Khoá%giải%đề%THPT%Quốc%Gia%–%Thầy:%Đặng%Thành%Nam%
Môn:%Toán;%ĐỀ%SỐ%23/50%
Ngày%thi%:%10/04/2015%
Thời%gian%làm%bài:%180%phút,%không%kể%thời%gian%giao%đề%
Liên%hệ%đăng%ký%khoá%học%–%Hotline:%0976%266%202%–%Chi%tiết:% www.mathlinks.vn %
Câu%1%(2,0%điểm).%Cho!hàm!số!
y = 2
x x−2 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2 Cho!điểm!I(2;2).!Tìm!điểm!M!thuộc!(1)!sao!cho!tiếp!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!M!vuông!góc!với! đường!thẳng!IM.!
Câu%2%(1,0%điểm).%
a) Giải!phương!trình!
tan x−1= 2 sin(x + 3π4).!!
b) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! (1+ 2i).z = 3+i.!Tính!giá!trị!của!biểu!thức!
A = z
4
− z2+1.!
Câu%3%(0,5%điểm).!Giải!phương!trình!
log2
x +1
x = log4x2+1.!
Câu%4%(1,0%điểm).!Giải!bất!phương!trình!
x +1+ x
2+ x +1 − x2− x +1 +1
1
x − x −1.!
Câu%5%(1,0%điểm).!Tính!tích!phân!
I = ( x +1)2− x.ln x
2
3
Câu%6%(1,0%điểm).!Cho!hình!lăng!trụ!đứng!ABC.A’B’C’!có!đáy!ABC!là!tam!giác!đều!cạnh!a,!
A'B =
a 7
2 !Gọi!M,N,P!lần!lượt!là!trung!điểm!các!cạnh!A’B’,A’C’,CC’.!Tính!thể!tích!khối!lăng! trụ!ABC.A’B’C’!và!khoảng!cách!từ!điểm!A!đến!mặt!phẳng!(MNP).!!
Câu%7%(1,0%điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!đường!tròn! (C): x2+ y2=1.!Gọi!
A!là!điểm!thuộc!đường!thẳng! y−3= 0!và!B,C!lần!lượt!là!các!tiếp!điểm!của!tiếp!tuyến!kẻ!từ!A!
đến!(C).!Qua!B!kẻ!đường!thẳng!song!song!với!AC!cắt!(C)!tại!D,!AD!cắt!(C)!tại!E.!Tìm!toạ!độ! điểm!A,!biết!BE!cắt!AC!tại!điểm!I(1;2).!
Câu%8%(1,0%điểm).%Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;2;t1)!và!B(0;0;2).!
Tìm!toạ!độ!điểm!I!thoả!mãn! IA!"!= 2IB!"!.!Viết!phương!trình!đường!thẳng! Δđi!qua!I,!cắt!trục!Oz! và!vuông!góc!với!đường!thẳng!AB.!!!
Câu%9%(0,5%điểm).%Từ!một!ngân!hàng!20!câu!hỏi,!trong!đó!có!4!câu!hỏi!khó!người!ta!xây!dựng!
thành!hai!đề!thi!mỗi!đề!thi!gồm!10!câu,!và!các!câu!trong!một!đề!được!đánh!số!thứ!tự!từ!Câu!1! đến!Câu!10.!Tính!xác!suất!để!xây!dựng!được!hai!đề!thi!mà!mỗi!đề!thi!đều!gồm!2!câu!hỏi!khó.!!
Câu%10%(1,0%điểm).!Cho!a,b,c,m,n,p!là!các!số!thực!thoả!mãn! a2+ b2+ c2= m2+ n2+ p2= 9.!Tìm! giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = 9−a−2b−2c + 9−m−2n−2p + 9−am−bn−cp.!!
wwwHẾTwww%
Trang 2%
PHÂN%TÍCH%BÌNH%LUẬN%ĐÁP%ÁN%
Câu%1%(2,0%điểm).%Cho!hàm!số!
y = 2
x x−2 (1).!
