m-tham số a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.. Có ít nhất một nghiệm.. Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng.. Cho tứ diện ABCD có BAD =900 và c
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1.Cho hàm số:
y=x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1) (m-tham số)
a.Tìm các điểm mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m
b.Xác định m để hàm số đồng biến trên (2;+∞)
Bài 2.
a.Với giá trị nào của m thì bất phương trình sau :
x2- 2mx + 2 x−m +5 < 0 Có ít nhất một nghiệm.
b.Tìm a để phương trình sau có nghiệm và tìm nghiệm:
Log x a Loga x Loga x Loga 4 Log x a
2
Bài 3.Cho tứ diện ABCD.Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
và CD.Hai điểm R,S lần lượt lấy trên các cạnh AC và BD sao cho
k
BS
BD
AR
AC = = (k > 0)
Chứng minh rằng bốn điểm P,Q,R,S nằm trên cùng một mặt phẳng
Bài 4.
Cho tứ diện ABCD có BAD =900 và chân đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC
Chứng minh rằng : (AB +BC +CA)2 ≤ 6(AD2 +BD2 +CD2)
Bài 5.Cho hai số thực x, y bất kỳ thoả mãn điều kiện :
2y ≥x2 ; y ≤ -2x2 + 3x
Chứng minh rằng : x2 + y2 ≤ 2
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM.
Bài 1.(4điểm)
a.(2điểm)
Điểm A(x0;y0) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m 0.5đ
=
=
⇔
=
−
−
−
= +
−
=
−
⇔
∀
=
−
−
− + +
−
−
−
⇔
∀
− +
+
−
− +
−
⇔
0
2 0
2
0 2 3
0
2
, 0 ) 2
( ) 2 3 ( )
2
(
2
), 1 2 ( 2 ) 2 3 2 ( ) 1
(
0 0
0 0
2
0
3
0
0
2
0
0
0 0
2 0
3 0 0
2 0
2 0
0 2
2 0
3
0
y
x y
x x
x
x
x
x
m y
x x x m x
x m
x
m m
m x m m x
m
x
0.5đ
0.5đ
Vậy điểm A(2;0) là điểm mà đồ thị đi qua ∀m 0.5đ
b.(2điểm) Ta có:
) 2 3 2 ( ) 1 ( 2 3
)
y
0.5đ
∆’ =7m2 –7m +7 = 7(m2-m+1) > 0 ,∀m 0.5đ
y, ≥0,∀x∈ ( 2 ; +∞ )
<
−
≥
⇔
0 2 2
0 ) 2 (
S
g
0.5đ
0 5
0 6
2 2
≤
≤
−
⇔
<
−
≤
− +
m
m m
0.5đ
Bài 2.(6điểm)
a.(3điểm) Bất phương trình đã cho tương đương với :
(*) 0 5
2
)
(x−m 2 + x−m + −m2 <
0.5đ
đặt: t = x−m điều kiện : t, ≥0 0.5đ
Trang 3(*)trở thành
≥
<
− + +
) 1 ( 0 5
2
t
m t
t
0.5đ Hệ có nghiệm ≥ > ∆ ⇔ 0 0 2 ' t (t2 là nghiệm lớn)
0.5đ 0.5d
5 0.5d
0 4 1 0 4 2 2 ≥ ⇔ ≥ − + − > − ⇔ m m m
b.(3điểm) Đ/k : x>0 , x≠ 1, a>0 , a≠ 1
0.5đ
