Trình chiếu bất đẳng thức halanay suy rộng và ứng dụng

MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức HalanayMỞ ĐẦU - Nghiên cứu tính ổn định của hệ có trễ là một bài toán

Luận văn thạc sĩ khoa học toán họcBẤT ĐẲNG THỨC HALANAY SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay

MỞ ĐẦU

- Nghiên cứu tính ổn định của hệ có trễ là một bài toán quan trọng và

nhận được nhiều kết quả có ý nghĩa thực tiễn

cứu tính ổn định mũ suy rộng của hệ phi tuyến có trễ

MỞ ĐẦU

- Nghiên cứu tính ổn định của hệ có trễ là một bài toán quan trọng và

nhận được nhiều kết quả có ý nghĩa thực tiễn

- Bất đẳng thức Halanay suy rộng là một công cụ quan trọng trong nghiêncứu tính ổn định mũ suy rộng của hệ phi tuyến có trễ

Nội dung luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1 Một số kết quả bổ trợ

Chương 2 Bất đẳng thức Halanay suy rộng

Chương 3 Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếpcận bằng bất đẳng thức Halanay suy rộng

Chương 1 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

1.2 Phương pháp hàm Lyapunov - Krasovskii

Định nghĩa

Nghiệm x = 0 của (1) được gọi là ổn định nếu với mọi t0∈ R+, ε > 0,tồn tại δ = δ(t0, ε) > 0 sao cho với mọi nghiệm x (t, φ) của (1), nếu

kφk < δ thì kx(t, φ)k < ε, ∀t ≥ t0

Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục (GES) nếu tồn tại các

số dương α, β sao cho mọi nghiệm của (1) thỏa mãn đánh giá

kx(t, φ)k ≤ βkφke−α(t−t0, ∀t ≥ t0

1.2 Phương pháp hàm Lyapunov - Krasovskii

Định lí

các số dương λ1, λ2 và λ3 thỏa mãn các điều kiện sau

MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay

Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC HALANAY SUY RỘNG

MỞ ĐẦU Bất đẳng thức Halanay suy rộng Tính ổn định của một lớp hệ phi tuyến có trễ: Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay

ở đó p, q, r ≥ 0 là các hằng số và h là số dương cho trước

0 5 10 15 20 25 30 0

0.2 0.4 0.6

0.8

State trajectory x(t) Exponential estimate

x (t) = e −0 22t

Hình: Một quỹ đạo nghiệm của (4) với p = 2, q = r = 1 và h = 1

ở đó p, q, r ≥ 0 là các hằng số và h là số dương cho trước.

0.4 0.6 0.8

1

State trajectory x(t) Exponential estimate

x(t) = e −0 22t

Cùng với bất đẳng thức vi phân hàm (5), ta xét một hệ phương trình viphân hàm phi tuyến sau

˙

x (t) = F t, x (t), x (t − τ1(t)), , x (t − τm(t))
, t ≥ t0,

ở đó ϕ ∈ BC ((−∞, t0], Rn) là hàm ban đầu, τk(t), k ∈ [m], là các hàmtrễ Hàm F (t, u, u1, u2, , um) là hàm liên tục trên [t0, ∞) × Rm+1,

F (t, 0, , 0) = 0 và thỏa mãn điều kiện

Ta xét giả thiết sau

3.1 Tính ổn định mũ của một lớp hệ phi tuyến có

Định lí

Giả sử các giả thiết (A1)- (A4) được thỏa mãn Khi đó, hệ phương trình(12) là ổn định mũ suy rộng Cụ thể hơn, mọi nghiệm y (t, bφ của (12) thỏamãn đánh giá mũ

Rt

ϕ(s)ds

Định lí

Giả sử các giả thiết (A1)-(A4) được thỏa mãn Khi đó, hệ (6) là ổn định

mũ toàn cục suy rộng Hơn nữa, mọi nghiệm x (t, φ) của (6) thỏa mãn

Rt

t 0ϕ(s)ds

0 10 20 30 40 50 0

0.5 1 1.5 2 2.5

|| φ ||e−0.1363t

Hình: Quỹ đạo nghiệm của (13) với τ (t) = 4 + | sin t|

EM XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN THẦY CÔ

VÀ CÁC BẠN ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE!