Phương pháp monte carlo lượng tử nghiên cứu quá trình khuếch tán

Thế năng V trong các hệ chất rắn miêu tả tương tác Coulomb giữa cácta có thể biểu thị giá trị chờ đợi cho một toán tử Ô cho trước cho một hệ thống những hạt N như sau: 1.7 Trong đó là h

( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.com

LờI CảM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Thế Lâm Thầy đã tỉ mỉ hướng dẫn vàtruyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong nghiên cứukhoa học để động viên, khích lệ tôi vươn lên trong học tập và vượt qua nhữngkhó khăn Tôi đã từng bước tiến hành và hoàn thành luận văn với đề tài

“Phương pháp Monte Carlo lượng tử nghiên cứu quá trình khuếch tán”

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đốivới thầy

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, KhoaVật Lý, Phòng sau đại học trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuậnlợi cho tôi hoàn thành chương trình cao học và luận văn tốt nghiệp

Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, các đồng chí đồng nghiệp và bạn bè

đã tạo điều kiện, động viên, đóng góp những ý kiến quý báu để tôi hoàn thànhluận văn này

Hà nội, tháng 10 năm 2011

Tác giả

Vũ Ngọc Vỹ

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của tôi, không saochép hoặc trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào đã được công bố Nếu saitôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà nội, tháng 09 năm 2011

Tác giả

Vũ Ngọc Vỹ

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

- Phương pháp Montecarlo là phương pháp sử dụng rất rộng rãi trên thếgiới Trên cơ sở sử dụng con số ngẫu nhiên đã mở ra rất nhiều ứng dụng Mộttrong những ứng dụng là người ta có thể tính tích phân xác định, đặc biệt làcác tích phân nhiều chiều và các điều kiện biên phức tạp

- Phương pháp Monte Carlo thường thực hiện lặp lại một số lượng rấtlớn các bước đơn giản, song song với nhau, một phương pháp phù hợp chomáy tính Kết quả của phương pháp này càng chính xác (tiệm cận về kết quả

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu các phương pháp Montecarlo lượng tử được đề xuất trongthời gian gần đây

- Đề xuất mô hình khuếch tán và sẽ giải quyết bài toán này bằngphương pháp Montecarlo lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

trong vật lý chất rắn.

- Xây dựng và giải bài toán bằng phương pháp Montecarlo lượng tử

4 Đối tượng nghiên cứu

Danh mục các từ viết tắt

DMC Diffusion Monte Carlo Phương pháp Monte Carlo khuếch

tán

GFQMC Green's function quantum Monte

Carlo

Phương pháp hàm Green’s Monte Carlo

PDF Probability distribution function Hàm phân bố xác suất

PIMC Path Integral Monte Carlo Phương pháp tích phân đường

QMC Quantum Monte Carlo Phương pháp Monte Carlo lượng tử VMC Variational Monte Carlo Phương pháp Monte Carlo biến số

Tổng quan về phương pháp Montecarlo

1.1 ý tưởng về phương pháp Monte Carlo lượng tử

Nói chung tất cả các phương pháp Monte Carlo lượng tử đều có đặc

điểm chung là sử dụng mẫu thử ngẫu nhiên và chúng là cách hiệu quả nhất đểlấy tích phân các hàm số đa chiều

Điểm bắt đầu cho việc lấy tích phân Monte Carlo là biểu thức cho giá trịtrung bình của hàm f trên đoạn

bởi biểu thức:

(1.3)

Với xi là điểm ngẫu nhiên phân bố đồng đều trên và Ns là số điểm xi.

Phương pháp lấy mẫu như vậy khá hiệu quả vì trong nhiều ứng dụngthực tiễn, việc lấy tích phân ở một số vùng phải được lấy mẫu với mật độ lớnhơn để đạt được những kết quả chính xác hơn trong khoảng thời gian hợp lý

Ta có thể làm được việc này bằng phương pháp lấy mẫu điển hình Việc lấymấu điển hình đó được ứng dụng bằng việc đưa vào hàm mật độ (PDF):

trên , ngoài đoạn Đó là điều thuận lợi khi chuẩn

hoá hàm sóng: Khi đó chúng ta có thể viết:

lấy mẫu điển hình để tính giá trị dự tính cho hàm sóng thử đã được lựa chọn.

