Phương pháp monte carlo lượng tử cho các hệ thấp chiều

Khi số chiều của một hệ vật lý giảm kéo thao sự thay đổi các tính chất vật lý và con người tìm được các tính chất vật lý mới cho quá trình ứng dụng chế tạo các thiết bị lượng tử máy tính

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thế Lâm

HÀ NỘI, 2013

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Thế Lâm.Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong nghiên cứu khoa học để động viên, khích lệ tôi vươn lên trong học tập và vượt qua những

khó khăn.Tôi đã từng bước tiến hành và hoàn thành luận văn với đề tài:

“Phương pháp Monte Carlo lượng tử cho các hệ thấp chiều”

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa Vật lý, phòng sau đại học trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình cao học và luận văn tốt nghiệp

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình , các đồng chí đồng nghiệp và bạn bè

đã tạo mọi điều kiện, động viên, đóng góp những ý kiến quý báu để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2013

Tác giả

Ninh Thị Liên

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của tôi, không sao chép hoặc trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào đã công bố Nếu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 9 năm 2013

Tác giả

Ninh Thị Liên

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN……… 1

LỜI CAM ĐOAN……… 2

MỤC LỤC……… 3

MỞ ĐẦU……… … 4

Chương 1.TỔNG QUAN VỀ CÁC VẬT LIỆU THẤP CHIỀU………….5

1.1.Tổng quan về vật liệu của hệ thấp chiều……… 5

1.1.1.Mở đầu……… 6

1.1.2.Vật liệu hai chiều……… 7

1.1.3.Vật liệu một chiều……….8

1.1.4.Vật liệu không chiều……….8

1.2.Hệ hai chiều………9

1.3.Hệ một chiều……….10

1.3.1.Dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn……… 13

1.3.2.Dây lượng tử hình trụ với hố thế parabol……… 14

1.3.3.Dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn………….15

1.4.Hệ không chiều……….16

1.4.1.Chấm lượng tử hình lập phương……….17

1.4.2.Chấm lượng tử hình cầu……… 18

Chương 2.PHƯƠNG PHÁP MONTE CACRLO KHUẾCH TÁN LƯỢNG TỬ……… 21

2.1.Mở đầu……… 21

2.2.Phương pháp thực hiện………23

2.3.Phương trình schrodinger thời gian ảo……… 24

2.4.Công thức tích phân đường……….25

2.5.Phương pháp monte cacrlo……… 32

Chương 3.PHƯƠNG PHÁP MONTE CACRLO KHUẾCH TÁN LƯỢNG TỬ CHO CÁC HỆ THẤP CHIỀU……… 35

3.1.Thuật toán……….35

3.2.Lưu đồ máy tính cho chương trình……… 38

3.3.Dao động tử hai chiều……… 42

3.4.Giếng lượng tử……… 43

3.5.Dây lượng tử……… 44

3.5.1.Dây thẳng……… 45

3.5.2.Dây cong……… 46

3.6.Chấm lượng tử……… 47

KẾT LUẬN………48

TÀI LIỆU THAM KHẢO………50

PHỤ LỤC……….…… 52

MỞ ĐẦUở đầu

1 Lý do chọn đề tài

- Hiện nay các hệ thấp chiều đạng được sự tập chung nghiên cứu bởi các nhà khoa học trên thế giới và ở Việt Nam hướng nghiên cứu này cũng được khởi động mạnh mẽ trong một vài năm trở lại đây Khi số chiều của một

hệ vật lý giảm kéo thao sự thay đổi các tính chất vật lý và con người tìm được các tính chất vật lý mới cho quá trình ứng dụng chế tạo các thiết bị lượng tử (máy tính lượng tử, các linh kiện điện tử có hiệu ứng lượng tử…)

- Các hệ thấp chiều cũng đã được nghiên cứu bởi các nhà lý thuyết song kết quả chỉ dừng lại ở các trường hợp đơn giản, các hệ có thế phức tạp vẫn còn chưa thực hiện được Để giải quyết các khó khăn này thì máy tính là một giải pháp và đặc biệt là mô hình hóa Phương pháp montecarlo là phương pháp sử dụng rất rộng rãi trên thế giới còn đối với việt nam thì phương pháp này còn rất mới lạ, ít người biết đến và hầu hết bằng tài liệu tiếng anh

- Trên cơ sở sử dụng con số ngẫu nhiên đã mở ra rất nhiều ứng dụng.một trong những ứng dụng đó là người ta có thể tính tích phân xác định, đặc biệt là các tích phân nhiều chiều và các điều kiện biên phức tạp Phương pháp Monte Carlo thường thực hiện lặp lại một số lượng rất lớn các bước đơn giản song song với nhau Một phương pháp phù hợp cho máy tính,kết quả của phương pháp này càng chính xác khi số lượng lặp các bước tăng