1 Khảo!sát!sự!biến!thiên!và!vẽ!đồ!thị!hàm!số!(1).!
2 Cho!điểm!I(2;2).!Tìm!điểm!M!thuộc!(1)!sao!cho!tiếp!tiếp!tuyến!của!(1)!tại!M!vuông!góc!với! đường!thẳng!IM.!
1 Học!sinh!tự!giải.!
2 Gọi!
M(m; 2m m−2 ) ∈ (1),m ≠ 2,!suy!ra!hệ!số!góc!của!đường!thẳng!IM!là!
k IM=y M − y I
x M − x I =
2m
4
(m−2)2 !
+)!Hệ!số!góc!của!tiếp!tuyến!với!(1)!tại!M!là!
k = y'(m) = −4
(m−2)2.!
Theo!giả!thiết!ta!có:!
k IM k = −1⇔ −16
(m−2)4= −1⇔ (m−2)4=16 ⇔ m−2 = 2
m−2 = −2
⎡
⎣
⎢
⎢
m = 4
m = 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢ !
+)!Vậy!có!hai!điểm!M(4;4)!và!M(0;0).!!!!!
Câu%2%(1,0%điểm).%
a) Giải!phương!trình!
tan x−1= 2 sin(x + 3π4).!!
b) Cho!số!phức!z!thoả!mãn! (1+ 2i).z = 3+i.!Tính!giá!trị!của!biểu!thức!
A = z
4
− z2+1.!
a) Điều!kiện:!
cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ π2+ kπ,k ∈ !.!
Phương!trình!tương!đương!với:!
sin x−cosx
cosx = −sin x + cosx ⇔ (sin x −cosx)(cosx +1) = 0
⇔ sinx = cosx
cosx = −1
⎡
⎣
⎢
⎢
x =1
cosx = −1
⎡
⎣
⎢
⎢
x = π
4+ kπ
x = π + k2π
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!
x = π4+ kπ; x = π + k2π,k ∈ !.!!
b) !Ta!có:!
z = 3+
i
1+ 2i=
(3+i)(1−2i)
5−5i
5 =1−i ⇒ z = 2.!
Do!đó! A = ( 2)4−( 2)2+1= 4−2 +1= 3.!!
Câu%3%(0,5%điểm).!Giải!phương!trình!
log2(x +1 x ) = log4x
2+1.!
Trang 3Điều!kiện:!
x ≠ 0
x +1
x > 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ x > 0
x <−1
⎡
⎣
⎢
⎢ !Phương!trình!tương!đương!với:!
log2(x +1
x ) = log2 x + log22 ⇔ log2(x +1
x ) = log22 x ⇔ x +1
x = 2 x ⇔
x > 0
2x = x +1
x
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
x <−1
−2x = x +1
x
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔ x =1.!
Vậy!phương!trình!có!nghiệm!duy!nhất! x =1.!!
Câu%4%(1,0%điểm).!Giải!bất!phương!trình!
x +1+ x
2+ x +1 − x2− x +1 +1
1
x − x −1.!
Điều!kiện:! x > 0.!
Bất!phương!trình!tương!đương!với:!!!
x +1+ x2+ x +1 − x2− x +1 +1
1
x − x −1
(x +1)+ (x +1)2−(x +1)+1 + x +1≤ 1
x+
1
x2−1
x+1 +
1
x (1) !
Xét!hàm!số! f (t) = t + t2−t +1 + t,!ta!có:!
f '(t) =1+
1+ 2t −1
2 t2−t +1
2 t + t2−t +1
=1+ 2t −1+ 2 t2−t +1
4 t + t2−t +1 t2−t +1
> 0,!!
bởi!vì!
2t −1+ 2 t
2−t +1 = 4t2− 4t + 4 + 2t −1= (2t −1)2+ 3 + 2t −1> 2t −1 + 2t −1≥ 0.!!!!
Do!đó!f(t)!là!hàm!đồng!biến.!Vì!vậy
(1) ⇔ x +1≤ 1 x⇔
x2+ x −1
x ≤ 0 ⇔ 0 < x ≤
−1+ 5
2 (do x > 0).!! Vậy!tập!nghiệm!của!bất!phương!trình!là!
S = 0;−1+ 5
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥.!!
