Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
1!
Khoá)giải)đề)THPT)Quốc)Gia)–)Thầy:)Đặng)Thành)Nam)
Môn:)Toán;)ĐỀ)SỐ)05/50) Ngày)thi):)04/02/2015) Thời)gian)làm)bài:)180)phút,)không)kể)thời)gian)giao)đề) Liên)hệ)đăng)ký)khoá)học)–)Hotline:)0976)266)202)
Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số! y = x3−mx2+ mx (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =1.!
2 Tìm!m!để!hàm!số!(1)!đạt!cực!đại,!cực!tiểu!tại! x1,x2thoả!mãn! (x1− x2)2= 8.!!!!!!
Câu)2)(1,0)điểm).)Giải!các!phương!trình!!
a) cos2x −sinx = 3(1+2sinx)cosx ;!b)! 8log9(2x+ 5)−log 3(3x−6)2+ 4 = 0.!!!!
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!diện!tích!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!đường!cong! y =−x2+ 4x −3!và!
đường!thẳng! y = 3x −9 !!!
Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Cho!số!tự!nhiên!n!và!số!phức!z!thoả!mãn! (2+3i)(z +2z) = 2+7z !Chứng!minh!
w = z n + (z) n!là!số!thực.!!!!
b) Để!có!thể!dự!thi!vào!hệ!cử!nhân!sư!phạm!Toán!của!một!trường!đại!học!sư!phạm!trường!ra! yêu!cầu!bắt!buộc!thí!sinh!làm!bài!thi!riêng!đối!với!môn!Toán!gồm!9!câu!hỏi!trong!đó!có!3! câu!hỏi!dễ!(!gồm!1!câu!2,0!điểm!và!2!câu!1,0!điểm);!4!câu!hỏi!trung!bình!khá!(mỗi!câu!1,0! điểm)!và!2!câu!hỏi!khó!(mỗi!câu!1,0!điểm).!Thí!sinh!đạt!yêu!cầu!nếu!được!ít!nhất!8,0!điểm! trong!đó!bắt!buộc!phải!hoàn!thành!một!câu!hỏi!khó.!Hỏi!có!bao!nhiêu!cách!để!một!thí!sinh! vượt!qua!bài!thi!riêng.!
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!thoi!cạnh!2a,!
BAD! = 600,SA = a.!Tam!giác!SAB!vuông!tại!S!và!nằm!trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt! đáy!(ABCD).!Gọi!M,N!lần!lượt!là!trung!điểm!cạnh!AB,BC.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.CDN!và! côsin!góc!giữa!hai!đường!thẳng!SM!và!DN.!
Câu)6)(1,0)điểm).)Trong!không!gian!với!hệ!tọa!độ!Oxyz!cho!mặt!phẳng! (P): x + z −1= 0 ;!
đường!thẳng
d :
x−3
1 = y−4
1 = z+ 8
−4 !Gọi!A!là!giao!điểm!của!d!và!(P),!C!nằm!trên!(P)!và!B!
nằm!trên!d!sao!cho! AB = 3 2,ACB! = 900,BAC! = 300.!Tìm!toạ!độ!điểm!A,C!biết!B!có!hoành!độ! dương.!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích!
bằng!16!và!đỉnh!A(3;1).!Gọi!
2;−3 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟!là!điểm!thuộc!đoạn!BD!thoả!mãn! DM = 3BM !Đường! thẳng!CD!đi!qua!điểm!N(1;1).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!B,D!biết! x D>−2.!!
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình!
(x − y)2= 2y2+ 8x +1 (x −2y)(x − y)2= ( y +1)2−2x
⎧
⎨
⎪⎪
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thay!đổi!thoả!mãn! (x − y)2+ ( y − z)2+ (z − x)2= 8!
và! x3+ y3+ z3=1.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = x4+ y4+ z4.!
lllHẾTlll)
Trang 2Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
2!
)
PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu)1)(2,0)điểm).!Cho!hàm!số! y = x3−mx2+ mx (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1)!với! m =1.!