- Chính vì những lý do trên và những ứng dụng thiết thực của nó mà tôi

lựa chọn đề tài ―Phương pháp montecarlo lượng tử cho các hệ thấp chiều‖

để nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm năng lượng và hàm sóng ở trạng thái cơ bản của các hệ thấp chiều như: giếng lượng tử, dây lượng tử và chấm lượng tử…

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các mô hình lý thuyết về các hệ thấp chiều

- Xây dựng chương trình máy tính để mô ta các hệ thấp chiều

- So sánh các kết quả tìm được với các mô hình lý thuyết

- Mở rộng bài toán cho các trường hợp tổng quát

4 Đối tượng nghiên cứu

Các hệ thấp chiều: giếng lượng tử, dây lượng tử và chấm lượng tử…

5 Phương pháp nghiên cứu

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ CÁC VẬT LIỆU THẤP CHIỀU

1.1 Tổng quan về vật liệu của hệ thấp chiều

1.1.1 Mở đầu

Các tính chất vật lý của các hệ ba chiều đã được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều năm qua, song khi một hoặc một số chiều khi giảm kích thước thì vật liệu lại xuất hiện các tính chất mới Chính vì vậy có sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu từ các khối tinh thể sang các màng mỏng và cấu

trúc nhiều lớp Trong các đối tượng đó (ta gọi là hệ), hầu hết các tính chất

điện tử đều thay đổi đáng kể Đặc biệt, một số tính chất mới khác, ta gọi là

hiệu ứng kích thước đã xuất hiện

Trong các cấu trúc có kích thước lượng tứ, nơi các hạt dẫn bị giam giữ trong các vùng kích thước đặc trưng cỡ bước sóng Do Broglie, các tích chất vật lý và điện tử thay đổi rất đặc biệt, ở đây, các quy luật lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết thông qua việc biến đổi đặc trưng cơ bản của hệ điện tử là phổ năng lượng của nó Phổ năng lượng của điện tử trở nên gián đoạn dọc theo hướng tọa độ bị giới hạn Dưới ảnh hưởng của trường ngoài hay các tâm tán xạ (phonon, tạp chất, ) thường chỉ hai mà không phải là ba thành phần động lượng của hạt dẫn có thể bị biến đổi Do đó dáng điệu của các hạt dẫn trong cấu trúc kích thước lượng tử tương tự như trong khí hai chiều, thậm chí khi các hệ trên có quy mô xác định theo tất cả các tọa độ

Cấu trúc với khí điện tử hai chiều (hố lượng tử bán dẫn) có một loạt tích chất khác thường so với đặc tính của hệ điện tử và lỗ trống trong bán dẫn khối thông thường Các cấu trúc tương tự được ứng dụng ngày càng phổ biến trong nhiều loại linh kiện bán dẫn mới, đặc biệt để đáp ứng các nhu cầu trong lĩnh vực quang điện tử

Việc cấu trúc với khí điện tử hai chiều ngày nay trở thành trung tâm chú ý của các nhà vật lý có liên quan chặt chẽ tới sự phát triển mạnh mẽ và sâu rộng của công nghệ Epitaxy bằng chùm phân tử một công nghệ rất thích hợp để tạo ra cấu trúc với phân bố thành phần tùy ý chính xác tới từng lớp đơn phân riêng lẻ

Ngày nay, bằng cách áp dụng phương pháp Epitaxy hiện đại như Epitaxy dòng phân tử, một hướng nghiên cứu mới đã được hình thành trong việc tạo nên các bán dần gồm nhiều lớp mỏng xen kẽ có độ dày cỡ nanô mét gọi là bán dẫn có cấu trúc nanô Bán dẫn có cấu trúc nanô có những đặc tính mới so với bán dẫn thông thường do đó tạo ra được những linh kiện, thiết bị mới có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật và đời sống Khác vói bán dẫn khối, trong cấu trúc trên, ngoài trường thế tuần hoàn của các nguyên tử, trong tinh thể còn tồn tại một thế phụ cũng tuần hoàn trong không gian cấu hình nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so vói chu kỳ thay đổi thế năng của trường các nguyên tử trong mạng [7]

