Tính thể tích của khối lăng trụ theo a và cosin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng '' A BC.. Câu 7 1 điểm: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I.. Chứng
Trang 1ĐỀ TỰ LUYỆN THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014- 2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1* (2,0 điểm) Cho hàm số y x= −3 3mx2+4m2−2 (1), m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m=1
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB.
Câu 2* (1,0 điểm):
a Giải phương trình: 2sinx− =1 cosx−sin 2 x
b Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: 2 z i− = − +z z 2i
Câu 3* (0,5 điểm):Cho các số thực ,a b thỏa mãn: 0 1
a b
< ≠
< ≠
Tính giá trị của biểu thức
2( ) 3 ( )
loga log a a log b
b
−
Câu 4: ( 1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
− +
= + +
−
− +
=
−
−
−
2 2
2 3
2 2
2 3
2 1
3
2 1
3
y xy x
y yx y
x xy y
x xy x
Câu 5*: (1,0 điểm) Tính tích phân: ∫
= 0
2
1(x 1) 3 2x x2
dx I
Câu 6 (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a= ,
· 60 0
ABC= Góc giữa đường thẳng A C' và mặt phẳng (ABC bằng ) 0
45 Tính thể tích của khối lăng
trụ theo a và cosin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng ( '' A BC )
Câu 7 (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I Trung điểm
cạnh AB là M(0;3), trung điểm đoạn CI là (1;0) J Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh D
thuộc đường thẳng :∆ − + =x y 1 0
Câu 8* (1 điểm): Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I và diện tích bằng 100 π Khoảng cách từ
I đến (P) bằng 3 Chứng minh rằng (P) cắt (S) theo một đường tròn, tính diện tích hình tròn đó.
Câu 9* (0,5 điểm): Trong không gian cho n điểm phân biệt ( n∈¥,n≥4), trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng Tìm ,n biết rằng số tứ diện có đỉnh là 4 trong n điểm đã cho nhiều gấp 4 lần số tam
giác có đỉnh là 3 trong n điểm đã cho.
Câu 10 (1 điểm): Cho các số thực dương ,x y thỏa mãn 3 ln 1 9 3 3
3
x y
xy
+ + + = − − Tìm giá trị lớn
M
y x x y x y x y
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Trang 2Họ và tên thí sinh:……….……….…….….….; Số báo danh:………
TRƯỜNG THPT THUẬN
THÀNH SỐ 2
(Hướng dẫn chấm có 4 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM KTCL ÔN THI THPTQG
Môn: TOÁN
1 a 1,0 điểm
Khi m=1 hàm số trở thành 3 2
3 2
y x= − x +
* Tập xác định:
* Chiều biến thiên: Ta có 2
' 3 6 ;
y = x − x
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; + ∞);nghịch biến trên
( )0; 2
0.25
* Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x= ⇒0 y CĐ =2, hàm số đạt cực tiểu tại
2 CT 2
x= ⇒y = −
* Giới hạn: Ta có = −∞
−∞
→ y
xlim và lim = +∞.
+∞
→ y
x
0.25
* Bảng biến thiên:
0.25
6
4
2
-2
-4
y
− Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt Ox tại điểm (1; 0), (1± 3; 0)
0.25
b 1,0 điểm
Ta có y' 3= x2−6mx
2
x
=
Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị khi và chỉ khi ' 0y = có hai nghiệm phân biệt
0
m
0.25
Tọa độ các điểm cực trị là A(0; 4m2−2), (2 ; 4B m − m3+4m2−2) 0.25
x
'
y
y
0
∞
2
∞
−
∞
+
2
−
Trang 3Điểm I (1; 0) là trung điểm của đoạn AB khi và chỉ khi 13 2
m
=
Giải hệ, ta được m=1 Vậy m=1 là giá trị cần tìm 0.25
2sinx 1 cosx 2sin cos x x
cos 1 2sin 1 cos (1 2sin ) 1