2 Tìm!m!để!hàm!số!đạt!cực!đại,!cực!tiểu!tại! x1,x2thoả!mãn! (x1− x2)2= 8.!!!!!!
1 Học!sinh!tự!làm.!
2 Ta!có:! y' = 3x2−2mx + m; y' = 0 ⇔ 3x2−2mx + m = 0 (2).!
Để!(1)!có!hai!cực!trị!khi!(2)!có!hai!nghiệm!phân!biệt! x1,x2.!
Khi!đó!
Δ' = m2−3m > 0 ⇔ m> 3
m< 0
⎡
⎣
⎢
⎢ !
Theo!giải!thiết!bài!toán!ta!có: (x1+ x2)2−4x1x2= 8.!!
Vi!–ét!ta!có:!
x1+ x2=
2m
3 ,x1x2=m
3 !
Vì!vậy!
4m2
9 −4m
3 = 8 ⇔ 4m2−12m −72 = 0 ⇔ m= 6
⎡
⎣
⎢
⎢ (t/m).!
Vậy! m =−3;m = 6là!giá!trị!cần!tìm.!!!!!!!
Câu)2)(1,0)điểm).))
a) Giải!phương!trình! cos2x −sinx = 3(1+2sinx)cosx !
b) Giải!phương!trình!
8log9(2x+ 5)−log 3(3x−6)2+ 4 = 0.!!!!
a) Phương!trình!tương!đương!với:!
cos2x −sin x = 3 cos x + 2sin x cos x( )
⇔ cos2x − 3 sin 2x = sin x + 3 cos x
⇔ cos 2x + π
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟= cos x −
π
6
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
⇔ 2x
+π
3 = x − π
6+ k2π 2x+π
3 = −x + π
6+ k2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔
x= −π
2+ k2π
x= −π
18+ k2π
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
,k∈ ! !
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!là!
x= −
π
2+ k2π;x = − π
18+ k2π
3 ,k∈ !.!!
b) Điều!kiện:!
−
5
2< x ≠ 2.!
Phương!trình!tương!đương!với:!
4log3(2x+ 5)−4log33x−6 + 4 = 0
⇔ log32x+ 5
3x−6 = −1 ⇔
2x+ 5
3x−6 =
1
3⇔ x = −1.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x =−1.!!!!!
Trang 3Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
3!
Câu)3)(1,0)điểm).!Tính!diện!tích!hình!phẳng!giới!hạn!bởi!đường!cong! y =−x2+ 4x −3!và!
đường!thẳng! y = 3x −9 !!!
Phương!trình!giao!điểm:!
−x2+ 4x −3 = 3x −9 ⇔ x2− x −6 = 0 ⇔ x= −2
x= 3
⎡
⎣
⎢
⎢ !
Vì!vậy!
S= x2− x −6 dx
−2
3
∫ = (x2− x −6)dx
−2
3
3 −x2
2 −6x
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
3
−2=
125
6 !!!
Câu)4)(1,0)điểm).)
a) Cho!số!tự!nhiên!n!và!số!phức!z!thoả!mãn! (2+3i)(z +2z) = 2+7z !Chứng!minh!rằng!
w = z n + (z) n!là!số!thực.!!
b) Để!có!thể!dự!thi!vào!hệ!cử!nhân!sư!phạm!Toán!của!một!trường!đại!học!sư!phạm!trường!ra! yêu!cầu!bắt!buộc!thí!sinh!làm!bài!thi!riêng!đối!với!môn!Toán!gồm!9!câu!hỏi!trong!đó!có!3! câu!hỏi!dễ!(!gồm!1!câu!2,0!điểm!và!2!câu!1,0!điểm);!4!câu!hỏi!trung!bình!khá!(mỗi!câu!1,0! điểm)!và!2!câu!hỏi!khó!(mỗi!câu!1,0!điểm).!Thí!sinh!đạt!yêu!cầu!nếu!được!ít!nhất!8,0!điểm! trong!đó!bắt!buộc!phải!hoàn!thành!một!câu!hỏi!khó.!Hỏi!có!bao!nhiêu!cách!để!một!thí!sinh! vượt!qua!bài!thi!riêng.!!!
a) Giả!sử! z = x + y.i(x,y ∈!)theo!giả!thiết!ta!có:!