(1)⇔ x x x x a a a a a log log log log log 1 2 2 2 1 1 2 = + x x x x a a a a a a log log log log log log 2 2 2 2 = + − ⇔ 0.5đ Đặt : t = x a log , b= loga2 Ta được phương trình: ) 2 ( 0 2 2 2 2 2 = − + − ⇔ = + − t b t b t b t b t t 0.5đ -Nếu t ≥b thì ( 2 ) ⇔t2 + 2t− 4b= 0 ( 3 ) (3) có nghiệm 4 1 0 ' ≥ ⇔ ≥ − ∆ ⇔ b Lúc đó (3) có hai nghiệm t1 = − 1 − 1 + 4b ; t2 = − 1 + 1 + 4b Rõ ràng t1<-1 < b nên bị loại t2 ≥b⇔ 1 + 4b ≥ 1 +b⇔b(b− 2 ) ≤ 0 ⇔ 0 ≤b≤ 2 Vậy 0 ≤b≤ 2 ⇔0≤log 2≤2⇔a2 ≥2 a Vì a>0 nên a≥ 2
0.5đ -Nếu t< b thì (2)⇔t2 − 2t = 0 Vì t≠ 0 (x≠ 1 )nên t=2 Theo điều kiện t< b, ta phải có: b>2⇒log 2 > 2 ⇒ 1 <a2 < 2 ⇒ 1 <a< 2 a 0.5đ
Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm khi a > 1
Khi 1<a< 2 thì nghiệm là x = a2
Trang 4Khi a≥ 2 thì nghiệm là x = a 1 + 4 log 2 − 1
a
0.5đ Bài 3.(4điểm) [ ] [ ]
, , 2 2 0.5d
) 0 BP AP (vi ) ( 2 0.5d
) ( 2 0.5d
) ( 2 1 0.5d
) 0 BP AP (vi ) ( 2 1 0.5d
) ( ) ( 2 1 0.5d
) ( ) ( 2 1 0.5d
) ( 2 1 PS PR PQ to vec ba PS k PR k PQ PS PR k PS BP PR AP k BS AR k BD AC BP AP BD AC BP BD AP AC PD PC PQ − ⇒ + = = + + = + + + = + = = + + = + − + = − + − = + =
Đồng phẳng hay bốn điểm P,Q,R,S cùng thuộc một mặt phẳng
0.5đ Bài 4.(4điểm) Trước hết ta chứng minh CDA =900 Thật vậy: Gọi H là hình chiếu của D lên mp(ABC), giả sử CH cắt AB tại E Do :AB⊥DH và AB⊥CE nên AB⊥ (DEC) Suy ra : AB⊥DC (1)
1đ Mặt khác :theo giả thiết BDC =900 ⇒DC⊥BD (2) Từ (1)và (2) DC⊥ (ABD) ⇒DC⊥DA ⇒ CDA =900
0.5đ Hoàn toàn tương tự : ADB =900
0.5đ
Từ đó ta có :
Trang 5AB2 + BC2 + CA2 =2(AD2+BD2+CD2) (1) 0.5đ
Sử dụng bất đẳng thức Co-si , ta có:
(AB+BC+CA)2 = AB2+BC2+CA2+2AB.BC+2BC.CA+2CA.AB ≤ (AB2+BC2+CA2) (2)
Kết hợp (1),(2) ta được : (AB+BC+CA)2 ≤ 6(AD2+BD2+CD2) 1đ
Dấu bằng xảy ra khi : AB=BC=CA 0.5đ
Bài 5.(2điểm)
Từ giả thiết suy ra :
x y 2x 3x
2
2
2
+
−
≤
0.5đ
(Các điểm thoả mãn (1)là phần hình phẳng
được tô đậm ở hình bên)
Hoành độ giao điểm của hai
Parabol:
0
4
3
5
6
y1=
2
2
x và y2=-2x2+3x
là nghiệm phương trình:
5
6 ,
0 3
2 2
2
2
=
=
⇔ +
−
Với điều kiện (1) ,ta có :
x2+y2 ≤x2 + ( − 2x2 + 3x) 2= 4x2 − 12x3 + 10x2 với
5
6
0 ≤ x≤ 0.5đ
Ta xét hàm số :
f(x)=4x4 –12x3+10x2 trên 5
6
; 0
f’(x)=16x3-36x2+20x
=4x(4x2-9x+5)
f’(x)=0⇔x=0 , x=1, x=
4
5
0.5đ
Bảng biến thiên
x 0 1 6\5
f’(x) + 0 -
2
f(x)
Trang 60
625 1224
Từ bảng biến thiên :
( )
5
6
; 0
x
Maxf
= 2
Vì vậy : x2 +y2 ≤ 2 Dấu bằng xẩy ra khi :x = y =1 0.5