Chứng minh đa thức fx có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố.. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = BC.. Vẽ tam giác đều ACN N và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đờng thẳng AB
Trang 1Bài 1 (4,0 điểm)
a Chứng minh B
A là một số nguyên, biết rằng :
A =1 1+ + + +1 1
b Tìm các cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn : x - y + 2xy = 3
Bài 2 (4,0 điểm)
a Tìm điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số y = - x2
3 , biết : 5y + 2 x = 80 0
b Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện :
(x - 1) f(x) = (x + 4) f(x + 8) , với mọi xR
Chứng minh đa thức f(x) có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố
Bài 3 (4,0 điểm)
a Tìm ba số a, b, c biết : 52 = 39 = 13
a - 20 b -15 c - 5 và b.c = 3
b Cho ba số thực dơng x, y, z thỏa mãn : x2 + y3 + z4 = 1
Chứng minh : x5 + y6 + z7 < 1
Bài 4 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có BAC = 20 o Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho
AM = BC Vẽ tam giác đều ACN (N và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ
là đờng thẳng AB)
a Chứng minh AMB = CBN
b Tính số đo ABM
Bài 5 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABE, ACF, BMC (ABE = ACF = BMC = 90 o) Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của E và F trên đờng thẳng BC
Chứng minh : a EH + FK = BC
b AB + AC = AM 2
Bài 1 (4,0 điểm)
Phòng giáo dục và đào tạo
THàNH phố thái bình đề khảo sát học sinh giỏi lớp 7 Năm học : 2012 - 2013
Môn : toán
Thời gian làm bài : 120 phút
Phòng giáo dục và đào tạo
THàNH phố thái bình HƯớNG DẫN CHấM khảo sát hSG lớp 7 Năm học : 2012 - 2013
Môn : toán
Trang 2(2đ)
1
=
1.0
=> B 2013
b
(2đ)
x - y + 2xy = 3
=> (2x + 4xy) - 2y = 6
=> 2x(1 + 2y) - (2y + 1) = 5
Vì x, y nguyên => 2x - 1 và 2y + 1 nguyên
Ta có bảng giá trị nh sau :
0.75
Bài 2 (4,0 điểm)
a
(2đ)
Vì điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số y = - x2
2
y = - x
Mà 5y + 2 x = 8 => 0 0 -10 0 0
3 x + 2 x = 8 => -5 0 0
- Nếu x0 0 ta có : -5 0 0
3 x + x = 4 => x0 = -6 (không thỏa mãn x0 0 ) 0.5
- Nếu x0 < 0 ta có : -5 0 0
3 x - x = 4 => x0 = -3
2 (thỏa mãn x0 < 0) => y0 = 1
0.5
Vậy điểm M (-3
b
(2đ)
(x - 1) f(x) = (x + 4) f(x + 8) (*) , với mọi xR
Thay x = 1 vào (*) ta có : (1 - 1) f(1) = (1 + 4) f(1 + 8)
Thay x = 9 vào (*) ta có : (9 - 1) f(9) = (9 + 4) f(9 + 8)
=> f(17) = 0 => x = 17 là một nghiệm của f(x) 0.75
Mà 17 là số nguyên tố => f(x) có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố 0.5
Bài 3 (4,0 điểm)
Trang 3(2.5đ)
a -20 b 15- c 5
a - 5 b - 5 c 5
a b c
0.75
Đặt
a = 52k
b = 39k
c = 13k
Mà b.c = 3 => 39k 13k = 3 => 3 (13k)2 = 3 => 13k = 1=> k = ±1
13 0.75
- Với k = 1
13=> a = 4; b = 3; c = 1
- Với k = - 1
Các bộ số (a ; b ; c) = (4 ; 3 ; 1) ; (-4 ; -3 ; -1) thỏa mãn ĐK bài toán
b
(1.5đ)
Vì x, y, z là ba số thực dơng thỏa mãn : x2 + y3 + z4 = 1
=> 0 < x2 < 1 ; 0 < y3 < 1 ; 0 < z4 < 1 0.25
Bài 4 (4,0 điểm)
a
(2.5đ)
A
B C N
M
BCN 20
và chứng minh đợc AB = CN
- AMBvà CBNcó :
AM = CB (gt)
MAB BCN 20O
AB = CN (chứng minh trên) =>AMB = CBN (c.g.c)
0.75
0.75
1.0
b
(1.5đ)
Ta có AMB = CBN (chứng minh trên)
=> ABM CNB (2 góc tơng ứng) (1) 0.25
Chứng minh đợc tam giác ABN cân tại A 0.25 Tính đợc O
O
O
CNB 10 (2) 0.25
Từ (1) và (2) => O
Bài 5 (4,0 điểm)
Trang 4a
(2đ)
A E
F
- Kẻ AI BC (IBC)
- Chứng minh đợc BHE = AIB (ch - gn) => EH = BI (1)
- Chứng minh đợc CFK = ACI (ch - gn) => KF = CI (2) -Từ (1) và (2)
=> EH + FK = BI + CI = BC
0.25
0.75
0.75
0.25
b
(2đ)
A
M
N
- Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = AB
=> AB + AC = CN + AC = AN (1)
- Chứng minh đợc ABM MCN
- Chứng minh đợc ABM = NCM (c.g.c) => AM =NM AMB CMN
Từ đó chứng minh đợc AMN vuông cân tại M => AN = AM 2 (2)
Từ (1) và (2) => AB + AC = AM 2
0.5
0.25
1.0
0.25
Chú ý
- Trên đây chỉ là hớng dẫn chấm điểm theo bớc cho một cách giải
Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tơng ứng
- Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm từng bài (không làm tròn)