!
(2+ 3i)(x + yi + 2(x − yi)) = 2+7(x + yi)
⇔ (2+ 3i)(3x − yi) = 7x + 2+7yi
⇔ 6x + 3y + (9x −2y)i = 7x + 2+7yi
⇔ 6x + 3y = 7x + 2
9x −2y = 7y
⎧
⎨
⎪⎪
x=1
y=1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ z =1+ i
.!!
Suy!ra!
z= 2 cosπ
4+ i.sin π
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟;z= 2 cos
−π
4 + i.sin −π
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.!!
Vì!vậy!!
w= 2 cosπ
4+ i.sin π
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢⎢
⎤
⎦
⎥
⎥⎥
n
+ 2 cos−π
4 + i.sin −π
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢⎢
⎤
⎦
⎥
⎥⎥
n
= 2
n
2 cosnπ
4 + i.sin nπ
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟+ 2
n
2 cos−nπ
4 + i.sin −nπ
4
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟= 2.2
n
2cosnπ
4 !
Do!đó!w!là!số!thực!với!mọi!n!tự!nhiên!(đpcm).!
b) Thí!sinh!vượt!qua!bài!thi!riêng!nếu!đạt!8,0!điểm!hoặc!9,0!điểm!hoặc!10,0!điểm!trong!đó! hoàn!thành!ít!nhất!một!câu!hỏi!khó.!
+)!Thí!sinh!đạt!10,0!điểm!có!duy!nhất!một!cách!thực!hiện.!
+)!Thí!sinh!đạt!9,0!điểm!có!các!khả!năng:!
Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!một!câu!hỏi!dễ!loại!1,0!điểm!có!1.1.2=2!cách.!
Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!1!câu!hỏi!trung!bình!khá!loại!1,0!điểm!có!1.1.4=4!cách.!
Hoàn!thành!1!câu!hỏi!khó!và!7!câu!hỏi!mức!dễ!và!trung!bình!khá!có!2.1.1=2!cách.! Vậy!có!2+4+2=8!cách.!
+)!Thí!sinh!đạt!8,0!điểm!có!các!khả!năng:!
Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!một!câu!hỏi!dễ!loại!2,0!điểm!có!1.1.1=1!cách.!
Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!2!câu!hỏi!dễ!loại!1,0!điểm!có!1.1.1!=1!cách.!
Trang 4Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
4!
Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!2!câu!hỏi!trung!bình!khá!có! 1.1.C42= 6cách.!!
Hoàn!thành!2!câu!hỏi!khó,!bỏ!1!câu!hỏi!dễ!loại!1,0!điểm!và!1!câu!hỏi!trung!bình!khá! loại!1,0!điểm!có! 1.C21.C41= 8cách.!
Hoàn!thành!1!câu!hỏi!khó!và!bỏ!1!câu!hỏi!dễ!loại!1,0!điểm!có! 1.C21.C21= 4cách.!
Hoàn!thành!1!câu!hỏi!khó!và!bỏ!1!câu!hỏi!trung!bình!có! 1.C21.C41= 8cách.!
Vậy!có!1+1+6+8+4+8=28!cách.!
Vì!vậy!có!tất!cả!1+8+28=37!cách!để!một!thí!sinh!vượt!qua!bài!thi!riêng.!!!
Câu)5)(1,0)điểm).!Cho!hình!chóp!S.ABCD!có!đáy!ABCD!là!hình!thoi!cạnh!2a,!
BAD! = 600,SA = a.!Tam!giác!SAB!vuông!tại!S!và!nằm!trong!mặt!phẳng!vuông!góc!với!mặt! đáy!(ABCD).!Gọi!M,N!lần!lượt!là!trung!điểm!cạnh!AB,BC.!Tính!thể!tích!khối!chóp!S.CDN!và! côsin!góc!giữa!hai!đường!thẳng!SM!và!DN.!
!