Bài%tập%tương%tựw%%
Giải!bất!phương!trình! x +1+ x2+ x +1 − 2x + 4x2−2x +1 ≥ x −1.!Đ/s:!
S = 1;+∞
⎡
⎣⎢ ).!!!
Câu%5%(1,0%điểm).!Tính!tích!phân!
I = ( x +1)2− x.ln x
2
3
+)!Ta!có:!!
I = ( x +1)2
x2 dx
2
3
x dx
2 3
Trang 4+)!
I1= (x +1)2
x2 dx
2
3
x+
1
x2)dx
2
3
∫ = (x + 2ln x −1
x) 3
2=
7
6+ 2ln
3
2.!
+)!
I2= ln x
x dx
2
3
∫ = ln xd(ln x)
2
3
2ln
2x 3
2=
ln23−ln22
2 !
+)!
I = I1− I2=
7
6+ 2ln
3
2−
ln23−ln22
2 !!!!
Câu%6%(1,0%điểm).!Cho!hình!lăng!trụ!đứng!ABC.A’B’C’!có!đáy!ABC!là!tam!giác!đều!cạnh!a,!
A'B =
a 7
2 !Gọi!M,N,P!lần!lượt!là!trung!điểm!các!cạnh!A’B’,A’C’,CC’.!Tính!thể!tích!khối!lăng! trụ!ABC.A’B’C’!và!khoảng!cách!từ!điểm!A!đến!mặt!phẳng!(MNP).!!
!
+)!
S ABC=
1
2AB.AC sin 60
0=a2 3
4 !!!
Tam!giác!vuông!A’AB!có:!
!
AA' = A'B
2− AB2= 7a2
4 −a
2=a 3
2 !!
+)!
V ABC.A'B'C' = AA'.S ABC=
a 3
2 .a
2 3
4 =
3a3
8 (đvtt).!
+)!Gọi!P’!là!trung!điểm!của!BB’!ta!có!PP’//B’C’//MN!nên! mặt!phẳng!(MNP)!là!mặt!phẳng!(MNPP’).!
Gọi!E,E’,L,J!lần!lượt!là!trung!điểm!của!B’C’,BC,MN,EE’!ta! có:!LJ!là!giao!tuyến!của!mặt!phẳng!(AA’E’E)!với!mặt! phẳng!(MNP).!
Đường!thẳng!AE’!cắt!LJ!tại!H,!cắt!A’E!tại!I.!
Ta!có:!BC!vuông!góc!với!mặt!phẳng!(AA’E’E)!và!PP’//BC!nên!PP’!vuông!góc!với!AI!(1).!
Mặt!khác!tam!giác!AA’E!vuông!cân!tại!A!vì!
AE = AA' =
a 3
2 ,!do!đó!AI!vuông!góc!với!A’E!(2).!! Mặt!khác!A’E//LJ!(3).!
Từ!(1),(2),(3)!suy!ra:! AI ⊥ (MNP) ⇒ AH = d(A;(MNP)).!
+)!Do!LJ!là!đường!trung!bình!của!tam!giác!A’E’E!nên!H!là!trung!điểm!của!IE’,!lại!có!I!là!trung! điểm!của!AE’!nên!
AH = 34AE ' = 34 AE
2+ EE '2=3
4
3a2
4 +
3a2
4 =
3a 6
8 !
Vậy!
d(A;(MNP)) = 3
a 6
8 !
Cách%2:!!Gọi!E!là!trung!điểm!BC,!chọn!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!sao!cho:!
A(0;0;0),E(a 32 ;0;0),B(a 32 ;−
a
2;0),C(a 32 ; a2;0),A'(0;0; a 32 ),B'(a 32 ;−
a
2; a 32 ),C '(a 32 ; a2; a 32 ).! Khi!đó!toạ!độ!M,N,P!lần!lượt!là!
M(a 34 ;−
a
4; a 32 ),N(a 34 ; a4; a 32 ),P(a 32 ; a2; a 34 ).!
Trang 5Suy!ra:!!!!
MN
! "!!
= (0;a
2;0) / /(0;1;0),MP
! "!!
= (a 3
4 ; 3a4;−
a 3
4 ) / /(1; 3;−1),!và!véc!tơ!pháp!tuyến!của! (MNP)!là!
n (MNP)
!!!!!"
