Líi cam oanTæi cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS... C¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax khæng ìn i»u trong khæng gian Euclide.. C¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax ìn i»u m¤nh trong khæng
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
-
VŨ QUANG HUY
TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PHÂN MINIMAX
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN QUANG HUY
Trang 2Líi c£m ìn
Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi PGS TS Nguy¹n Quang Huy,ng÷íi ¢ ành h÷îng chån · t i v tªn t¼nh h÷îng d¨n º tæi câ thº
ho n th nh luªn v«n n y
Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c th¦y cæ phángSau ¤i håc, còng c¡c th¦y cæ gi¡o d¤y cao håc chuy¶n ng nh To¡n gi£it½ch, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2 ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡tr¼nh håc tªp
Nh¥n dàp n y tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia
¼nh v b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi chotæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n th nh luªn v«n
H Nëi, th¡ng 12 n«m 2014
T¡c gi£
Vô Quang Huy
Trang 3Líi cam oan
Tæi cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS TS Nguy¹n Quang Huy,luªn v«n Th¤c s¾ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi · t i: T½nh ên ànhcõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax ÷ñc ho n th nh bði nhªnthùc cõa b£n th¥n t¡c gi£
Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu thüc hi»n luªn v«n, t¡c gi£ ¢ k¸ thøanhúng th nh tüu cõa c¡c nh khoa håc vîi sü tr¥n trång v bi¸t ìn
H Nëi, th¡ng 12 n«m 2014
T¡c gi£
Vô Quang Huy
Trang 4Möc löc
Mð ¦u 1
Ch÷ìng 1 Giîi thi»u v· b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax 4
Ch÷ìng 2 C¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax ìn i»u 10
2.1 C¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax khæng ìn i»u trong khæng gian Euclide 15
2.2 C¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax gi£ ìn i»u trong khæng gian Banach ph£n x¤ 18
2.3 C¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax ìn i»u m¤nh trong khæng gian Hilbert 21
Ch÷ìng 3 p döng cho b i to¡n minimax câ tham sè 27
3.1 B i to¡n minimax câ tham sè 27
3.2 T½nh Lipschitz cõa tªp iºm y¶n ngüa 28
K¸t luªn 32
T i li»u tham kh£o 33
Trang 5Mð ¦u
1 L½ do chån · t i
B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax (MVI) l mët mæ h¼nh to¡n håcmîi m nâ ¢ ÷ñc giîi thi»u v kh£o s¡t l¦n ¦u ti¶n trong [9] Chóng
ta câ thº °t ra c¥u häi:
(a) B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax l g¼?
(b) T¤i sao ph£i nghi¶n cùu c¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax?(c) Sü kh¡c bi»t giúa mæ h¼nh mîi n y v b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n(VI) quen thuëc?
C¥u häi (a) ÷ñc tr£ líi r¬ng MVI l mæ h¼nh t÷ìng tü nh÷ mæ h¼nhb§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n quen thuëc m nâ cho ta mët cæng cö húu hi»u
º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n minimax d¤ng:
max
x∈K f (x, y),
ð â L, K l tªp lçi, f : L × K → R
MVI l mët d¤ng mð rëng cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n quen thuëc
l c¥u tr£ líi cho c¥u häi (c)
C¥u häi (b) câ thº ÷ñc tr£ líi ìn gi£n nh÷ sau: MVI cung c§p mëtcæng cö tèt º nghi¶n cùu c¡c b i to¡n minimax cho bði c¡c h m kh£ vi
v h m lçi
Vai trá cõa MVI èi vîi c¡c b i to¡n minimax kh£ vi kh¡ gièng vîivai trá cõa VI èi vîi c¡c b i to¡n tèi ÷u kh£ vi; chi ti¸t quan h» giúa
Trang 6VI v b i to n tèi ÷u kh£ vi tr¶n c¡c tªp r ng buëc lçi ëc gi£ câ thºtham kh£o, ch¯ng h¤n trong [11, 12, 25] T½nh ch§t li¶n töc cõa h m gi¡trà iºm y¶n ngüa cõa tªp iºm y¶n ngüa cõa b i to¡n minimax câ tham
sè ¢ ÷ñc nghi¶n cùu bði Gi¡o s÷ Ho ng Töy trong [17] Quincampoix
v Zlateva [14] ¢ thi¸t lªp mët sè i·u ki»n õ cho t½nh Lipschitz cõatªp iºm y¶n ngüa
Mët c¡ch tü nhi¶n ta câ thº °t c¥u häi r¬ng câ thº sû döng MVI ºnghi¶n cùu t½nh ch§t Lipschitz cõa tªp iºm y¶n ngüa ÷ñc hay khæng?
