TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN Môn: TOÁNThời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 2,0 điểm.. Viết phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng ∆ , vuông góc với mặt phẳng Oxy và
Trang 1TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = − − x4 x2 + 2
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng x 6y 3 + + = 0
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình: cos x - sin x + cosx4 4 = 2
b) Giải phương trình: 24x + 12x = 6x 1 + .
Câu 3 (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2 − 2x , đường thẳng y = − x 2 và trục tung.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức w = + 3 4i Tìm số phức z biết zw+ w = w
(3x - 4) a a x a x a x (n ∈ N, n ≥ 5) Tìm hệ số a biết 5 + + 2 + + n =
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
−
:
1 2 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ , vuông góc với mặt phẳng (Oxy) và viết phương trình đường thẳng ∆ ' là hình chiếu vuông góc của ∆ lên mặt phẳng (Oxy).
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính theo a thể tích hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có
tâm I(1;1), hai đường thẳng AB và CD lần lượt đi qua các điểm M(-2;2) và N(2;-2) Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết C có tung độ âm.
Câu 8 (1,0 điểm) Giải phương trình: 1 3 1 3x 2x (x R)
2
Câu 9 (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình
có nghiệm thực.
Trang 2Hết
SỞ GD&ĐT THANH HOÁ
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề
1a
(1,0)
a) y = − − x4 x2 + 2
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
- Giới hạn: limx→−∞y= −∞; limx→+∞y= −∞.
0,25
- Bảng biến thiên: y'= −4x3−2x
' 0y = ⇔ =x 0
0,25
- Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0); nghịch biến trên khoảng (0; + ∞)
- Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y CD = y(0) 2= 0,25
* Đồ thị:
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; 2) ,
cắt trục hoành tại (-1 ;0) và (1;0)
- Đồ thị nhận tục tung làm trục đối
xứng
-3 -2 -1 1 2 3
-4 -2
2
x y
O
0,25
1b
Suy ra tiếp tuyến cú hệ số gúc k = 6
0,25
Gọi tiếp điểm là M(x0;y0) thỡ y’(x0) = 6 ⇔ − 3 − = ⇔ = −
x y’
y
2
∞
−
0
∞
−
∞
−
Trang 3(0,5)
Ta có: cos x - sin x + cosx4 4 = 2
⇔ (cos x sin x)(cos x - sin x) + cosx = 22 + 2 2 2
⇔ cos2x+ cosx = 2 ⇔ 2cos x+ cosx - 3 = 02
0,25
⇔ = −
cosx = 1
3 cosx
2
π
2b
(0,5)
+
24 12 6 ⇔ 4x + 2x = 6 (Chia hai vế cho 6x)
( )
=
⇔
= −
x x
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
0,25
3
⇔ =
Diện tích cần tìm là: = ∫2 2 − +
0
0,25
= ∫1 2 − + + ∫2 2 − +
= ∫1 2 − + + ∫2 2 − +
0,25
= + = 5 1 1
4a
+
+
2 4i
3 4i
0,25
⇔ =
+
(2 4i)(3 4i) z
9 16
+
⇔ = z 22 4i ⇔ = z 22 + 4 i
Trang 4(3x - 4) a a x a x a x (*)
Thay x = 2 vào (*) ta có:
0,25
=
= ∑10 −
10
k 0
=
= ∑10 k k − 10 k k
10
k 0
Suy ra = 5 5 − 5
a C 3 ( 4) = - 62 705 664
0,25
5
(1,0)
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương uur=(1; 2; 1− ), đi qua M(1;-1;0); mặt phẳng (Oxy) có vectơ pháp tuyến kur=(0;0;1)
Suy ra (P) có vectơ pháp tuyến nr=[ , ]u kur r =(2; 1;0− ) và đi qua M
0,25
Vậy (P) có phương trình 2(x− − + =1) (y 1) 0 hay 2x – y – 3 = 0 0,25 (Oxy) có phương trình z = 0 '∆ là giao tuyến của (P) và (Oxy)
Xét hệ 2x 3 0
0
y z
− − =
=
0,25
Đặt x = t thì hệ trên trở thành 3 2
0
x t
z
=
= − +
=
Vậy '∆ có phương trình 3 2
0
x t
z
=
= − +
=
0,25
6
Gọi H là trung điểm AB thì SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)
Suy ra SH là chiều cao của hình chóp
S.ABCD và SH = 3
2
a
0,25
Diện tích hình vuông ABCD là 2
D
SABC =a Vậy thể tích hình chóp S.ABCD là
V =
3 D
3 ABC 6
a
SH S = (đvtt)
0,25
Gọi I là tâm của hình vuông ABCD, G là trọng tâm tam giác ABC
Qua I vẽ đường thẳng d song với SH thì d ⊥ (ABCD) nên d là trục của đường tròn
ngoại tiếp hình vuông ABCD
Qua G vẽ đường thẳng d’ song song với HI thì d’ ⊥ (SAB) (vì dễ thấy HI ⊥ (SAB))
Suy ra d’ là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB
0,25
Gọi O là giao điểm của d và d’ thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bán kính R của mặt cầu là
R = OA =
2 2
+ = + ÷ = + ÷÷
21 6
A
D H
I S
Trang 5(1,0) 0,25
0,25
0,25
0,25
8
3
1 1 3x 2x (1)
2
Điều kiện: 1
3
x≥ − (*)
Đặt 1
1 3x 2
y= + ⇔ 1 3x 2 y+ = (2)
(1) trở thành 1 3+ y =2x (3)
0,25
Từ (2) và (3) ta có hệ 1 3x 2
1 3 2x
y y
+ =
+ =
2 2
0, 0
1 3x 4 (4)
1 3 4x (5)
y y
≥ ≥
⇔ + =
+ =
Trừ vế với vế (4) và (5) ta có 3(x y− )= −4(x2−y2)
(x y)(3 4x 4 ) 0y y x
Thế y = x vào (5) ta có 2
1 4x 3x 1 0 1
4
x x
=
− − = ⇔
= −
Kết hợp với x≥0, suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1
0,25
9
2 2
y
y y
− ≥ − ≤ ≤
− ≥ ≤ ≤
Đặt t = x + 1, khi đó t ∈ [0; 2] và (1) trở thành t3 − 3t2 = y3 − 3y2
Hàm số f(u) = u3 − 3u2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên:
(1) ⇔ f(t) = f(y) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1
0,25
Thay y = x + 1 vào (2) ta có x2 − 2 1 − x2 + = m 0 (3)
Đặt v = 1 − x2 , khi đó v∈[0; 1] và (3) trở thành v2 + 2v − 1 = m (4). 0,25 Hàm số g(v) = v2 + 2v − 1 liên tục trên [0;1] và có min ( )[0;1] g v = − 1; m ax[0;1] g v ( ) 2 = .
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (4) có nghiệm trên [0;1]
0,25
⇔ −1 ≤ m≤ 2.
Hết