3 −1 ; 0 0−1 1 ; 0 1
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟= (−1;0;−1).!!
Vì!vậy!phương!trình!mặt!phẳng!(MNP)!là!
x + z− 3
a 3
4 = 0.!
Ta!có:!
d(A;(MNP)) =
−3a 3
4
3a 6
8 !!!!
Câu%7%(1,0%điểm).!Trong!mặt!phẳng!với!trục!toạ!độ!Oxy!cho!đường!tròn! (C): x2+ y2=1.!Gọi!
A!là!điểm!thuộc!đường!thẳng! y−3= 0!và!B,C!lần!lượt!là!các!tiếp!điểm!của!tiếp!tuyến!kẻ!từ!A!
đến!(C).!Qua!B!kẻ!đường!thẳng!song!song!với!AC!cắt!(C)!tại!D,!AD!cắt!(C)!tại!E.!Tìm!toạ!độ! điểm!A,!biết!BE!cắt!AC!tại!điểm!I(1;2).!
!
Đường!tròn!(C)!có!tâm!là!gốc!toạ!độ!O(0;0),!bán!kính! bằng!1.!
Phát%hiện%tính%chất%hình%học:%
Ta!có!I!là!trung!điểm!AC!
Chứng&minh.&
IC!là!tiếp!tuyến!của!đường!tròn!(C)!nên! IC2= IE.IB (1).! Theo!tính!chất!góc!nôị!tiếp!và!góc!tạo!bởi!tiếp!tuyến!và! dây!cung!ta!có:!
!
EBA
! = BDA!
BDA
! = EAI !(so le)
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪ ⇒ EBA ! = EAI! !
Do!đó!tam!giác!IBA!đồng!dạng!với!tam!giác!IAE(g.g).!! +)!Suy!ra:!
IA
IE =IB
IA ⇒ IA2= IB.IE (2).!
Từ!(1)!và!(2)!suy!ra:! IA = IC !,!hay!I!là!trung!điểm!AC.!
+)!Gọi!A(a;3)!thuộc!đường!thẳng! y−3= 0,!do!I!là!trung!điểm!AC!nên!C(2ta;1).!
Mặt!khác:! OC2=1 ⇔ (2−a)2+1=1 ⇔ a = 2 ⇒ A(2;3).!
Kết%luận:!Vậy!A(2;3)!là!điểm!cần!tìm.!!!
Bình%luận:!Ta!có!thể!chứng!minh!I!là!trung!điểm!AC!như!sau:!
Kẻ!tiếp!tuyến!!với!(C)!tại!D,!cắt!AC!tại!M.!Hình!thang!ABDM!có! DBA ! = BDM! !nên!là!hình!
thang!cân.!Suy!ra:! BAI ! = M" và!C!là!trung!điểm!của!AM.!
Gọi!K!là!trung!điểm!của!AD,!ta!có!CK!là!đường!trung!bình!của!tam!giác!ADM!nên!
!
CK =
MD
2 =AB
2 =AC
2 !
Tam!giác!ABI!và!CAK!có! AB = AC,ABI ! =CAK !,BAI ! = ACK! nên!bằng!nhau.!
Trang 6Do!đó! AI =CK ,!vì!vậy!
AI =
AC
2 ⇒ I !là!trung!điểm!của!AC.!
Câu%8%(1,0%điểm).%Trong!không!gian!với!hệ!trục!toạ!độ!Oxyz!cho!hai!điểm!A(1;2;t1)!và!B(0;0;2).!
Tìm!toạ!độ!điểm!I!thoả!mãn! IA!"!= 2IB!"!.!Viết!phương!trình!đường!thẳng! Δđi!qua!I,!cắt!trục!Oz! và!vuông!góc!với!đường!thẳng!AB.!!!
+)!Vì! IA!"!= 2IB!"!nên!B!là!trung!điểm!của!IA,!do!đó!I(t1;t2;5).!
+)!Giả!sử!đường!thẳng! Δcắt!trục!Oz!tại!điểm!M(0;0;t),!ta!có:! IM! "! = (1;2;t −5).!