Trong cấu trúc đa lớp mà các lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp xen kẽ giữa các lớp có vùng cấm rộng, các hạt tải nằm trong một lớp bất kỳ của bán dẫn vùng cấm hẹp không thể xuyên qua để đi tới các lớp tiếp theo của bán dẫn vùng cấm hẹp Các hạt tải bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly trong các hố lượng tử hai chiều, tức trong các lớp mỏng của bán dẫn vùng cấm hẹp Các lớp bán dẫn có bề rộng vùng cấm tạo nên một hàng rào thế (tể ngăn cản electron chuyển động trong một hố lượng tử không thể chuyển động qua các

hố khác, cấu trúc đa lớp này gọi là cấu trúc hệ nhiều hố lượng tử và mỗi lớp riêng biệt gọi là các hố lượng tử Trường hợp các: lớp ngăn cách của bán (lần vùng cấm rộng có độ dày không lớn có thể cho phép các hạt tải bằng hiệu ứng đường hầm xuyên qua hàng rào thế năng từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp sang

các lớp bán dẫn vùng cấm hẹp gần nhất, cấu trúc như vậy gọi là siêu mạng bán dẫn

Đặc điểm của hệ điện tử trong siêu mạng là chuyển động của hệ điện tử theo hướng 2 (hướng thay đổi của thế phụ tuần hoàn) bị lượng tử hóa, chỉ còn chuyển động tự do theo mặt phẳng (x,y) Do cấu trúc: của siêu mạng, các phản ứng của hộ điện tử đối với các tác dụng của trường ngoài (điện trường, sóng điện từ) xảy ra khác biệt so vói hệ điện tử ba chiều Các phản ứng khác biệt này làm thay đổi đáng kể tính chất vật lý của các vật liệu và làm xuất hiện thêm những đặc tính mới ưu việt mà hệ điện tử ba chiều không có

1.1.2 Vật liệu hai chiều

Siêu mạng bán dẫn pha tạp:được tạo từ hai bán dẫn đồng nhất được pha tạp một cách khác nhau Siêu mạng pha tạp được tạo nên do sự sắp xếp tuần hoàn của các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAsSi) và GaAs loại p (GaAsBe), ngăn cách bởi các lớp GaAs không pha tạp Vì vậy được gọi lạ tinh thể n-i-p-i Trong siêu mạng pha tạp sự phân bố điện tích đóng vai trò quyết định đối với việc tạo nên thế siêu mạng Nếu mật độ các chất pha tạp không quá cao và số acceptor trong lớp p trùng với các donor trong các lớp n thì tất cả các tâm donor trong siêu mạng pha tạp đền tích điện dương còn tất

cả các tâm acceptor đều tích điện âm

Siêu mạng bán dẫn hợp phần: được tạo nên từ các lớp mỏng bán dẫn gọi chung là A,có vùng cấm A

 Loại I: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn toàn

bao nhau Trong siêu mạng, này tương tác giữa các hạy mang từ các lớp riêng

biệt chỉ xảy ra giữa các vùng năng lượng cùng loại, ở đây cả lỗ trống và diện

tử đều bị giam nhốt trong cùng lớp A Loại này được tạo bởi GaAs/AlxGa1 -

xAs, lớp GaAs có độ dày hơn 2nm, phần Al có mode ít hơn 0,3

 Loại II: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm nằm gàn

nhau nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần Trong trường hợp này các hạt mang khác loại có thể tương tác với nhau Siêu mạng loại này lại được chia ra hai loại:

 Loaị IIA: Bán dẫn khe vùng không gian gián tiếp Lỗ trống bị giam

trong cùng lớp A điên tử bị giam trong cùng lớp B

 Loại IIB: Hoặc không có hoặc có khe năng lượng rất nhỏ giữa các điện

tử trong lớp B và các lỗ trống trong lớp A

1.1.3 Vật liệu một chiều

Đại diện các vật liệu một chiều có thể kể đến các vật liệu polime.polyme là những hợp chất có phân tử khối rất lớn do nhiều đơn vị nhỏ(gọi là mắt xích) liên kết với nhau do các mắt xích NH [CH ]2 6COliên kết với nhau tạo nên hệ số n được gọi là hệ số polyme hóa.Các phân tử tạo nên từng mắt xích của polyme được gọi là monome.Trong thực tế nó tồn tại một số mạch như sau: Mạch không phân nhánh ,ví dụ: a) polietilen, amilozo….b) mạch phân nhánh, ví dụ: amilopectin, glicogen…c) mạch mạng lưới, ví dụ: cao su lưu hóa,nhựa bakelit…

1.1.4 Vật liệu không chiều

Vật liệu nano: là vật liệu trong đó ít nhất một chiều có kích thước nanomet.Vật liệu có ba trạng thái rắn, lỏng, khí.Vật liệu nano được tập trung nghiên cứu hiện nay là vật liệu rắn, sau đó mới đến lỏng và khí

Hình dạng vật liệu được chia ra các loại sau:

Vật liệu nano không chiều (cả ba chiều đều có kích thước nano không còn chiều tự do nào cho điện tử) ví dụ như đám nano, hạt nano

Vật liệu nano một chiều là vật liệu trong đó hai chiều có kích thước nano,điện tử được tự do trên một chiều (hai chiều cầm tù) ví dụ như dây nano, ống nano

Vật liệu nano hai chiều vật liệu trong đó một chiều có kích thước nano, hai chiều tự do ví dụ như màng mỏng