Kẻ!SH!vuông!góc!với!AB!tại!AB,!do!mặt!phẳng! (SAB)!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(ABCD)!nên!
SH ⊥ (ABCD) !
Tam!giác!vuông!SAB!có!!
SB = AB2−SA2 = 4a2−a2= a 3.!
Và!
SH =
SA.SB
2a =
a 3
2 !!
Ta!có!
S CDN =
1
2CD.CN sin DCN! = 1
2.2a.a.sin600=a2 3
2 !
Vì!vậy!
V S CDN =1
3SH.S CDN=1
3.
a 3
2 .
a2 3
2 =a3
4 (đvtt).!
+)!!!Gọi!K!là!trung!điểm!AD,!L!là!trung!điểm!AK!và!I!là!trung!điểm!ML!ta!có!!
! ML //BK //DN ⇒ (DN ,SM ) ! = (ML,SM )! !!
Ta!có! BK = BA2+ AK2−2BK.AK.cos600= a 3 ⇒ BK2+ AK2= AB2.!
Vì!vậy!tam!giác!BAK!vuông!tại!K!suy!ra! BK ⊥ AK ⇒ ML ⊥ AK !
Vì!
SM =
AB
2 = SA = a ⇒ Hlà!trung!điểm!đoạn!AM.!
Vì!vậy!HI//AK!do!đó!HI!vuông!góc!với!ML.!Mặt!khác!ML!vuông!góc!với!SH!do!vậy!ML! vuông!góc!với!mặt!phẳng!(SHI)!suy!ra!ML!vuông!góc!với!SI.!
Vì!vậy!góc!! (DN,SM ) ! = (ML,SM ) ! =SML! !
Ta!có!
cosSML ! = MI
2SM =
BK
4SM =
a 3
4a =
3
4 !
Vậy!
cos(SM ,DN!) = 3
4 !
Chú)ý.!Ta!có!thể!sử!dụng!véc!tơ!để!tính!côsin!góc!giữa!hai!đường!thẳng!SM!và!DN!như!sau:!
SM
! "!!
= SH! "!!+ HM! "!!!= SH! "!!+1
4AB
! "!!
;DN! "!! = DC! "!!+CN! "!!= AB! "!!+1
2CB
! "! !
Suy!ra!!
Trang 5Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
5!
SM! "!!.DN! "!! = SH! "!!+1
4AB
! "!!
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ AB
! "!!
+1
2CB
! "!
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟=
1
4AB
2+1
8AB
! "!!
.CB! "! = a2−a2
4 =3a2
4 ;
SM = a,DN = a 3 ⇒ cos(SM ,DN #) = SM
! "!!
.DN! "!!
3a2 4
4
.!!!!!!!!!!!!!
Câu)6)(1,0)điểm).)Trong!không!gian!với!hệ!tọa!độ!Oxyz!cho!mặt!phẳng! (P): x + z −1= 0 ;!
đường!thẳng
d :
x−3
1 = y−4
1 = z+ 8
−4 !Gọi!A!là!giao!điểm!của!d!và!(P),!C!nằm!trên!(P)!và!B!
nằm!trên!d!sao!cho! AB = 3 2,ACB! = 900,BAC! = 300.!Tìm!toạ!độ!điểm!A,C!biết!B!có!hoành!độ! dương.!
Vì!
A ∈ d ⇒ A a + 3; a + 4; −4a −8( ).!Thay!tọa!độ!đỉnh!A!vào!phương!trình!mặt!phẳng!(P)!suy! ra!
A 1; 2; 0( ).!Vì!
B ∈ d ⇒ B b + 3; b + 4; −4b −8( ).!Ta!có!
AB = 3 2 ⇔ b + 2( )2
+ b + 2( )2
+16 b + 2( )2
=18 ⇔ b= −1
b= −3
⎡
⎣
⎢
B 2; 3;( −4) (tm x B> 0)
B 0; 1; 4( ) ( )ktm
⎡
⎣
⎢
⎢
Ta! có!
BC = AB.sin30
0=3 2
2 .!Mặt! khác!
d B, P( ( ) )= 3
2 = BC ! Từ! đó! suy! ra! C! là! hình! chiếu! vuông!góc!của!B!lên(P).!!Ta!có!