· t i: T½nh ên ành cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimaxnh¬m t¼m hiºu MVI v ùng döng v o vi»c nghi¶n cùu t½nh Lipschitz cõatªp iºm y¶n ngüa
2 Möc ½ch nghi¶n cùu
Lþ thuy¸t b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax
v t½nh Lipschitz cõa tªp iºm y¶n ngüa
3 Nhi»m vö nghi¶n cùu
Nghi¶n cùu b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n imax, b i to¡n minimax, t½nh Lipschitz cõa tªp iºm y¶n ngüa cõa c¡c
min-b i to¡n minimax câ tham sè
4 èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu
B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax, b i to¡nminimax v iºm y¶n ngüa
Trang 75 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu
Têng hñp, ph¥n t½ch, ¡nh gi¡
6 âng gâp mîi cõa · t i
Thi¸t lªp ÷ñc mët i·u ki»n õ cho t½nh Lipschitz cõa tªp iºm y¶nngüa trong b i to¡n minimax câ tham sè
Trang 8Ch÷ìng 1 Giîi thi»u v· b§t ¯ng thùc
Cho K, L l c¡c tªp hñp lçi, âng, kh¡c réng trong khæng gian Banach
X v Y t÷ìng ùng Gi£ sû r¬ng f : Ω → R l h m kh£ vi li¶n töc Fr²chettr¶n tªp con mð Ω cõa X × Y sao cho K × L ⊂ Ω B i to¡n minimax
÷ñc cho bði c¡c tªp lçi K, L v h m f câ d¤ng
max
x∈K f (x, y), (1.1)tùc l t¼m mët iºm (¯x, ¯y) ∈ K × L sao cho
f (¯x, y) ≤ f (¯x, ¯y) ≤ f (x, ¯y) ∀x ∈ K, ∀y ∈ L (1.2)N¸u (¯x, ¯y) ∈ K × L thäa m¢n (1.2) th¼ ta nâi r¬ng nâ l iºm y¶n ngüacõa b i to¡n minimax (1.1) Theo [17] ta °t
Trang 9Tø c¡ch °t tr¶n ta suy ra r¬ng η ≤ γ N¸u (¯x, ¯y) l iºm y¶n ngüa cõa(1.1) d¹ d ng ch¿ ra r¬ng η ≥ f (¯x, ¯y) ≥ γ; do â η = γ = f (¯x, ¯y) Dovªy sü tçn t¤i cõa iºm y¶n ngüa suy ra
º thuªn ti»n cho vi»c tr¼nh b y, chóng tæi ÷a ra chùng minh c¡c
i·u ki»n c¦n v õ cho mët iºm l iºm y¶n ngüa trong c¡c k¸t qu£d÷îi ¥y m câ thº ¢ quen bi¸t èi vîi ng÷íi åc
ành lþ 1.1 N¸u (¯x, ¯y) ∈ K × L l iºm y¶n ngüa cõa (1.1) th¼
hF2(¯x, ¯y) , y − ¯yi ≤ 0 ≤ hF1(¯x, ¯y) , x − ¯xi ∀x ∈ K, ∀y ∈ L, (1.3)trong â F1(u, v) := ∇xf (u, v) v F2(u, v) := ∇yf (u, v) t÷ìng ùng l gradient cõa f(x, y) t¤i (u, v) theo x v y
Chùng minh Gi£ sû r¬ng (¯x, ¯y) ∈ K × L l mët iºm y¶n ngüa cõa(1.1) L§y tòy þ (x, y) ∈ K × L V¼ yt := ¯y + t (y − ¯y) = (1 − t)¯y + tythuëc L vîi måi t ∈ (0; 1) v v¼ b§t ¯ng thùc ¦u ti¶n trong (1.2) thäam¢n vîi b§t ký y ∈ L, n¶n ta câ
Trang 10ành lþ 1.2 Gi£ sû r¬ng vîi måi (x, y) ∈ K × L, f(·, y) l gi£ lçi tr¶n
K v f(x, ·) l gi£ lãm tr¶n L, ngh¾a l
(u, u0 ∈ K, h∇xf (u, y), u0 − ui ≥ 0) ⇒ f (u0, y) − f (u, y) ≥ 0
v
(v, v0 ∈ K, h∇yf (x, v), v0 − vi ≤ 0) ⇒ f (x, v0) − f (x, v) ≤ 0
N¸u (¯x, ¯y) ∈ K × L thäa m¢n i·u ki»n (1.3) trong â F1(u, v) :=
∇xf (u, v) v F2(u, v) := ∇yf (u, v) th¼ (¯x, ¯y) ∈ K × L l iºm y¶n ngüacõa (1.1) °c bi»t, n¸u (1.3) thäa m¢n v f(·, y) l lçi tr¶n K v f(x, ·)
l lãm tr¶n L vîi måi c°p (x, y) ∈ K × L cè ành, th¼ (¯x, ¯y) ∈ K × L l
iºm y¶n ngüa cõa (1.1)
