đề toán thi thử năm 2015 trường cà mau

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số C.. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực nhật.. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.. Viết phương trình m

SỞ GD&ĐT CÀ MAU

TRƯỜNG THPT CÀ MAU

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

Môn : TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút ,không kể thời gian giao đề

Câu 1( 2,0 điểm) Cho hàm số y=−x3 +3x+1 (C).

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C).

b/ Dựa vào đồ thị (C), tìm tất cả các giá trị của m để phương trình

0 3 3

3 − x+m− =

Câu 2(1,0 điểm)

3 1 2 1 3

2− i z+ − i = − i trên tập số phức

b/ Giải phương trình sin2x+1=6sinx+cos2x

Câu 3(1,0 điểm) Tính tích phân

1 2 0

I =∫x x +e dx.

Câu 4(1,0 điểm)

a/ Giải phương trình : log log 22 x 3( x − = 1 ) 2 log2 x

b/ Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh

để làm trực nhật Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ.

Câu 5(1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(−4;1;3) và

d + = − = +

− Viết phương trình mặt phẳng ( )P đi qua A và

vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm Bthuộc dsao cho AB= 27.

Câu 6(1,0 điểm).Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB AC a= = ,

I là trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm Hcủa BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy 1 góc bằng 60o Tính thể tích khối chóp S ABC và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a.

Câu 7(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cóA( )1; 4 , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân giác trong của ·ADBcó phương trình x y− + =2 0 , điểm M(− 4;1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB.

Câu 8(1,0 điểm) Giải phương trình

2

2







Câu 9(1,0 điểm) Cho a b c, , là các số dương và a b c+ + =3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

a bc b ca c ab

=

ĐÁP ÁN

1 a.(1,0 điểm)

Hàm số : y= − + +x3 3x 1

TXĐ: D R=

2

y = − x + , ' 0y = ⇔ = ±x 1

0.25

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 1) và (1;+∞), đồng biến trên khoảng (−1;1)

Hàm số đạt cực đại tại x=1, y CD =3, đạt cực tiểu tại x= −1, y CT = −1

lim

→+∞ = −∞, lim

0.25

* Bảng biến thiên

x –∞ -1 1 +∞

y’ + 0 – 0 +

y +∞ 3

-1 -∞

0.25 Đồ thị:

4

2

2

4

0.25

b.(1,0 điểm)

• Ta có : x3−3x+m−3=0⇔m−2=−x3 +3x+1( )*

0.25

• Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

1 3

3 + +

−

• Dựa vào đồ thị (C), ta suy ra phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt ⇔1<m<5

KL đúng tham số m

0.25 0.25

2 (1,0 điểm)

a,(0,5điểm)

Thu gọn: (2 3) 9 4 9 4

2 3

i

i

− −

6 35

13 13

b,(0,5điểm) sin 2x+ =1 6sinx+cos 2x

sin 0

sin cos 3( )

x

=



⇔  + = ⇔ x k= π Vậy nghiệm của PT là x k k Z= π, ∈ 0 25

3

(1,0 điểm)

2

3

du dx

u x

x

dv x e dx v e

=



=

0

1 0

I =x +e  −  +e dx

+

0

x

x

0.25 0.25

4 (1,0 điểm)

a,(0,5điểm) Đk: 1

2

x>

Pt đã cho⇔   log 23( x − − 1 ) 2 log   2 x = 0 23( )

x x

=





1

x x

=



⇔  − =

0.25

1 5

x

x

=



b,(0,5điểm)

11 165

Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 2

5 6 5 6 135

C C +C C =

Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 9

5 (1,0 điểm)

Đường thẳng d có VTCP là uuurd = −( 2;1;3)

Vì ( )P ⊥d nên ( )P nhận uuurd = −( 2;1;3) làm VTPT 0.25 Vậy PT mặt phẳng ( )P là : −2(x+ +4) (1 y− +1) (3 z− =3) 0

⇔ − + + − =2x y 3z 18 0 0.25

Vì B d∈ nên B(− −1 2 ;1 ; 3 3t + − +t t)

27

⇔ = ⇔ − + + − + = ⇔7t2−24t+ =9 0

0.25

3 3 7

t

t

=





⇔

 =



Vậy B(−7; 4;6) hoặc 13 10; ; 12

B− − 

0.25

6 (1,0 điểm)

j

A

S

H K M

Gọi K là trung điểm của AB ⇒HK ⊥AB(1)

Vì SH ⊥(ABC) nên SH ⊥ AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra ⇒AB⊥SK

Do đó góc giữa (SAB)với đáy bằng góc giữa SK và HK và bằng SKH· =60o

2

a

SH =HK SKH =

0.25

a

Vì IH / /SB nên IH / /(SAB Do đó ) d I SAB( ,( ) ) =d H SAB( ,( ) )

Từ H kẻ HM ⊥SK tại M ⇒HM ⊥(SAB) ⇒d H SAB( ,( ) ) =HM 0.25

Ta có 1 2 1 2 12 162

3

4

a HM

,

4

a

7 (1,0 điểm)

K C

A

D

M M' E

Gọi AI là phan giác trong của ·BAC

Ta có : ·AID ABC BAI=· +· ·IAD CAD CAI=· +·

Mà ·BAI CAI= · , ·ABC CAD=· nên ·AID IAD=·

⇒ DAI∆ cân tại D ⇒DE⊥ AI

0,25

PT đường thẳng AI là : x y+ − =5 0

0,25

Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI ⇒ PT đường thẳng MM’ : x y− + =5 0

VTCP của đường thẳng AB là uuuuurAM'=( )3;5 ⇒VTPT của đường thẳng AB là nr=(5; 3− )

Vậy PT đường thẳng AB là: 5(x− −1) (3 y− =4) 0 ⇔5x−3y+ =7 0 0,25

(1,0 điểm)

2

2







Đk:

2

2

0

1 0

xy x y y

y x y

 + − − ≥



− − ≥



 − ≥



Ta có (1)⇔ − +x y 3 (x y y− ) ( + −1) 4(y+ =1) 0

Đặt u= x y v− , = y+1 (u≥0,v≥0)

Khi đó (1) trở thành : u2+3uv−4v2 =0⇔  = −u v u= 4 ( )v vn

0.25

Với u v= ta có x=2y+1, thay vào (2) ta được : 4y2−2y− +3 y− =1 2y

2

0.25

2

0

1 1

y

− +

1 1

y

y

− +

0.25

2

y

1 1

− +

Với y=2 thì x=5 Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là ( )5; 2

0.25

9 (1,0 điểm)

Vì a + b + c = 3 ta có

a bc = a a b c bc = a b a c

2

bc

a b a c

a b a c+ ≥ a b a c + + + + , dấu đẳng thức xảy ra⇔b = c

0,25

2 3

b a b c

b ca

2 3

c a c b

c ab

bc ca ab bc ab ca a b c

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy max P = 3

2 khi a = b = c = 1.

0,25