Đường!thẳng!AB!có!véc!tơ!chỉ!phương! AB! "! = (−1;−2;3).!
Do!AB!và!! Δvuông!góc!nên:!!
−1.1−2.2 + 3(t −5) = 0 ⇔ 3t −10 = 0 ⇔ t =
10
3 ⇒ IM
! "!
= (1;2;−5
3) / /(3;6;−5).!
+)!Đường!thẳng! Δđi!qua!I!và!có!véc!tơ!chỉ!phương!(3;6;t5)!nên!có!phương!trình!là:!
Δ :
x +1
3 =
y + 2
6 =
z−5
−5 !
Câu%9%(0,5%điểm).%Từ!một!ngân!hàng!20!câu!hỏi,!trong!đó!có!4!câu!hỏi!khó!người!ta!xây!dựng!
thành!hai!đề!thi!mỗi!đề!thi!gồm!10!câu,!và!các!câu!trong!một!đề!được!đánh!số!thứ!tự!từ!Câu!1! đến!Câu!10.!Tính!xác!suất!để!xây!dựng!được!hai!đề!thi!mà!mỗi!đề!thi!đều!gồm!2!câu!hỏi!khó.! Không!gian!mẫu!là!số!cách!xây!dựng!hai!đề!thi!mỗi!đề!thi!gồm!10!câu!được!chọn!ra!từ!ngân! hàng!20!câu!hỏi.!
+!Chọn!ra!10!câu!hỏi!cho!đề!thứ!nhất,!sau!đó!sắp!xếp!theo!thứ!tự!từ!câu!1!đến!câu!10!có!
C20
10.10!!cách.!
+!10!câu!còn!lại!lấy!làm!đề!thứ!hai,!và!sắp!xếp!theo!thứ!tự!từ!câu!1!đến!câu!10!có!10!!cách.! Vậy!không!gian!mẫu!
Ω = C20
10.10!.10!= (10!)2.C2010.!
+)!Gọi!A!là!biến!cố!xây!dựng!được!hai!đề!thi!mỗi!đề!gồm!2!câu!hỏi!khó.!
+!Chọn!ra!2!câu!hỏi!khó!trong!4!câu,!và!8!câu!hỏi!dễ!trong!16!câu!cho!đề!thứ!nhất,!sau!đó!sắp! xếp!10!câu!này!theo!thứ!tự!từ!câu!1!đến!câu!10!có! C42.C168.10!cách.!
+!10!câu!còn!lại!lấy!làm!đề!thứ!hai,!và!sắp!xếp!theo!thứ!tự!từ!câu!1!đến!câu!10!có!10!!cách.! Vậy!số!phần!tử!của!biến!cố!A!là!
ΩA = C42.C168.10!.10!= (10!)2.C42.C168 !
Vậy!xác!suất!cần!tính!
P(A) = ΩA
Ω =
(10!)2.C42.C168 (10!)2.C2010 =135
323.!!!!
Câu%10%(1,0%điểm).!Cho!a,b,c,m,n,p!là!các!số!thực!thoả!mãn! a2+ b2+ c2= m2+ n2+ p2= 9.!Tìm! giá!trị!lớn!nhất!của!biểu!thức! P = 9−a−2b−2c + 9−m−2n−2p + 9−am−bn−cp.!!
Ta!có:!
P = (
a−1)2+ (b−2)2+ (c−2)2
(m−1)2+ (n−2)2+ (p−2)2
(a−m)2+ (b− n)2+ (c− p)2
Trang 7+)!Trong!không!gian!Oxyz,!xét!ba!điểm!A(a;b;c),!B(m;n;p),!C(1;2;2),!ta!có!A,B,C!cùng!thuộc! mặt!cầu!(S)!có!phương!trình: x2+ y2+ z2= 9,!bán!kính! R = 3.!!
Và!
P = 1
2(AB + BC +CA),!ta!gọi!(P)!là!mặt!phẳng!chứa!tam!giác!ABC.!Khi!đó!(P)!cắt!(S)!theo! giao!tuyến!mà!một!đường!tròn!bán!kính! R' = R2−d2(O;(P)) ≤ R.!!!