Các phương pháp khác, như phương pháp chiếu Monte Carlo sử dụng kỹthuật chiếu để đạt được thành phần trạng thái cơ bản của hàm sóng thử ban

đầu Có một số phương pháp chiếu Monte Carlo phụ thuộc vào yếu tố chiếu

mà người ta sử dụng, phổ biến nhất là phương pháp Monte Carlo khuếch tán(DMC), dựa trên phương trình thời gian ảo Schorodinger Cả VMC và DMC

được sử dụng để tính giá trị của năng lượng ở trạng thái cơ bản cho các hệlượng tử, chúng còn có thể được dùng cho các trạng thái kích thích Với các hệkích thích ở nhiệt độ xác định thì phương pháp PIMC được sử dụng, đây làphương pháp dựa trên dạng thức tích phân đường cơ lượng tử do Feyman xâydựng Tiện ích của các phương pháp DMC và PIMC trong ứng dụng cho các

hệ fermion giảm do vấn đề nảy sinh từ tích phân đối xứng hàm sóng của nhiềufermion Một trong các kỹ thuật được sử dụng rộng rãi để giải quyết vấn đềnày là phương pháp xấp xỉ nút cố định ứng dụng của DMC cho hệ thốngfermion và việc thử bỏ qua Phương pháp xấp xỉ nút cố định sẽ được thể hiệnchi tiết hơn

Dù còn vấn đề về tính chính xác nhưng các phương pháp QMC vẫn làmột công cụ hữu hiệu để tính toán các tính chất điện tử của hệ electron tươngtác trong nguyên tử, phân tử và chất rắn Khả năng tính toán trong QMC tănglên lũy thừa ba về số hạt, vì vậy có thể nghiên cứu các hệ thống chứa hàngtrăm thậm chí nhiều nghìn electron Điều này có thể giúp làm mô hình chấtngưng tụ thực sự với độ chính xác đáng kinh ngạc

Công thức tổng quát của hàm Hamiltonian cho các electron trong thếngoài có thể được viết như sau:

(1.6)

Thế năng V trong các hệ chất rắn miêu tả tương tác Coulomb giữa các

ta có thể biểu thị giá trị chờ đợi cho một toán tử Ô cho trước cho một hệ thống những hạt N như sau:

(1.7)

Trong đó là hàm sóng mô tả một hệ nhiều vật Mặc dùchúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc về thời gian trong phương trình này nhưngnhìn chung đây vẫn là một vấn đề khó khăn Như một ví dụ từ bài toán nhiềuhạt, chúng ta có thể viết được phương trình Schrodinger’s như một phươngtrình vi phân với toán tử Hamiltonian H được biểu diễn theo hàm sóng nhưsau:

(1.8)Trong đó: là tọa độ, là những tập hợp những lượng tử số

liên quan như spin và spin đồng vị cho một hệ các nucleon là A (A = N + Z, N

là số lượng các nơtron và Z là số lượng các proton) Ta có

với hạt nhân như 10Be thì con số này là 215040 Đây thực sự là một bài toán

đầy khó khăn

Phương trình (1.7) là một tích phân nhiều chiều Như vậy, phương phápMonte Carlo là phương pháp lý tưởng để thu được những giá trị dự đoán củacác toán tử cơ lượng tử, tuy nhiên vấn đề khó khăn là chúng ta không biếtchính xác hàm sóng Chúng ta có thể tránh được vấn đề nàybằng cách đưa ra một hàm số phụ thuộc vào những tham số biến số đã chọn.Hàm số này sẽ thu được những đặc tính quan trọng của hệ đang được xét Vớiviệc thử một hàm sóng như vậy chúng ta có thể thử thực hiện phép tính toánbiến số của các quan sát khác nhau, dùng phương pháp Monte Carlo để giảiphương trình (1.7) Do vậy mục tiêu của chúng ta là tiếp cận Monte Carlo biến

số tới cơ lượng tử nên chúng tôi chỉ giới hạn tới thuật toán Metropolis đơngiản, không bao gồm sự lấy mẫu quan trọng Những phương pháp Monte Carlolấy mẫu và khuếch tán quan trọng được bàn luận sau

