Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 quả cầu từ hộp đó.. Tính xác suất sao cho: a 4 quả cầu chọn được không cùng màu.. b 4 quả cầu chọn được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu
Trang 1SỞ GD & ĐT THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1
TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC MÔN: TOÁN LỚP 11 - NĂM HỌC: 2010 - 2011
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
-
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH
Câu 1 (3 điểm) Giải các phương trình lượng giác sau:
a) cos 2x+ 5sinx+ 2 = 0
b) sin (2 sin 3) cos
2 cos 1
x x
+
=
1 3sin + x(tanx− 1) = sin (sinx x+ cos )x
Câu 2 (1 điểm) Từ tập hợp A ={0;1; 2;3; 4;5; 6}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 3000
Câu 3 (2 điểm) Một hộp có chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng Lấy ngẫu
nhiên cùng lúc 4 quả cầu từ hộp đó Tính xác suất sao cho:
a) 4 quả cầu chọn được không cùng màu
b) 4 quả cầu chọn được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng
Câu 4 (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 2x+y= 0 và đường tròn
( ) :C x +y −2x+4y−20=0 Tìm trên đường thẳng d điểm M và trên đường tròn ( )C điểm N sao cho N là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v =(3; 1) −
Câu 5 (2 điểm) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC và G là điểm trên đoạn
thẳng DN sao cho DN = 4NG Trên đoạn thẳng BG lấy điểm I (I khác với B và G)
a) Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IMN), thiết diện là hình gì?
b) Xác định vị trí điểm I trên đoạn thẳng BG để thiết diện là hình bình hành Khi đó hãy tính tỉ số BI
BG
B PHẦN RIÊNG (Học sinh chỉ được làm một trong hai phần)
Câu 6a (1 điểm) (Theo chương trình chuẩn)
Cho dãy số (u n) biết u1= −2; u n+1 =u n +3n với n ≥1.
Lập công thức số hạng tổng quát u n của dãy số trên
Câu 6b (1 điểm) (Theo chương trình nâng cao)
Tìm hệ số của số hạng chứa 9
x trong khai triển 1 2
2
n
x x
−
biết rằng :
1
8 3( 1).
A − n = C − + -HẾT -
Trang 2SỞ GD & ĐT THỪA THIÊN HUẾ ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUỐC HỌC MÔN: TOÁN LỚP 11 - NĂM HỌC 2010 - 2011
-
1a)
1 sin
2 2 6
7 2 6
(lo¹i)
x
x
k
π π π
π
=
0,25 đ
0,25đ
0,5 đ
1b)
x≠ ⇔x≠ ±π +k π k∈ Với điều kiện đó, phương trình tương đương với
2
(lo¹i) (tháa ®iÒu kiÖn)
π
π
Vậy phương trình có nghiệm là 2 , ( ).
x=π +k π k∈ Z
0,25 đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
1c)
2
x≠π +kπ k∈ Z Với điều kiện đó, phương trình tương đương với
ta
−
1 tan
3
4
6
x
x
k
π π π π
=
= ±
= ± +
Z
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 2 Gọi abcd là số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 3000 được lập từ A, khi
đó a ∈{3; 4;5; 6} và d ∈{0; 2; 4; 6} Có 2 trường hợp:
Trang 3• Nếu a ∈{3;5}: Có 2 cách chọn a, 4 cách chọn d và A5 cách chọn bc Do đó trường
hợp này có 2
5
2.4.A =160 số
• Nếu a ∈{4; 6}: Có 2 cách chọn a, 3 cách chọn d và 2
5
A cách chọn bc Do đó trường hợp này có 2
5
2.3.A =120 số
Tóm lại có 160+120=280 số thỏa yêu cầu
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3 Số phần tử của không gian mẫu là 4
C
3a)
Gọi A là biến cố “4 quả chọn được không cùng màu” Khi đó A là biến cố “4 quả lấy
được có cùng màu”
Do đó xác suất của biến cố A là: ( ) 41
1820
A
P A = Ω =
Vậy xác suất của biến cố A là ( ) 1 ( ) 1 41 1779 0, 98.
1820 1820
P A = −P A = − = ≈
0,25đ 0,25đ
0,25đ
0,25đ
3b)
Gọi B là biến cố “4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá 2 quả cầu
màu vàng” Khi đó
Xác suất của biến cố B là ( ) 740 37 0, 41.
1820 91
B
P B = Ω = = ≈
Ω
0,5đ
0,25đ
Câu 4
Gọi M x( ; 2 ) − x ∈d Vì N =T M v ( ) nên tọa độ của N là N x( + 3; 2 − x− 1).
2
Với x =2ta có M(2; 4) − và N(5; 5) −
Với x = −2ta có M −( 2; 4) và N(1;3).
0,25đ
0,25đ 0,25đ 0,25đ
5a
Vẽ hình thiết diện đúng: 0,25đ
P
Q
G
N
M
B
A
C
D I
Gọi Q là giao điểm của NI và BD
Ta có Q∈ (MNI) ∩ (BCD),
MN⊂ MNI BC⊂ BCD và MN//BC nên giao
tuyến của (MNI) và (BCD) là đường thẳng d đi qua Q song song với BC, cắt CD tại P
Khi đó tứ giác MNPQ là thiết diện của hình chóp cắt bởi (IMN)
Vì MN//PQ nên thiết diện là hình thang
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ
Trang 4CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
5b
Q H
P
I G N
M
D
C A
2
BC
MN=PQ= Do đó, gọi Q là trung điểm BD
và I là giao điểm của BG và NQ Khi đó với điểm I xác định như vậy thì thiết diện thu được khi cắt tứ diện ABCD bởi mặt phẳng (MNI) là
hình bình hành
Trong (BDN), kẻ GH//NQ (H∈BD) Ta có:
1
4
QD = QB = ND = ⇒ =
BG = BH = BQ QH+ = QH+QH =
0,25đ
0,25đ 0,25đ
6a)
Ta có u n+1−u n =3nvới mọi n ≥1, do đó:
1
3 6 9
n n
Suy ra u n−u1 = + + +3 6 9 3(+ n−1)=S n−1 trong đó S n−1 là tổng của n −1 số hạng liên tiếp
của cấp số cộng có số hạng đầu bằng 3 và công sai d=3 Do đó
2 1
n
Vậy
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
6b)
Điều kiện: n≥ 3,n∈N
1
( 3)! 2!( 3)!
3( 2)( 1)
2
12.
n
−
−
⇔ =
12
n
2
1 ( 2 ) ( 2)
x
−
1
k
T+ chứa 9
x khi 2k− (12 −k) = 9 ⇔ 3k = 21 ⇔k= 7.
Vậy số hệ số của số hạng chứa 9
x là: 7 7
12 ( 2) 101376.
C − = −
0,25đ
0,25đ
0,25đ 0,25đ
Ghi chú: Các cách giải khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa và điểm thành phần cũng được cho một cách tương ứng