Ngoài ra còn có vật liệu có cấu trúc nano tức là chỉ có một phần của vật liệu có kích thước nanomet hoặc cấu trúc có nano không chiều, một chiều, hai chiều đan xen lẫn nhau

1.2 Hệ hai chiều

Hố lượng tử (quantum wells) là một cấu trúc bán dẫn thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều, được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc tinh thể tương đối giống nhau Tuy nhiên, do các chất bán dẫn khác nhau có độ rộng vùng cấm khác nhau, do đó tại các lớp tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn khác nhau sẽ xuất hiện độ lệch ở vùng hoá trị và vùng dẫn Nếu chúng ta tạo ra hai lớp dị tiếp xúc của hai chất bán dần bằng phương pháp Epitaxy chùm phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hoá hữu cơ (MOCVD) thì có thể xẩy ra một số khả năng:

Hình 1: Mô hình hoá vùng năng lượng

(i) Các điện tử trong bán dẫn vùng cấm hẹp sẽ bị phản xạ khi chúng đến

dị tiếp xúc từ bên phải, vì thế chúng bị giam giữ trong lớp bán dẫn vùng cấm hẹp (mô tả trên hình 1a) Các điện tử trong bán dẫn có vùng cốm rộng ở trong

miền có thế năng cao hơn, nên khi đến lớp dị tiếp xúc từ bên trái, các điện tử được gia tốc bởi điện trường ở mặt phân cách và thu được động năng nào đó Chuyển động của các điện tử được tăng tốc theo chiều vuông góc với dị tiếp xúc Cả hai tính chất này đều được sử dụng trong các linh kiện dị tiếp xúc (ii).Hai lớp dị tiếp xúc được ghép cạnh nhau tạo thành một hàng rào thế (hình 1b) Các cấu trúc này rất được chú ý khi kích thước của chúng nhỏ hơn bước sóng De Broglie của điện tử Một điện tử tới hàng rào thế mỏng có thể xuyên qua hàng rào và dịch chuyển này có thể thay đổi được bằng cách thay đổi các tham số của hàng rào thế hoặc đặt vào hệ một điện trường Đây là cơ

sở cho một phương pháp mới ctể điều khiển chuyển động của các hạt tải trong cốc linh kiện bán dẫn

Ta quan tâm xét đến trường hợp được mô tả trên (hình 1c) - Hố lượng

tử - cấu trúc mà trong đó một lớp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa hai lớp bán dẫn khác Sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hoá trị của hai chất bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện

tử Các hạt tải điện nằm trong mỗi lớp chất bán dẫn này không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp chất bán dẫn bên cạnh (tức không có hiệu ứng đường hầm) Như vậy trong các cấu trúc này các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách li lẫn nhau trong các giếng thế năng hai chiều Hàm sóng của điện tử bị phản xạ mạnh tại các thành hố, do đó các điện tử bị giữ lại trong hố thế và phổ năng lượng của nó bị lượng tử hoá, các giá trị xung lượng được phép của điện tử theo chiều vuông góc với dị tiếp xúc cũng bị giới hạn Chính nhờ vào hiệu ứng lượng tử quan trọng này (sự lượng tử hóa năng lượng của điện tử trong hố lượng tử) mà người ta có thể điều chỉnh hoặc tối ưu hóa (bằng cách lựa chọn độ rộng hoặc độ sâu hố thế của vật liệu) vào các mục đích ứng dụng cụ thể hoặc để điều khiển chính xác các dịch chuyển của điện

tử trong các thiết bị kiểu transistor Điều kiện để có thể quan sát được các

hiệu ứng liên quan đến điện tử trong hố lượng tử là khoảng cách giữa hai mức

năng lượng liên tiếp E2 — E1 phải lớn so với năng lượng chuyển động nhiệt

kBT đồng thời cũng phải lớn so với độ rộng va chạm của các mức (τ là thời

gian phục hồi xung lượng trung bình), tức là:

E2 E1 k T B ,



 (1.1)

Hình 2 Mật độ trạng thái trong hệ 2 chiều và 3 chiều

Như đã biết, nếu như trong cấu trúc hệ điện tử ba chiều, mật độ trạng

thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật E1/2 (E là năng lượng của điện