Trong đó, thế năng của hạt Nghiệm phương trình đạo hàm riêngnày là hàm sóng Chính hàm sóng sẽ giúp ta xác định xác suất, nhữngxác suất này được sử dụng để tính toán những giá trị dự đoán của các toán tử

đã chọn, như động năng hoặc năng lượng toàn phần Xác suất cơ lượng tử

được định nghĩa

(1.10)Mặt khác ta lại có

(1.11)

Do vậy

(1.12)Cách tiếp cận Monte Carlo biến số sử dụng định nghĩa xác suất này, do

đó chỉ cho phép chúng ta xử lý những số lượng thực Ngoài ra, nếu chúng tathực hiện biểu diễn trong mặt phẳng phức, sử dụng , thì phương trìnhSchrodinger phụ thuộc vào thời gian trở thành

(1.13)

Với , chúng ta có một phương trình khuyếch tán vào thời gian phứcvới hằng số khuyếch tán

(1.14)Một số các điều kiện mà phải thỏa mãn là:

1 Tiêu chuẩn hóa

(1.15)

Có nghĩa là

Bất kỳ lượng vật lý nào phụ thuộc vào vị trí và động lượng

đều có toán tử lượng tử tương ứng bằng việc thay thế , tạo ra toán tửlượng tử

Kết quả xảy ra của phép đo lý tưởng đại lượng vật lý A là những giá trị

riêng của toán tử lượng tử tương ứng của

(1.18)Tạo ra các giá trị riêng Các giá trị tương ứng chứa

đựng tất cả những thông tin liên quan về hệ

Khi hàm đặc trưng là , xác suất thu được giá trị khi kết quả của

phép đo lượng vật lý A được cho bởi và là hàm đặc trưng của  với

Chương 2 Các cơ sở lý thuyết và thuật toán của phương pháp Monte Carlo

2.1 Phương pháp Monte Carlo biến số

2.1.1 Cơ sở lý thuyết

Các kỹ thuật Monte Carlo được thể hiện cho Monte Carlo biến số đơngiản nhưng những ứng dụng thực tiễn lại khá phức tạp dựa vào xuất phát điểmtốt cho hàm sóng biến số Vì chúng hình thành xuất phát điểm cho phép tính

toán biến số giá trị chờ đợi của Hamiltonian H Với một hamiltonian H và hàm

sóng thử nghiệm đã cho, theo những nguyên lý biến số thì giá trị chờ đợicủa được xác định

(2.1)

Giá trị là cận trên của năng lượng trạng thái năng lượng nhỏ nhất

của Hamiltonian , ta có:

Hàm sóng thử nghiệm có thể được mở rộng trong trạng thái riêng của

hamiltonian H.Vì chúng tạo nên một tập hợp hoàn chỉnh

Nhìn chung, những tích phân liên quan đến việc tính toán các giá trị dự

đoán khác nhau là những tích phân nhiều chiều Những phương pháp tính tíchphân truyền thống như Gauss-Legendre sẽ không thích hợp cho việc tính toánnăng lượng của hệ nhiều hạt Thực tế chúng ta cần lấy mẫu trên một mật độ đachiều và mật độ xác suất được chuẩn hóa bởi nhóm tiêu chuẩn của hàm sóngcho thấy rằng giải thuật Metropolis có thể là thích hợp

Chúng ta tổng kết ngắn gọn tiến trình biến số theo ba bước dưới đây:

đạt một hệ nhiều vật bao gồm N các hạt xác định tại các vị trí Hàm sóng thử nghiệm phụ thuộc vào các tham số biến số với

Bước 2 Chúng ta ước tính giá trị chờ đợi của Hamiltonian H

(2.6)

Bước 3 Thay đổi theo thuật toán cực tiểu hóa và trở lại bước đầu tiên.Vòng lặp ba bước này dừng lại khi chúng ta đạt đến cực tiểu của nănglượng

Trong phép tính Monte Carlo biến số là việc tìm kiếm cực tiểu biến số.Thường thường các phép tính Monte Carlo biến số giống như là điểm xuất phátcho phương pháp Monte Carlo khuyếch tán Phương pháp Monte Carlo khuếchtán là một cách giải chính xác phương trình Schrodinger nhiều hạt bằngphương pháp ngẫu nhiên Tuy nhiên, việc dự đoán năng lượng ở trạng thái liênkết và hàm sóng là rất cần thiết Một phép tính Monte Carlo biến số được thựchiện có thể giúp ích trong trường hợp này Phép Monte Carlo lượng tử biến số