sin
2
x
x
= −
=
0.25
-Với cosx= − ⇒ = +1 x π k2 ,π k∈¢
-Với
2
5 2
2 6
= +
= +
b 0.5 điểm
Gọi z = x + yi (x, y ∈ ¡ )
Ta có: 2z i− = − +z z 2i
2 x + −y 1 = 2 2+ y
4
a
b
−
1
a
b
−
5
loga a b loga a 6logb b
b
2
loga a b.a 6 loga a 6 1
b
4 Từ (1) và (2) ta có
i y xy x
x xy y
i y yx y
x xy
x3 −3 2 − −1−( 3 −3 2 + +1) = 2 +2 − 2 −( 2 +2 − 2) 0.25
) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( 3
⇔
) 2
)(
1 ( 1 ) ( ) (x+yi 3 − x+ yi − −i= +i y2 − xyi+i2x2
2
) (x+yi − x+ yi − −i= +i y−ix
0.25
i z
z
z= =− =− −
Do đó (x;y) = (1;0); (-1;0); (-1;-1) 0.25
Trang 4∫
= 0
2
1(x 1) 3 2x x2
dx
0
2
1( 1) ( 1)( 3)
1
=
0.25
dx x
x x
∫
−
+
+
− +
0
2
1
3 )
1 (
1
0.25
Đặt
1
3 1
3 2
+
+
−
=
⇒ +
+
−
=
x
x t
x
x
x
) 1 (
4 2
+
−
=
⇒
0.25
) 3 7 ( 2
1 2
1 3 7
−
=
−
=
I A'
A
B'
B
C'
C H
K
Theo giả thiết, ta có ·
0
cos 60
a
AB BC= ABC⇒BC= = a⇒AC= a Góc giữa
'
A C và (ABC) là · A CA ' = 450 ⇒ AA ' = AC = 3 a
0.25
Vậy thể tích khối lăng trụ là
3
a
V = AA AB AC = 0.25
Gọi I là tâm hình chữ nhật ABB’A’, H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, K là
hình chiếu vuông góc của A trên A’H Ta có
'
BC AH
BC AK
BC A A
⊥
⊥
AK ⊥ A BC Vậy IK là hình chiếu của IA lên ( ' A BC ), hay góc giữa AB’ và mặt
phẳng ( ' A BC ) là ·AIK
0.25
Dễ thấy AB'= AA'2+A B' '2 =2a⇒IA a= Ứng dụng hệ thức trong tam giác
vuông, ta có
AK = AA + AH = AA + AB + AC = a Suy ra 3
5
a
AK =
Xét tam giác vuông AKI ta có sin· 3 cos· 2.
AK
AI
0.25
Trang 5
H
N
M
I
D
C J
Gọi N là trung điểm CD và H là tâm hình chữ nhật AMND Gọi (C) là đường tròn
ngoại tiếp hình chữ nhật AMND Từ giả thiết, suy ra NJ//DI, do đó NJ vuông góc với
AC, hay J thuộc (C) (vì AN là đường kính của (C)) Mà MD cũng là đường kính của
(C) nên JM vuông góc với JD (1)
0.25
D thuộc ∆ nên D t t ( ; + ⇒ 1) JD t uuur ( − 1; t + 1), uuur JM ( 1;3) − Theo (1)
JD JM = ⇔ − + + + = ⇒ = − ⇒ t t t D − −
uuuruuur
Gọi a là cạnh hình vuông ABCD Dễ thấy
2 2
4
a
DM = = a + ⇒ = a Gọi A x y ( ; ). Vì
2; 3
- Với ( 2;3)A − ⇒B(2;3)⇒I(0;1)⇒C(2; 1)− ⇒J(1;0)(thỏa mãn)
0.25
- Với
A ⇒B− ⇒I− ⇒C− ⇒J −
Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là ( 2;3), (2;3), (2; 1), ( 2; 1).A − B C − D − −
(Học sinh lấy cả 2 nghiệm, trừ 0.25 điểm)
0.25
8 ( 1 điểm)
Theo công thức tính diện tích mặt cầu, ta có Smc = 4 π R2 = 100 π ⇒ = R 5. 0.25
Vì d I P ( ,( )) 3 = < R nên (P) cắt (S) theo một đường tròn (C). 0.25
Gọi H, r thứ tự là tâm và bán kính đường tròn (C), ta có
Vậy diện tích hình tròn (C) là: S = π r2 = 16 π 0.25
Số tứ diện có đỉnh là 4 trong n điểm đã cho là C , số tam giác có đỉnh là 3 trong n n4
điểm đã cho là 3
n
Theo giả thiết, ta có
n n
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
0.25
Từ giả thiết ta suy ra ln(x y+ + +1) 3(x y+ + =1) ln(3 ) 3.3xy + xy Xét hàm số 0.25
Trang 6( ) ln 3
g t = t+ t trên (0;+∞), ta có g t'( ) 1 3 0
t
= + > với ∀ >t 0, suy ra ( )g t đồng biến
trên (0;+∞), từ đó (g x y+ + =1) g xy(3 )⇔ + + =x y 1 3xy (*)
Theo (*) ta có 3 xy − = + ≥ 1 x y 2 xy Đặt t xy = ⇒ − 3 t 2 t − ≥ ⇒ ≥ 1 0 t 1.
2
.
0.25
4
Theo Cô si 1 1 12
2
x y ≤ xy ≤
+ (4) Từ (2), (3), (4) ta có 2
5 1 1
t M
t
−
0.25
Xét hàm số ( ) 5 12
4
t
f t
t
−
= trên [1;+ ) ∞ , ta có
2
5.4 (5 1)8 2 5
bởi vậy max [1; )
3
2
+∞
0.25
Hết