+)!Ta!có:!
AB + BC +CA ≤ 3 3R'≤ 3 3R = 9 3 ⇒ P ≤ 9 62 !
Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi!tam!giác!ABC!đều!và!O!là!trọng!tâm!của!tam!giác!ABC.!!
Do!luôn!có!mặt!phẳng!(P)!đi!qua!O,C!và!(P)!cắt!(S)!theo!giao!tuyến!là!một!đường!tròn!(C),! trên!(C)!luôn!tìm!được!hai!điểm!A,B!để!tam!giác!ABC!nên!dấu!bằng!xảy!ra.!!
Vậy!giá!trị!lớn!nhất!của!P!bằng!9 6
2 !!!!
Bình%luận:%Có!thể!cụ!thể!hoá!dấu!bằng!như!sau:!
a2+ b2+ c2= 9
(a−1)2+ (b−2)2+ (c−2)2= 27
m2+ n2+ p2= 9
(m−1)2+ (n−2)2+ (p−2)2= 27
a + m+1
b + n+ 2
c+ p + 2
3 = 0
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
.!
+)!Lời!giải!trên!đã!sử!bài!toán!cực!trị!hình!học!sau:!
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cho trước có chu vi lớn nhất khi ABC là tam giác đều
Chứng minh
Gọi R là bán kính đường tròn, theo định lý hàm số Sin ta có:
BC = 2Rsin A,CA = 2Rsin B,AB = 2RsinC
Vì vậy chu vi tam giác ABC là P = 2R(sin A +sin B +sinC) (1),
Mặt khác:
sin A +sin B +sinC = 2sin A + B
2 cos A− B2 + 2sin
C
2cosC2≤ 2cos
C
2 1+sin
C
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟ (2) Sử!dụng!bất!đẳng!thức!AM!–GM!cho!ba!số!thực!không!âm!ta!có:!
2cosC
2 1+sin
C
2
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟= 2 2cos2C2(1+sinC2)(1+sinC2) ≤ 2.
2cos2C
2+1+ sin
C
2+1+ sin
C
2 3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
3
= 2
9
2−2(sin
C
2−
1
2) 2
3
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
3
≤ 2 (3
2)
3=3 3
2 (3)
.!!
Từ (1),(2),(3) ta có: P ≤ 3 3R Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
A = B
sin C
2=
1 2
⎧
⎨
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⇔ A = B = C = 600
Trang 8Cách&2:!Sử!dụng!bất!đẳng!thức!Cauchy!–Schwarz!ta!có!!
P = 1
2(AB + BC +CA) ≤ 32(AB
2+ BC2+CA2)
= 3
2 (OB
! "!
−OA! "! )2+ (OC! "!!−OB! "! )2+ (OA! "! −OC! "!!)2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
= 3
2(6R
2−2(OA! "! .OB! "! +OC! "!!.OB! "! +OA! "! .OC! "!!)
.!
+)!Mặt!khác!gọi!G!là!trọng!tâm!tam!giác!ABC!ta!có!
!
OA! "! +OB! "! +OC! "!!= 3OG! "!!⇒ (OA! "! +OB! "! +OC! "!!)2= 9OG2
⇔ 3R2+ 2(OA! "! .OB! "! +OC! "!!.OB! "! +OA! "! .OC! "!!) = 9OG2
⇒ 2(OA! "! .OB! "! +OC! "!!.OB! "! +OA! "! .OC! "!!) = 9OG2−3R2
.!
Vì!vậy!
P ≤ 32(6R
2−(9OG2−3R2)) = 27R2
2 −
27OG2
27R2
2 =
9 6
2 !
Dấu!bằng!xảy!ra!khi!và!chỉ!khi!
O ≡ G
AB = BC = CA
⎧
⎨
⎪⎪
Bài%tập%tương%tự%w%
Bài số 01 Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a2+ b2= c2+ d2=10 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 10−a−3b + 10−c−3d + 10−ac−bd Đ/s: Pmax= 3 15
Bài số 02 Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a2+ b2= c2+ d2= 25 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = 25−3a−4b + 25−3c−4d + 25−ac−bd Đ/s:
Pmax=
15 6
2
!