C 2( + c; 3; −4 + c)∈ P( )⇒ c =3
2⇒ C 7
2; 3;−5 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.!
Vậy!
A 1; 2; 0( ), C 7
2; 3;−5 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟.!
Câu)7)(1,0)điểm).!Trong!mặt!phẳng!toạ!độ!Oxy!cho!hình!chữ!nhật!ABCD!có!diện!tích!bằng!16!
và!đỉnh!A(3;1).!Gọi!
2;−3 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟!là!điểm!thuộc!đoạn!BD!thoả!mãn! DM = 3BM !Đường!thẳng! CD!đi!qua!điểm!N(1;1).!Tìm!toạ!độ!các!đỉnh!B,D!biết! x D>−2.!!
Đường!thẳng AD :a(x +3)+b(y−1) = 0(a2+ b2> 0).!
Vì!CD!vuông!góc!với!AD!nên!
CD : b(x −1)−a( y −1) = 0 !!
!
!
!
Do!!!DM = 3BM nên!
d(M ;AD)=
DM
4BC.!
Suy!ra!
S ABCD = AB.BC =
16
Ta!có:!
d(M ;AD)= 7a / 2 −5b / 2
a2+ b2 ;d(M ;CD)= −b / 2+ 5a / 2
a2+ b2 !
Vì!vậy!!
Trang 6Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
6!
7a / 2 −5b / 2
a2+ b2 −b / 2+ 5a / 2
a2+ b2 = 9
⇔ 36(a2+ b2)= (7a −5b)(5a −b) ⇔ a = −b
a = −31b
⎡
⎣
⎢
⎢
.!
+!Nếu! a =−b ⇒a =1;b =−1⇒ AD : x − y+4 = 0;CD : x + y−2= 0 !
Toạ!độ!điểm!D!là!nghiệm!của!hệ!
x − y + 4 = 0
x + y −2 = 0
⎧
⎨
⎪⎪
x= −1
y= 3
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪ ⇒ D(−1;3).!!!
Ta!có!
DB
! "!!
=4
3DM
! "!!!
= 2;−6( )⇒ B(1;−3).!
+!Nếu! a =−31b ⇒a = 31;b =−1⇒ AD :31x − y+94 = 0;CD : x +31y−32= 0.!
Toạ!độ!điểm!D!là!nghiệm!của!hệ!
31x − y + 94 = 0
x + 31y −32 = 0
⎧
⎨
⎪⎪
x= −1441 481
y=543 481
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
(l ).!
Vậy!B(1;3)!và!D(1;3).!!
Câu)8)(1,0)điểm).!Giải!hệ!phương!trình!
(x − y)2= 2y2+ 8x +1 (x −2y)(x − y)2= ( y +1)2−2x
⎧
⎨
⎪⎪
Nhận!thấy! x = 0không!là!nghiệm!của!hệ!phương!trình:!
Với! x ≠ 0,!viết!lại!hệ!phương!trình!dưới!dạng!
!
x2−2xy = y2+1+ 8x (x −2y)(x2−2xy + y2)= y2+1+ 2y −2x
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
⇔ x −2y =
y2+1
(x −2y)(x2−2xy + y2+1) = y2+1− x
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔
x −2y = y2+1
(x −2y) x −2y + y2+1
x
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ =y
2+1
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪
.!
Đặt!
a = x −2y;b =
y2+1
x hệ!phương!trình!trở!thành:!
!
a = b + 8
a(a + b) = b −1
⎧
⎨
⎪⎪
a = 3,b = −5
a=3
2,b= −13
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
+)!Với!!
a = 3,b = −5 ⇔
x −2y = 3
y2+1
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ x = −1, y = −2
x = −13, y = −8
⎡
⎣
⎢
Trang 7Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
7!
+)!Với!
a=3
2,b= −13
2 ⇔
x −2y =3
2
y2+1
2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
⇔
x= −23
2 −3 14, y = −13
2 −3 7 2
x= −23
2 + 3 14, y = −13
2 + 3 7
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎢
.!