tử) thì trong hố lượng tử cũng như trong các: cấu trúc thấp chiều khác, mật độ

trạng thái bắt đầu tại giá trị nào đó khác 0 tại trạng thái năng lượng cho phép

thấp nhất (E = 0) và tăng theo quy luật khác E 1/2 (dạng bậc thang) Sự thay

đổi mật độ trạng thái cũng được coi lẩ một hiệu ứng lượng tử quan trọng xuất

hiện trong các cấu trúc hố lượng tử cũng như trong các cấu trúc hệ thấp chiều

khác do sự giam giữ điện tử Vì các dịch chuyển phụ thuộc vào mật độ trạng

thái (hoặc trạng thái đầu hoặc trạng thái cuối), nên các dịch chuyển sẽ được

mở rộng do mật độ trạng thái khác không tại cực tiểu vùng năng lượng Chính

vì vậy sự thay đổi mật độ trạng thái trong cấu trúc hố lượng tử có đóng góp

quan trọng trong các Laser bán dẫn hố lượng tử

Với các cặp chất bán dẫn như Ge/GaAs, AlAs/GaAs, InAs/GaSb…

[14] cấu trúc hố lượng tử được coi là có chất lượng tốt, và khi đó có thể coi hố

thế được hình thành là hố thế vuông góc Xét trường hợp hố thế vuông góc,

giả sử trục z là trục dọc theo hố lượng tử Giá trị khối lượng hiệu dụng của

điện tử dọc theo các trục chính của hố thế là như nhau và hố thế có thành cao

vô hạn, độ rộng hố thế lượng tử là L

Đối với các điện tử trong vùng dẫn của hố thế, phổ năng lượng của

chúng được xác định nhờ định lí Wannier [22] Giả sử hàm sóng của điện tử

trong hố thế có dạng tổ hợp tuyến tính của hàm bao và hàm Wannier

trong đó ψ(x) là hàm bao còn W(x) là hàm Wannier Khi đó ctể tìm trạng thái

và phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử ta giải phương trình

Schrodinger hay nói theo cách khác theo định lí Wannier, hàm bao phải thoả

điện tử trong hố lượng tử; Ec là năng lượng đáy vùng dẫn, có thể đặt Ec = 0

Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, phương trình (10) cho nghiệm là

hàm sóng và phổ năng lượng của điện tứ trong hố lượng tử như sau:

Trong các biểu thức (1.4) và (1.5) trên ψ0 là hằng số chuẩn hoá; r là

vectơ bán kính của điện tử trong mặt phẳng xy; k là vectơ sóng của điện tử

trong mặt phẳng xy; Như vậy, (lọc theo trục kz của mạng đảo, điện tử bị giam

cầm trong hố lượng tử chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, do đó trong

cùng một vùng năng lượng xuất hiện các vừng con (subband) Sự gián đoạn

của phổ năng lượng điện tử là đặc trưng nhất của điện tử bị giam cầm trong

các hệ thấp chiều nói chung và trong hố lượng tử nói riêng

Trong trường hợp xuất hiện từ trường đều B hướng theo trục z (B||0z)

tức vuông góc với thành hố, chuyển động của điện tử trong mặt phẳng (x, y)

cũng bị lượng tử hóa Nếu chọn thế vectơ A= (0, By, 0), khối lượng hiệu

cm

  là tần số cyclotron; N = 0,1,2, là chỉ số mức phân vùng từ Landau; N( )x là hàm sóng của dao động

Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều Dây lượng tử có

thể được chế tạo nhờ phương pháp epitaxv MBE hoặc kết tủa hữu cơ kim

loại MOCVD Một cách chế tạo khác là sử dụng các cong (gates) trên một

transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều

hơn trên hệ khí điện tử hai chiều Bài toán tìm phổ năng lượng và hàm sóng

điện tử trong dây lượng tử có thể được giải dễ dàng nhờ giải phương trình

Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều:

giam giữ điện tử do sự giảm kích thước; m* là khối lượng hiệu dụng của điện

tử (ta giả thiết rằng z là chiều không bị lượng tứ hoá)

1.3.1 Dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn

Dây lượng tử hình trụ là loại dây lượng tử hay được sử dụng nhất trong

các nghiên cứu lí thuyết Xét bài toán với dây lượng tử có bán kính R, thế

giam giữ vô hạn ở ngoài dây và bằng không bên trong dây:

V r( ) 0

 

 (1.9) Với thế năng này, hàm sóng và phổ năng lượng trong hệ toạ độ trụ

(r,∅,z)

, ,

, 0

0 1

k  k là vectơ sóng của điện tử; n l,( )r là hàm sóng xuyên tâm của điện

tử chuyển động trong mặt phang (0xy) có dạng:

tương ứng với phường trìnhJ B n( n l,)  0 (ví dụ: B01 = 2,405; B11 = 3,832) Như

đã biết, trong dây lượng tử, chuyển động của điện tử bị giới hạn trong mặt

Khi rR Khi r R Khi r R

Khi rR

phẳng (Oxy) và năng lương của nó theo các phương này bị lượng tử hóa Phố năng lượng của điện tử có dạng:

k

E k

m

 là động năng theo phường 0z của điện tử (phường

chuyến động tự do của điện tử); 2 2,

n l

n l

B E

1.3.2 Dây lượng tử hình trụ với hố thế Parabol

Giả sử hố thế giam giữ dạng parabol đối xứng trong mặt phẳng xy:

ikz

l a

n l a a a L

L là đa thức Lagrange tổng quát

1.3.3 Dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế vô hạn

Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề cập đến trong các công trình mang tính lí thuyết Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có các kích thước ba trục được giả thiết lần lượt là

k  k là vectơ sóng của điện tử Thừa số dạng được cho bởi

n l

n l n l n l

I e  r r dr (1.20) Lấy tích phân theo toàn thể tích dây lượng tử và bỏ qua quá trình Umklapp chúng ta được:

