
3 cos
2 1 cos
2 2 2 3
( ) 2
2 3
x x
k
π π π π
=
⇔
−
= +
= − +
(lo¹i)
0,25 đ
0,25đ
0,5 đ
1b)
Điều kiện: sinx≠ 0 ⇔x≠kπ (k∈ ).
Với điều kiện đó, phương trình tương đương với
2
2 cos cos 1 3(2 cos 1) sin cos 2 cos 3(sin 2 sin )
3 sin cos 3 sin 2 cos 2
sin cos sin 2 cos 2 sin sin 2
2
4 2
π π
= −
− = − +
= +
− = − + +
(lo¹i) (t
háa ®iÒu kiÖn)
Vậy phương trình có nghiệm là 4 2 , ( ).
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
1c)
2
Với điều kiện đó, phương trình tương đương với
tan 2sin cos cos sin tan 6 tan (1 tan ) 2 tan 1 tan tan 6 tan tan tan 6 tan tan 6 2 tan 6 tan 2 tan 6 0
tan 1
( )
4 tan 3
arctan( 3)
k x
π π π
= ± = ± +
= −
Z
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 2
Có 2 trường hợp:
• Chữ số ở hàng đầu tiên (hàng trăm ngàn) bằng 9:
Xếp 2 chữ số 9 vào 5 vị trí: có 2
5
C cách Chọn 3 chữ số trong 9 chữ số (khác với 9) và sắp chúng vào 3 vị trí còn lại: có 3
9
A cách Do đó trường hợp này có 2 3
5 9 5040
• Chữ số ở hàng đầu tiên (hàng trăm ngàn) khác 9:
Chọn chữ số cho hàng đầu tiên: có 8 cách Xếp 3 chữ số 9 vào 5 vị trí: có 3
5
C cách
Chọn 2 chữ số trong 8 chữ số (khác với chữ số đã chọn ở hàng đầu tiên và khác 9) và
0,25đ
0,5đ
www.VNMATH.com
Trang 3sắp thứ tự chúng vào 2 vị trí còn lại: có A8 cách
Vậy trường hợp này có 3 2
5 8
8.C A = 4480 số
3a)
Số phần tử của không gian mẫu là 5
35
| Ω = | C = 324632.
Gọi A là biến cố “5 học sinh chọn được có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số
học sinh nam” Khi đó có các trường hợp xảy ra là: 1 nữ và 4 nam; 2 nữ và 3 nam
Số kết quả thuận lợi cho A là 1 4 2 3
20 15 20 15
| ΩA| =C C +C C = 113750.
Vậy xác suất của biến cố A là: ( ) | | 113750 0,35
| | 324632
A
Ω
0,25đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
3b)
Gọi x là xác suất xuất hiện mặt sấp của đồng xu khi gieo Khi đó xác suất xuất hiện mặt
ngửa là 0,8x Ta có 0,8 1 1 5
1,8 9
Gọi A là biến cố “gieo đồng xu 4 lần độc lập thì được ít nhất một lần xuất hiện mặt
ngửa” Lúc đó A là biến cố “gieo đồng xu 4 lần độc lập thì được không xuất hiện mặt
ngửa lần nào” Ta có A= A A A A1 2 3 4, trong đó A i là biến cố lần gieo thứ i (i ∈{1, 2, 3, 4})
xuất hiện mặt sấp
Vì A A A A1, 2, 3, 4 độc lập với nhau nên
4
5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
9
Vậy
4
5 ( ) 1 ( ) 1 0, 905.
9
= − = − ≈
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 4
Điều kiện: n≥ 2,n∈N
2 2
2
!
2 (4 5) 3 2 ! (4 5).( 2)! 3
2!
3 ( 1)
2 ( 1) (4 5) 9 10 0
2 10
1
n
n
n n
n n
−
−
−
=
⇔
= −
(lo¹i)
10
n
1
k
x
−
+
−
1
k
T+ không chứa xkhi 30 3 − k− 2k = 0 ⇔ 5k = 30 ⇔k= 6.
Vậy số hạng không chứa x của khai triển là: 6 4 6
10 3 ( 1) 17010.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 5
Gọi M x y( ; ) ∈ ( )C Khi đó 2 2
2 10 0 (1)
2
N O
N
−
= −
= −
( ) ( 2 ) ( 2 ) 2( 2 ) ( 2 ) 10 0
4 4 4 2 10 0 (2)
∈ ⇔ − + − − − + − − =
⇔ + + − − =
Từ (1) và (2) ta có hệ
0,25đ
0,25đ
www.VNMATH.com
Trang 4
2
2 10 0 4 4 8 4 40 0
4 4 4 2 10 0 4 4 4 2 10 0
2 10 0 (2 5) 2 2 5 10 0
1
5 20 20 0
x y x y x y x y
y
+ − + − = + − + − =
⇔
+ + − − = + + − − =
+ − + − = + + − + + − =
= + + =
Vậy M −( 2;1) và N(4; 2) −
0,25đ
0,25đ
Q
M
P
N J
I
K H
E
F G
B
S
C
Trong (SED) gọi J =HI∩ED. Khi đó
Ta có EF ⊂ (ABCD HK), ⊂ (HIK) mà
//
EF HK nên giao tuyến của (HIK) và (ABCD) là đường thẳng qua J song song với EF, cắt AB tại M, cắt CD tại N
Trong (SCD), gọi P=NK∩SC. Lúc đó
( ) ( ).
( ), ( )
nên giao tuyến của (HIK) và (SBC) là đường thẳng qua P song song với BC, cắt
SB tại Q
Khi đó tứ giác MNPQ là thiết diện cần
tìm Vì MN//PQ (do cùng song song với
BC) nên thiết diện là hình thang
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
6b
+ Gọi L là trung điểm HE, ta có SL SI 3 LI//EJ EJ 2LI.
EJ = EG= EG= ED= ED do đó J là trung điểm ED
Suy ra M, N lần lượt là trung điểm của AE, DF
a
AD
MN
+ +
+ Vậy chu vi của thiết diện MNPQ là
4 4 4 4 4
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Ghi chú: Các cách giải khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa và điểm thành phần cũng được cho một cách
tương ứng
www.VNMATH.com