đã được ứng dụng rộng rãi trong các nghiên cứu cho hệ lượng tử

Việc chọn lựa một hàm sóng thử nghiệm mà chúng ta giả thiết làcàng xác thực càng tốt Biến đại diện cho tọa độ không gian, tổng ta có là

Cùng với hàm phân bố xác suất thử nghiệm PDF cho phép chúng ta tínhtoán giá trị dự đoán của năng lượng địa phương

(2.10)

Phương trình này thể hiện cách tiếp cận Monte Carlo biến số Chúng tatính toán tích phân này trong một tập hợp các giá trị và các hàm sóng thửnghiệm hợp lý và tìm ra cực tiểu của hàm số Nếu hàm sóng thử nghiệmgần với hàm sóng chính xác, thì lúc đó sẽ tiến đến Phương trình

(2.10) được giải nhờ sử dụng kỹ thuật từ cách tính tích phân Monte Carlo Tacó:

(2.11)

Trong đó tổng lấy với tất cả các hạt N Chúng ta đã tính đến thế năng

đơn thể Vonebody(ri) - thế năng hoạt động dựa trên một hạt tại một thời điểm,

và một tương tác - tương tác hoạt động dựa trên hai hạt tại một thời

điểm Rõ ràng chúng ta có thể mở rộng công thức này đến những lực tương tác

ba hoặc nhiều hạt Năng lượng của hệ phần lớn bị chi phối bởi lực tương tác

đơn hạt và tương tác lặp

Lúc đó toán tử năng lượng địa phương trở thành

(2.12)

Tạo ra

(2.13)

Trong phép tính toán Monte Carlo biến số là sự đánh giá của giới hạn

động năng, thế năng, miễn là nó có hệ số phụ thuộc tọa độ đơn, chỉ thêm một

số hạng đơn vào toán tử năng lượng địa phương

Trong thảo luận phía dưới, chúng ta dựa trên thuật toán Metropolis đểtìm ra lời giải Monte Carlo bằng số Việc thực hiện khá giống với mô hìnhIsing, sự khác biệt chủ yếu tồn tại trong mô hình hàm phân bố mật độ PDF.Phép thử chính được thực hiện là một tỉ số các xác suất Giả sử ta đang thử di

chuyển từ vị trí R đến R’ Khi đó ta sẽ thực hiện hai bước thử sau:

Trong mô hình Ising, ta đang thực hiện đảo spin tại thời điểm đó ở đây

ta đang thay đổi vị trí đã chọn của hạt đã cho tới vị trí thử R’,và sau đó tính

toán tỉ số giữa hai xác suất Ta cũng cần chú ý rằng không cần ước lượng chỉtiêu

Khi viết một chương trình Monte Carlo biến số, người ta luôn phải

chuẩn bị trước các công thức được yêu cầu cho năng lượng địa phương EL

trong phương trình (2.10) và chuẩn bị hàm sóng cần thiết để tính toán tỉ số các

gọi là một bộ tạo số ngẫu nhiên.

Nếu bây giờ ta tập trung vào thuật toán Metropolis và phép ước lượngMonte Carlo trong phương trình (2.10), có một thuật toán chi tiết hơn dưới

đây

- Chuẩn bị: Cố định số bước Monte Carlo và số các bước nhiệt Chọn ký

hiệu viết tắt R và tham số biến số và tính toán Cũng cần xác định

giá trị độ lớn các bước khi chuyển từ một giá trị R sang một giá trị mới.

- Đưa vào năng lượng và biến số

- Bắt đầu phép tính Monte Carlo với một vòng qua một số các chu trìnhMonte Carlo cho trước

1 Tính toán vị trí thử trong đó r là một biến ngẫu nhiên

Lưu ý rằng cách ta chọn bước tiếp theo không được xác

định bởi hàm sóng Hàm sóng chỉ giúp xác định tỉ số xác suất, tương tự như

cách ta đã mô phỏng những hệ trong vật lý thống kê Điều này có nghĩa là việclấy mẫu các điểm có thể không hiệu quả.