' '

1.4 Hệ không chiều

Khi chuyển động của điện tử bị giới hạn theo cả ba chiều trong không

gian, hệ vật liệu như vậy được gọi là chấm (điểm) lượng tử (quantum) Với sự

tiến bộ của công nghệ chế tạo vật liệu mới, chấm lượng tử ngày càng đóng vai

trò quan trọng trong các nghiên cứu cơ bản Một chấm lượng tử tiêu chuẩn

thường có kích thước nhỏ hơn kích thước của exciton (~10mm), và lớn hơn

nhiều so với hằng số mạng tinh thể (0,5mm) Chấm lượng tử thường được chế

tạo nằm trong một tinh thể khác, trong ma trận thủy tinh (1nm < R < 100nm

với R là bán kính chấm), trong dung dịch hoặc được cấy lên một số lượng

tử…

1.4.1 Chấm lượng tử hình lập phương

Chúng ta xét mô hình khối mà hạt chuyển động trong khối hộp ba chiều

có kích thước là a Khi đó phương trình Schodinger có the viết dạng phân li

biến số Thế năng của hạt chuyển động trong khối hộp ba chiều so dạng [4]:

2 os ( )

2 sin

x

x n

x

n x c

a a x

Khi n  x 1,3,5,

Khi n  x 2, 4, 6,

2 os ( )

2 sin

a a y

2 sin

z

z n

z

n z c

a a z

   (1.28) Trong đó:

* 2

3 2

0

0 ( )r

Có thể viết hàm riêng ở dạng phân ly biến số trong tọa độ cầu:

, , ( ) , , ( ) , ( )

l m n r l m n r Y l m

     với Y l m, ( ) là hàm cầu điều hòa; l,m,n là các số lượng

tử Phần hàm sóng phụ thuộc r thỏa mãn phương trình Schrodinger xuyên tâm sau:

R r

Đánh dấu các số lượng tử l = 0, 1, 2, tương ứng với các lớp s, p, d,

Năng lượng của hạt trong giếng thế cầu gồm các giá trị gián đoạn và tỉ

lệ nghịch với bình phương bán kính R2 Độ rộng vùng cấm hiệu dụng trong trường hợp này:

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO KHUẾCH TÁN LƯỢNG TỬ

2.1 Mở đầu

Phương trình Schrodinger đưa ra mô tả chấp nhận được về hiện tượng siêu vi.nhiều năng lượng phân tử và bán dẫn chịu sự chi phối của bởi phương trình này.Vì phương trình của Schrodinger chỉ được giải theo phép giải tích trong một số ít trường hợp lý tưởng cao:cho hầu hết các hệ thực tế,chúng ta cần đến mô tả số học.chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp số học tương đối gần đây trong giải phương trình Schrodinger,phương pháp khuếch tán ánh sáng Monte Carlo.phương pháp này phù hợp để miêu tả trạng thái cơ bản của nhiều hệ lượng tử

Nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger được đưa ra như là sự tổ hợp tuyến tính của trạng thái tĩnh,trong đó sự phụ thuộc thời gian được đưa bởi hệ số pha exp(-iEnt/ ),En là cấp năng lượng n-th của hệ lượng

tử đang tính.Thang năng lượng được chọn để tất cả năng lượng là dương.Trong phương pháp DMC,nên xem xét lời giải cho phương trình Schrrodinger giả thiết thời gian ảo  ,tức là sau khi thay thế thời gian t=-

i Nghiệm sau đó được đưa ra bởi tổng số biến đổi trong công thức

exp(-iEnt/ ),n=0,1…

Phương pháp DMC dựa trên quan sát rằng khi một hệ lượng tử phát triển trong thời gian ảo biến đổi dài nhất tương ứng với trạng thái cơ bản với năng lượng E0 <En , n=1,2 …Theo dõi sự thay đổi của hàm sóng trong thời gian ảo đủ lớn, ta có thể xác định cả hai năng lượng trạng thái cơ bản Eo và hàm sóng cơ bản o của một hệ lượng tử, không quan tâm đến trạng thái ban đầu của hệ.Phương pháp DMC đưa ra một cách phát triển thực tế của thời

gian ảo,hàm sóng của hệ lượng tử và cuối cùng đạt được năng lượng trạng thái cơ bản và hàm sóng

