a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’, BC’.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
KỲ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề có 01 trang)
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y f x( ) x3 6x29x2, có đồ thị là (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ thỏa mãn
''( ) 18
f x
Câu 2 (1,0 điểm)
x x
Tính giá trị của sin x 6
b) Giải phương trình
2 2
4x x 3.2x x 4 0 (x )
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Tìm môđun của số phức z , biết rằng (1 2 ) 9 7 5 2
3
i
i
b) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 4
10 2
2 3
2
x
x
, với x0
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
1
e
x
Câu 5 (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
2 ,
BC a ABa và mặt bên BB’C’C là hình vuông Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’, BC’
Câu 6 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Biết điểm A có
tung độ dương, đường thẳng AB có phương trình 3 x4y180, điểm 21; 1
4
M
thuộc
cạnh BC, đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại N thỏa mãn BM.DN = 25 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
Câu 7 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2;1) , đường thẳng
x y z
và mặt phẳng (P): x2y z 3 0 Viết phương trình mặt phẳng qua
điểm A, song song với đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P)
Câu 8 (1,0 điểm) Giải bất phương trình 4x2 3 6x 1 4x215 (x )
Câu 9 (1,0 điểm) Cho các số thực không m , ,x y z thỏa mãn x y z và x2y2z2 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA 2xy 8yz 5zx 10
x y z
-HẾT -
Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh………Số báo danh………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
(2,0
điểm)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x3 6x29x2 1,0 điểm
* Tập xác định D
* y' 3x212x9, 1
' 0
3
x y
x
0,25
* Giới hạn: lim , lim
x y x y
* Bảng biến thiên:
x 1 3
y’ - 0 + 0 -
y
2 -2
0,25
* Kết luận:
- Hàm số nghịch biến trên các khoảng (;1) và (3;); đồng biến trên khoảng
(1;3)
- Hàm số đạt cực đại tại x = 3, y CĐ = 2; đạt cực tiểu tại x =1, y CT = - 2
0,25
* Đồ thị:
0,25
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ thỏa mãn
''( ) 18
Ta có: f x'( ) 3x212x 9 f ''( )x 6x 12 0,25 Theo giả thiết thì f ''( ) 18x x 1 y 18 0,25
2
Vậy phương trình tiếp tuyến là: y 24(x 1) 18 hay y 24x6 0,25
Câu 2
x x
Tính sin x 6
25 25
x x Vì 3
2
nên
4 sin
5
Khi đó: sinx sin cosx sin cosx
y
x
3
-2
2
2
Trang 3Giải phương trình: 2 2
4x x 3.2x x 4 0 (*) 0,5 điểm Phương trình (*) có thể viết lại là: 2( 2 2 ) 2 2
2 x x 3.2x x 4 0 Đặt 2 2
2x x( 0)
t t Phương trình (*) trở thành 2 1
4
t
t
0,25
So với điều kiện thì t = 1 thỏa, khi đó 2 2 2 0
2
x
Câu 3
(1,0
điểm)
a) Tìm z , biết rằng (1 2 ) 9 7 5 2
3
i
i
3
i
i
0,25 7
1 3
1 2
i
i
b) Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển Niu-tơn của 4
10 2
2 3
2
x
x
Số hạng tổng quát có dạng là 10 20 8
2
k
k
x
Theo giả thiết, số hạng tổng quát chứa 4
x khi và chỉ khi 20 8 4 6
Vậy hệ số của số hạng chứa 4
x là: aC106( 2) 6 13440 0,25
Câu 4
(1,0
điểm)
Tính tích phân
1
e
x
ln 1 2
e e
x
x
1
e
e
* 2
1
ln 1
e x
x
, đặt t lnx 1 dt 1dx
x
;
x 1 t 1;x e t 2
0,25
2
2
3
t
Câu 5
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
2 ,
BC a ABa và mặt bên BB’C’C là hình vuông Tính theo a thể tích của
khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’, BC’
1,0 điểm
Trang 4(1,0
điểm) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên
3
AC BC AB a
2
ABC
a
S AB AC
0,25
Vì BB’C’C là hình vuông nên BB'BC2a
Vậy
2
3 ' ' '
3
2
ABC A B C ABC
a
Vì AA’ // BB’ nên AA’//(BB’C’C) Do đó
( ', ') ( ',( ' ' )) ( ,( ' ' ))
d AA BC d AA BB C C d A BB C C
Dựng AH BC (H thuộc BC) Khi đó AH BC và AH BB’
suy ra AH (BB’C’C) Suy ra ( ,( d A BB C C' ' )) AH
0,25
2
AB AC a
AH BC AB AC AH
BC
2
a
d AA BC
0,25
Câu 6
(1,0
điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Biết điểm A có
tung độ dương, đường thẳng AB có phương trình 3 x4y180, điểm
21
; 1 4
M
thuộc cạnh BC, đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại N thỏa
mãn BM.DN = 25 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
1,0 điểm
Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AB nên
BC: 4 x3y240 Khi đó, tọa độ B là nghiệm
B
Ta thấy các tam giác sau đồng dạng với nhau: MBA MCN ADN
Suy ra MB MC AD MB ND AB AD
Suy ra 25 AB2 hay cạnh của hình vuông bằng 5
Gọi (4A a 6; 3 )a AB, khi đó 2 2 2 1
1
a
a
0,25
B'
C'
A
B
C A'
H
N C
B A
D
M
Trang 5Phương trình đường thẳng CD có dạng là 3 x4y m 0(m 18)
Vì cạnh hình vuông bằng 5 nên ( , ) 18 5 7
43 5
m m
d B CD
m
* Với m7, pt CD: 3x4y 7 0, khi đó tọa độ C là nghiệm của hệ
(3; 4)
C
* Với m 43, pt CD: 3x4y430, khi đó tọa độ C là nghiệm của hệ
(9; 4)
C
0,25
Câu 7
(1,0
điểm)
Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm A, song song với đường thẳng d và
n( )P (1; 2; 1) là VTPT của mặt phẳng (P) 0,25 Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm, theo giả thiết thì [u n d, ( )P ](0; 2;4) là VTPT
Phương trình mp(Q): 0( x 2) 2(y 2) 4(z 1) 0
Câu 8
(1,0
điểm)
ĐK: x Với điều kiện này thì bất phương trình đã cho tương đương
x
x
Ta có :
1
6
Vì 4x2 3 2 4 4x215 nên
0
Do đó
0,25
Trang 6Khi đó
2
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là 1
2
x
0,25
Câu 9
1,0 điểm
Cho các số thực không m , ,x y z thỏa mãn x y z và x2 y2z2 3 Tìm
giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcA 2xy 8yz 5zx 10
x y z
1,0 điểm
x y z
2
2
2
0,25
Đặt t x y z
t
0,25
t hàm số : 2 10
t
trên D[ 3;3], f t'( ) 2t 102 2t3 210 0, t D
( )
f t
luôn đồng biến trên D min ( ) ( 3) 10
3
D
, dấu đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
( 2 ) 0
3
Giá trị nhỏ nhất của A là 10
3 , đạt được khi y z 0,x 3
0,25
t hàm số : 2 10
t
trên D[ 3;3],g t'( ) 4t 102 4t3 210 0, t D
( )
g t
luôn đồng biến trên D max ( ) (3) 55
3
D
, dấu đẳng thức xảy ra khi
và chỉ khi
3
Vậy giá trị lớn nhất của A là 55
3 , đạt được khi x y z 1
0,25
i cách giải khác đ ng đ u được đi m tối đa c a ph n đ
* i m toàn ài được làm tr n theo qui định