Tuy nhiên cách tốt nhất để hiểu thuật toán trên và một phương pháp cụthể là phải nghiên cứu các mẫu đã chọn

Trong đó m là khối lượng hạt và k là hằng số lực Trong phương trình

trên ta sẽ làm cho đơn giản hơn bằng cách chọn Ta có thể viết lạiphương trình trên như sau:

Với giá trị dự đoán cho hamiltonian của phương trình (2.10) được chobởi

Phép tính toán Monte Carlo này khá đơn giản, chúng ta tạo ra một số

lớn N của những số ngẫu nhiên tương ứng với PDF và đối với mỗi số

ngẫu nhiên chúng ta ước tính được năng lượng địa phương

(2.28)

Và chúng ta có thể tính toán được nếu hàm sóng đối xứng cầu, phươngtrình vi phân bậc hai phụ thuộc vào một toạ độ và sau đó nhân lên gấp ba Điềunày rất có khả năng làm tăng dao động cần phải được tránh, dù những giá trịmong đợi cuối cùng thu được rất giống nhau Một trong những mục tiêu củacách tính toán Monte Carlo là làm giảm dao động Chúng ta có thể thay đổi tử

Nếu chúng ta sử dụng phép tích phân từng phần cho trường hợp dao

động điều hòa, thì năng lượng địa phương sẽ là

Biến thiên Monte Carlo với nguyên tử

Hàm Hamiltonian cho hệ N electron gồm có hai thành phần toán tử

động năng và thế năng

(2.34)

Với x = {x1,x2, xn} là biến độc lập spin và biến độc lập không gian có

liên quan tới những hạt khác nhau Động năng cổ điển

(2.35)

Viết theo toán tử động năng và chú ý đến động lượng

(2.36)

ở đây thành phần đầu tiên là toán tử động năng hạt nhân, thành phần

thứ hai là toán tử thế năng hạt nhân, M là khối lượng hạt nhân và m là khối

lượng electron Toán tử thế năng được xác định bởi công thức

(2.37)

Trong đó ri là khoảng cách giữa hạt nhân và electron, và rij là khoảng

cách giữa các electron

Chúng ta tìm ra những số gần đúng để giảm sự phức tạp của nhữngphương trình trên Phép tính xấp xỉ Born-Oppenheimer thường được sử dụng,trong cách tính này không tính đến sự chuyển động của hạt nhân

Bài toán nguyên tử hydro

Phương trình Schrodinger không gian cho nguyên tử hydro ba chiều cóthể được giải quyết bằng phép phân tích Chúng ta viết lại phương trình trong

(2.41)

Ba tọa độ này tạo ra lần lượt ba con số lượng tử xác định năng lượng của

hệ Chúng ta thu được ba tập hợp của những phương trình vi phân cấp hai bìnhthường mà có thể được giải quyết bằng phép phân tích

(2.43)

(2.44)

Trong đó và không đổi Những phương trình vi phân phụ thuộc

góc tạo ra hàm điều hòa hình cầu như là những kết quả với số lượng l và

Những hàm số này được cho bởi:

Cho , ml = 1 và

(2.50)

Với , Những số lượng tử và thể hiện động lượng quỹ

đạo và hình chiếu của động lượng quỹ đạo tương ứng và có được những giá trị

-3

Bảng 2.1 Hàm đối xứng cầu với giá trị và nhỏ nhất

Phương trình Schrodinger xuyên tâm cho nguyên tử hyđro có thể đượcviết

(2.53)Phương trình xuyên tâm có thể cũng được giải quyết bằng phép phântích tạo ra những lượng tử số ngoài Giải pháp cho phương trình

xuyên tâm được cho bởi những đa thức Laguerre Kết quả phân tích được chobởi

(2.54)

Trạng thái năng lượng cơ bản được xác định bằng , và tacó

1

2

Bảng 2.2 Hàm bán kính xuyên tâm của nguyên tử hydro

Hàm xuyên tâm đối xứng cầu thể hiện ở bảng 2.1 là rất phức tạp Việcgiới thiệu hàm cho phép sử dụng hàm điều hoà sóng quỹ đạo thực sự được ứngdụng trong phạm vi rộng Những hàm điều hoà phức tạp có liên quan