Phương pháp DMC có thể được đưa vào công thức bằng hai cách khác nhau.cách thứ nhất là dựa trên sự giống nhau của phương trình Schrodinger thời gian ảo và một phương trrình khuếch tán tổng hợp.Thuât ngữ động (thế) năng trong phương trình Schrodinger tương ứng với thật ngữ khuếch tán (nguồn/bể/phản ứng) trong phương trình khuếch tán tổng hợp.sự phát sinh của phương trình khuếch tán –phản ứng có thể được giải quyết bằng việc mượn phép ―phép tính ngẫu nhiên‖ khi nó lần đầu tiên được đề nghị bởi Fermi khoảng 1945 [1.2].Thực ra phương trình thời gian ảo Schrodinger có thể được giải bởi tái tạo sự dịch chuyển ngẫu nhiên của các hạt chủ thể của quá trình sinh-hủy áp đặt bởi thuật ngữ nguồn/bể.Sự phân bố xác suất di chuyển của các hạt là đồng nhất với hàm sóng Điều này chỉ xảy ra khi những hàm sóng

là dương, đây là đặc điểm giới hạn phạm vi ứng dụng của phương pháp DMC

Công thức của DMC như trên được đưa ra lần đầu tiên bởi Anderson[3] người đã sử dụng phương pháp này đểtính năng lượng cơ bản của phân tử nhỏ như H3+

Công thức thứ hai của phương pháp DMC phát sinh từ phương pháp tích phân đường của Feynman của phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger Bằng phương pháp tích phân đường mà hàm sóng có thể biểu hiện như là tích phân đa chiều được đánh giá bằng áp dụng phương pháp Monte Carlo.Thuật toán để giải phương trình khuếch tán được tuân thủ bởi hàm sóng và thuật toán để đánh giá biểu diễn tích phân đường của hàm sóng sinh ra một và cùng công thức của DMC.Ta lựa chọn công thức nào của phương pháp DMC phụ thuộc vào sự thành thạo của mình:Một công thức của DMC dựa trên phương trình khuếch tán yêu cầu hiểu biết căn bản về lý thuyết

của quá trình ngẫu nhiên,công thức tích phân đường rõ ràng yêu cầu sự thành thạo với công thức tương ứng của cơ học lượng tử

Để trình bày công thức tích phân đường trong phương pháp DMC.chúng tôi cũng trình bày một thuật toán số học và chương trình máy tính dựa trên phương pháp DMC,chúng ta áp dụng chương trình này để tính năng lượng trạng thái cơ bản và phương trình sóng cho một số hệ lượng tử mẫu

2.2 Phương pháp thực hiện

Công thức lý thuyết của phương pháp DMC,được trình bày dưới đây đi theo ba bước.Những bước này được phác thảo ra để giúp chúng ta có cái nhìn

tổng quan

Bước một: phương trình phụ thuộc thời gian ảo

Trong bước này,nghiệm của phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger về hệ lượng tử được trình bày như chuỗi mở rộng đối xứng về hàm đặc trưng của Hamiltonian.Sau đó biểu diễn sự chuyển đổi từ thời gian t sang thời gian ảo  ,thay thế t-i .Lời giải của phương trình Schrodinger thời gian ảo đạt được trở thành một chuỗi đột biến số rã theo hàm mũ

  .Biến đổi kéo dài nhất tương ứng trạng thái cơ bản của hệ

Bước hai:Công thức tích phân và tích phân Monte Carlo

Trong bước này,phương trình Schrodinger thời gian ảo được nghiên cứu bằng phương pháp tích phân đường.Bằng việc sử dụng tích phân đường,với điều kiện một hàm sóng trạng thái ban đầu được đưa ra.Phương pháp Monte Carlo [4] cho phép ta đánh giá theo tích phân đường số học đến

độ chính xác như ý,áp dụng hàm sóng trạng thái ban đầu là xác định dương.Trong trường hợp này hàm sóng được hiểu là mật độ xác suất và phương pháp Monte Carlo cổ điển đơực áp dụng.Theo cơ học lượng tử,bình phương của một giá trị của hàm sóng là mật độ xác suất,thực tế là hàm sống

trạng thái cơ bản phải là một số thực dương xác định để áp đặt giới hạn vào việc ứng dụng kỹ thuật Monte Carlo để giải phương trình Schrodinger.Một cách áp dụng thuật toán Monte Carlo hiệu quả để tính hàm sóng như là một tích phân đa chiều lớn được thực hiện thông qua sự dịch chuyển khuyếch tán

và của quá trình sinh-tử áp dụng cho một tập hợp các hạt ảo.Sự phân bố theo khoảng cách của những mô hình này hội về một mậtt độ xác suất thể hiện cho hàm sóng trạng thái cơ bản Sự dịch chuyển khuyếch tán và quá trình sinh-tử

có thể được mô phỏng trên một máy tính có sử dụng con số ngẫu nhiên

Bước ba:Đánh giá liên tục năng lượng cơ bản và mẫu của hàm sóng trạng thái cơ bản