Vậy!hệ!phương!trình!có!bốn!nghiệm!là!
(x; y)= −1;−2( );(−13;−8); −23
2 −3 14;−13
2 −3 7 2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟;−232 + 3 14;−13
2 + 3 7
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟.!!!!
Câu)9)(1,0)điểm).!Cho!x,y,z!là!các!số!thực!thoả!mãn! (x − y)2+ ( y − z)2+ (z − x)2= 8!và!
x3+ y3+ z3=1.!Tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!biểu!thức! P = x4+ y4+ z4.!
Theo!giả!thiết!ta!có:! x2+ y2+ z2− xy − yz − zx = 4 ⇔ (x + y + z)2−3(xy + yz + zx) = 4.!
Đặt!
t = x + y + z ⇒ xy + yz + zx =
t2−4
3 !
Và!
x
3+ y3+ z3−3xyz =1
2(x + y + z) (x − y)⎡ 2+ ( y − z)2+ (z − x)2
⎣⎢ ⎤⎦⎥ = 4(x + y + z) !
Suy!ra!
xyz=
1−4t
3 !!!!
Vì!vậy!!
!
P = (x2+ y2+ z2)2−2(x2y2+ y2z2+ z2x2)
= (x + y + z)⎡⎣⎢ 2−2(xy + yz + zx)⎤⎦⎥2−2 (xy + yz + zx)⎡⎣⎢ 2−2xyz(x + y + z)⎤⎦⎥
= t2−2.t2−4
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
2
−2 t2−4 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟
2
−2t.1−4t
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥= −
t4
9 −16t2
9 +4t
3 +32 9
.!
Vậy!để!tìm!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!ta!chỉ!cần!tìm!được!miền!giá!trị!của!t.!
Ta!có:!x,y,z!là!ba!nghiệm!của!phương!trình:!
x
3−tx2+t2−4
3 x−1−4t
3 = 0.!!
Để!phương!trình!có!ba!nghiệm!khi!hàm!số!có!cực!đại!cực!tiểu!và!giá!trị!cực!đại!và!giá!trị!cực! tiểu!trái!dấu.!
Chú)ý.)
f '(x) = 3x2−2tx + t2−4
3 = 0,Δ'x = t2−(t2−4) = 4 > 0 ⇒ x1=
t−2 3
x2=t+ 2 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
.!
Vì!vậy!ta!cần:!
f x
1 f x
2≤ 0 ⇔ f t−2
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟ f
t+ 2 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟≤ 0 ⇔
t3+ 24t +7
27 .
t3+ 24t −25
27 ≤ 0
⇔ (t3+ 24t +7)(t −1)(t2+ t + 25) ≤ 0 ⇔ t0≤ t ≤1
.!
Trong!đó! t0là!nghiệm!duy!nhất!của!phương!trình! t3+ 24t + 27 = 0(t0!−0,29064).!
Xét!hàm!số!
f (t)= −
t4
9 −16t2
9 +4t
3 +32
9 !trên!đoạn!
⎡t0;1
⎣⎢ ⎤⎦⎥ ta!có!!
Trang 8Khoá giải đề THPT Quốc Gia Môn Toán – Thầy Đặng Thành Nam – Mathlinks.vn!
8!
!
f '(t)= −
4t3
9 −32t
9 +4
3; f ''(t)=−4t2
3 −32
9 < 0.!
Vì!vậy!
f (t) ≥ min f (t{ 0); f (1)}= f (1) = 3.!
Đẳng!thức!xảy!ra!khi! (x;y;z) = (1;1;−1)hoặc!các!hoán!vị.!
Vậy!giá!trị!nhỏ!nhất!của!P!bằng!3.!!!!
Chú)ý.!Ta!có!thể!chặn!miền!giá!trị!của!t!bằng!cách!xét!bất!đẳng!thức!luôn!đúng!sau:!
⎡⎣⎢(x − y)( y − x)(z − x)⎤⎦⎥
2
≥ 0!ta!có!kết!quả!tương!tự.!
!