đến hàm xuyên tâm đối xứng cầu thể hiện

(2.60)Bằng việc phân tích - thành phần phụ thuộc vào hàm xuyên tâm

(2.63)

Phép biến đổi này không làm sự thay đổi bất kỳ lượng vật lý nào mà giảiphóng trong không gian con gồm có những số lượng tử số từ tính đối lập (động

lượng góc L bằng nhau trong cả hai những trường hợp này) Điều này có nghĩa

rằng phép biến đổi trên không làm thay đổi năng lượng, trừ phi có một chất từtính từ bên ngoài xâm nhập vào hệ Chúng ta sẽ sử dụng những hàm xuyên tâmliên tục, và chú ý rằng thay đổi thế cầu ngoài thế Coulomb sẽ không làm thay

đổi các hàm số liên tục

Khi giải quyết những phương trình bằng số, thường rất thuận lợi nếu viếtlại phương trình dưới dạng không đơn vị Một lý do là nhiều hằng số có sailệch rất lớn về giá trị, nên trong tính toán dẫn đến mất đi thế năng Lý do chínhkhác để làm điều này là phương trình trong có dạng không đơn vị dễ dàng hơn

đối với việc viết mã cho chương trình hạn chế lỗi Để làm như vậy, trước hết ta

đưa vào biến số , trong đó là hằng số ta có thể chọn Khi đó phươngtrình Schrodinger sẽ được viết lại như sau:

Trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro có năng lượng = -1/2, hoặc

= 13,6eV Hàm sóng tuyệt đối có được từ phương trình (2.66) là

(2.68)

Điều này tạo ra = -1/2 Theo nguyên lý biến thiên, ta có thể đưa ra

một tham số biến thiên tạo ra một hàm sóng

2.1.2.3 Phân tử H2+

kết và vị trí cân bằng giữa hai proton Electron được

đặt cách gốc toạ độ một khoảng r, một proton ở khoảng cách trong khiproton còn lại được đặt ở khoảng cách từ gốc toạ độ, tạo ra một khoảngcách đến electron và tương ứng

Trong việc giải phương trình Schrodinger cho hệ này ta sẽ bỏ qua các

động năng của proton, vì chúng nặng gấp 2000 lần electron và với giả thiếtrằng vận tốc của chúng không đáng kể so với vận tốc của electron

Ngoài ra ta bỏ qua lực hạt nhân vì chúng thể hiện ở những khoảng cách

đồ thị của thế năng

(2.73)

ở đây ta cố định , Chú ý rằng trong khoảng giữa

(các đơn vị là trong hình này với a0 = 0,0529) và ,

electron có thể xuyên qua rào điện thế Nếu tăng thì điện thế cũng trở nênnhỏ hơn Điều này ảnh hưởng đến năng lượng liên kết của phân tử Năng

lượng liên kết giảm khi khoảng cách R tăng lên Vì đối xứng nên ta có thể

thay đổi và , nên điều đó có nghĩa rằng xác suất cho electron dichuyển từ proton này sang proton khác phải cân bằng ở cả hai hướng

Hình 2.1 Đồ thị của với = 0,1 và 0,4 nm Đơn vị theo trục x là

Đường thẳng là năng lượng liên kết của nguyên tử hydro, = -13.6 eV.

Bây giờ ta có thể xây dựng mô hình để mô phỏng phân tử này Vì ta chỉ cómột electron, ta có thể giả thiết rằng trong giới hạn , nghĩa là khikhoảng cách giữa hai proton rất lớn, thì thực chất electron đó là ranh giới tớichỉ một trong số các proton Điều này phải tương ứng với một nguyên tửhydro Như một hàm sóng thử, ta có thể dùng hàm sóng cho năng lượng trạngthái cơ bản của nguyên tử hydro, hàm đó là

Vì ta không biết chính xác electron ở đâu nên ta phải kể đến cả khảnăng mà electron có thể được ghép đôi với một trong số hai proton Khi đó ta

định nghĩa được các hàm sóng hai nguyên tử hydro

(2.78)

Trong đó Phương trình có thể được viết lại là

(2.79) Nếu hàm được khai triển theo hệ hàm riêng của Hamiltonian ,

được sắp xếp theo các giá trị riêng tương ứng để

(2.80)