Trong bước này,năng lượng và hàm sóng trạng thái cơ bản đã được xác định.Như đã nói ở trên,phương pháp Monte Carlo làm mẫu cho hàm sóng sau mỗi bước thời gian.Sự phân bố tọa độ có khoảng cách từ các mô hình liên quan đến quá trình kết hợp khuếch tán và sinh-tử,sau mỗi bước thời gian xác định,đưa ra một phép xấp xỉ cho hàm sóng của hệ tại thời gian đó.hàm sóng trong thời gian ảo quy về hàm sóng trạng thái cơ bản không phụ thuộc thời gian,khi và chỉ khi năng lượng tương đương năng lượng trạng thái cơ bản.Bởi năng lượng trạng thái cơ bản ban đầu là không biết nên ta bắt đầu với một dự đoán phù hợp,sau mỗi bước thời gian trong đó một quá trình dịch chuyển khuếch tán và sinh tử được ứng dụng cho tất cả các hạt một lần,ta cải thiện ước tính năng lượng trạng thái cơ bản theo yêu cầu và sự phân bố của các hạt quy về hàm sóng trạng thái cơ bản

2.3 Phương trình Schrodinger thời gian ảo

Để đơn giản,chúng ta hãy xem xét một hạt đơn có khối lượng m,di chuyển dọc theo trục x với điện thế V(x).Hàm sóng của nó (x,t) được tính theo phương trình phụ thuộc thời gian Schrodinger [5]

t

  

 (2.1) Với Hamiltonian

hạt được giữ trong một vùng không gian xác định.Từ phương trình (2.1) ta có:

0

i t n

n n

 là bình phương khả tích trong trường hợp này

và những giá trị riêng En được lấy từ phương trình không phụ thuộc thời gian

Schrodinger

H x E  x (2.4) Điều kiện biên lim ( ) 0

giả định là thực,với hàm đặc trưng ( )

n x

 trong (2.4)

Sự thay đổi của năng lượng: Ta biểu diễn một sự dịch chuyển không

đáng kể nhưng chủ yếu của thang năng lượng bằng sự thay thế V(x) V(x) –

ER và En En –ER.Điều này dẫn đến phương trình Schrodinger

E E

x t  c  x e 



  (2.9) Biến đổi của thời gian:Bây giờ ta sẽ biểu diễn sự chuyển đổi từ thời gian thực sang thời gian ảo bằng cách giới thiệu một biến số mới  it Phương trình Schrodinger trở thành

x  c  x e  



  (2.11) Năng lượng được sắp xếp ở (2.5) ta có thể suy ra từ (2.11) khi    (i) Nếu ER >E0 , lim ( , )x

    ,hàm sóng quy về hàm sóng trạng thái cơ bản tùy theo thừa số c0 được xác định (2.7)

Cho ER=E0 ,hàm  ( , )x quy về hàm sóng trạng thái cơ bản



không quan tâm lựa chọn ban đầu của hàm sóng  ( ,0)x ,với điều kiện có một

sự chồng chất quan trọng số học giữa  ( ,0)x và 0( )x ,tức là với điều kiện c0không quá nhỏ.Hàm sóng trạng thái cơ bản cho một hạt đơn không có giao điểm (trong trường hợp nhiều hệ Fermi điều này có thể sẽ không đúng) và ta

có thể luôn thực hiện được yêu cầu c0 không triệt tiêu bằng việc chọn hàm

sóng ban đầu xác định dương được đặt trong khoảng không gian mà

 đủ rộng

Bây giờ chúng ta hãy tìm một cách thực tế để lấy tích phân phương trình (2.10) cho một năng lượng chuẩn bất kỳ ER và hàm sóng ban đầu  ( ,0)x Chúng ta sẽ hoàn thành phần này bằng cách dùng công thức tích phân đường

1 1



   (2.17) Hàm trọng số W(xn) phụ thuộc vào cả vào động năng (2.2) và năng lượng tham chiếu ER Sự khác nhau chính giữa hàm P và W là cái trước có thể được giải thích như mật độ xác suất trong khi cái sau không thể

N i

nhau được phân bố bình thường, tức là sự phân bố Gaussian, xung quanh giá trị chính xác I sự lệch chuẩn tỷ lệ 1

Để xác định  ( , )x trong (2.14), các số x,  đã cho và N,ta xác định

1

i N

x  với giá trị trung bình ( )i

x  ,với trung bình ( )

1

i N

x  và biến thiên  ,được sinh ra dựa theo ( ) ( )

n

x và ( )

1

i n

x có liên quan qua phương trình