(2.81)

Theo công thức (2.80) thì trong giới hạn thời gian dài, toán tử thời gian

ảo đưa ra theo năng lượng tối thiểu Nếu các trạng thái ban đầu

không trực giao với trạng thái cơ bản, sau đó trạng thái đạt được là trạng tháicơ bản Để giới thiệu phép lấy mẫu điển hình, ta định nghĩa hàm số mới nhưsau

(2.82)Trong đó là hàm PDF và là phép tính xấp xỉ được biết đến nhiềunhất của trạng thái cơ bản chính xác Từ phương trình (2.82) ta được

(2.83)

Trong đó

(2.84)

dùng phép lấy tích phân Monte Carlo, phương trình (2.83) chuyển thành côngthức tích phân

(2.87)Trong đó là vectơ bất kỳ trong không gian cấu hình và bước chuyển

được xác định với xác suất

(2.86)phân nhánh khuyếch tán

(2.88)

Theo thuật toán Metropolis, ở giai đoạn kế tiếp quy trình phân nhánh

được thực hiện, phụ thuộc vào giá trị của yếu tố phân nhánh

(2.89)

Hạt có thể bị phá hủy hoặc các hạt được tạo ra, trong đó u là số

bất kỳ trong đoạn Để giữ cho số lượng các hạt cố định, năng lượngcần được điều chỉnh phù hợp

Bài toán fermion trong DMC

Thuật toán được thể hiện là chính xác theo cách tính về số, và dẫn đếntrạng thái cơ bản của hệ, với hệ electron do tính phản đối xứng của hàm sóng.Hạn chế này được thực hiện bằng việc áp dụng tính không đối xứng (cùng vớitất cả các hệ đối xứng được yêu cầu khác) theo hàm hướng dẫn Tuynhiên hàm không đối xứng thay đổi tín hiệu mỗi lần có hạt đi qua điểm nút,

được xem như là cách giải của phương trình

(2.90)

Điều này cho phép giải quyết bài toán fermion được nhiều người biết

đến Cách giải phổ biến nhất cho bài toán này là cách tính xấp xỉ điểm nút cố

định Trong phương pháp này tất cả các chuyển động hạt qua điểm nút

bị loại bỏ Thực tế mỗi hạt bị giam trong một vùng nào đó trong không giancấu hình Điều đó có nghĩa là trong cách tính xấp xỉ điểm nút cố định, trạngthái cuối cùng có cùng cấu trúc điểm nút với hàm hướng dẫn, vì vậy độ chínhxác trong các phép toán bị giới hạn bởi độ chính xác của các điểm nút trong

xác định bởi sự va chạm của các electron Các mặt phẳng va chạm là

chiều và chia không gian cấu hình thành các phần riêng biệt Trong hình2.2, hai ví dụ thể hiện cấu trúc điểm nút cho bốn electron trong bài tập mộtchiều có cùng hướng quay Hình ảnh đó đạt được cho những vị trí cố định củahai electron Chu kỳ trọn vẹn tương ứng với vị trí cố định ( trái lại chu kỳrỗng lại có sự di chuyển vị trí , các mặt phẳng va chạm được thể hiệnbằng đường thẳng Tuy nhiên nếu không gian là hai hoặc ba chiều thì điềukiện va chạm được thể hiện bởi hai hoặc ba phương trình ,vì vậy các không gian mặt phẳng là hoặc chiều, trái lại các bềmặt điểm nút là hoặc chiều Điều đó có nghĩa là, các bề mặt

điểm nút là kết quả của hình dạng của hàm hướng dẫn Một số cấu trúc điểmnút cho trường hợp đơn giản nhất của hai electron trong bài toán hai chiều

được thể hiện ở hình 2.3 Hình ảnh đó đạt được cho vị trí cố định củamột trong các electron (chu kỳ trọn vẹn) Điều đó chỉ ra rằng đối với cách kếthợp tuyến tính của hai hàm không đối xứng:

(2.91)Tiếp tục thay đổi tham số dẫn đến biến dạng các bề mặt điểm nút.Thực tế, các cấu trúc thể hiện ở hình 2.2 đạt được cho các hàm giống nhau và