Chùng minh Gi£ sû r¬ng (¯x, ¯y) ∈ K × L v b§t ¯ng thùc (1.3) thäam¢n L§y tòy þ x ∈ K Tø b§t ¯ng thùc thù hai cõa (1.3) ta suy rah∇xf (¯x, ¯y), x − ¯xi = ∇xf (¯x, ¯y)(x − ¯x) = hF1(¯x, ¯y), x − ¯xi ≥ 0.K¸t hñp vîi t½nh gi£ lçi cõa f(·.¯y) ta ÷ñc f(x, ¯y) − f(¯x, ¯y) ≥ 0 v suy
ra b§t ¯ng thùc thù hai trong (1.2) B§t ¯ng thùc thù nh§t cõa (1.2)
ành lþ 1.1 cho th§y ta câ thº xem x²t (1.3) nh÷ mët mæ h¼nh to¡nhåc ëc lªp vîi b i to¡n ban ¦u (1.1) º thº hi»n sü li¶n h» vîi mæ h¼nhban ¦u v nh§n m¤nh c¡c ùng döng thay th¸ cõa nâ èi vîi b i to¡ngèc (1.1), chóng ta câ thº gåi l b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax
ành ngh¾a 1.3 Cho X, Y l khæng gian Banach vîi khæng gian èing¨u k½ hi»u t÷ìng ùng l X∗ v Y∗ Gi£ sû K ⊂ X, L ⊂ Y l c¡c tªp hñp
Trang 11lçi âng kh¡c réng v F1 : K × L → X∗, F2 : K × L → Y∗ l c¡c h m sècho tr÷îc tòy þ B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax ÷ñc ành ngh¾a bðitªp hñp dú li»u {K, L, F1, F2} l b i to¡n t¼m mët iºm (¯x, ¯y) ∈ K × Lsao cho
hF2(¯x, ¯y) , y − ¯yi ≤ 0 ≤ hF1(¯x, ¯y) , x − ¯xi ∀x ∈ K, ∀y ∈ L (MVI)Tªp nghi»m cõa (MVI) k½ hi»u l Sol(MVI)
Chó þ 1.4 Theo ành lþ 1.1, n¸u tªp nghi»m cõa (1.1) ÷ñc k½ hi»ubði S th¼ S ⊂ Sol(MV I) vîi F1 = ∇xf v F2 = ∇yf Hìn núa, n¸u
h m f(·, y) l gi£ lçi tr¶n K v h m f(x, ·) l gi£ lãm tr¶n L vîi måi(x, y) ∈ K × L th¼ theo ành lþ 1.2 ta câ S = Sol(MV I) Do â, (MVI)
câ thº húu ½ch trong vi»c nghi¶n cùu b i to¡n minimax (1.1)
Chó þ 1.5 Kh¡i ni»m h m gi£ lçi âng vai trá quan trång trong lþthuy¸t tèi ÷u (ch¯ng h¤n xem [13, Chapter 9]) Theo [13, Theorem 5, p.143], n¸u f(·, y) l gi£ lçi tr¶n K th¼ nâ l tüa lçi tr¶n K, ngh¾a l
f ((1 − t)x + tu, y) ≤ max {f(x, y), f(u, y)} ∀x, u ∈ K; ∀t ∈ (0; 1) Hìn núa, f(·, y) công l tüa lçi ng°t tr¶n K, ngh¾a l
f ((1 − t)x + tu, y) < max {f(x, y), f(u, y)}
∀x, u ∈ K; f (x, y) 6= f (u, y); ∀t ∈ (0; 1) T½nh tüa lçi v tüa lãm cõa c¡c h m l gi£ thi¸t cì b£n trong mët sè
ành lþ minimax (ch¯ng h¤n ành lþ Sion [1, Theorem 7, p 218] v c¡ck¸t qu£ li¶n quan trong [17, Section 2]) Ng÷íi åc câ thº tham kh£o [3,
Trang 12Theorem 2.1(ii), p 92] v· i·u ki»n õ º câ t½nh tüa lçi k²o theo t½nhgi£ lçi C¡c y¸u tè cì b£n v· t½nh lçi cõa c¡c h m v t½nh ìn i»u cõac¡c to¡n tû câ thº tham kh£o trong [7].
Chó þ 1.6 B i to¡n (1.1) câ thº ÷ñc mæ t£ nh÷ trá chìi èi kh¡nghai ng÷íi (two- person zero- sum) º nh§n m¤nh t½nh quan trång trongnhi·u ùng döng, (1.1) ÷ñc coi l biºu di¹n cõa mët b i to¡n minimaxchu©n tc Ng÷íi åc câ thº tham kh£o [1, 2, 16] v· nhúng ki¸n thùc cìb£n cõa lþ thuy¸t minimax v tham kh£o [14, 17] vîi mët sè k¸t qu£ g¦n
¥y v· t½nh ên ành cõa c¡c iºm y¶n ngüa v ho°c gi¡ trà y¶n ngüa,
v c¡c ành lþ minimax Nhi·u th nh tüu mîi cõa lþ thuy¸t minimax ¢
÷ñc ùng döng trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh v tèi ÷u (xem [15]) Mët
v i ùng döng cõa lþ thuy¸t minimax cho t½nh ên ành vi ph¥n cõa c¡c
b i to¡n tèi ÷u li¶n quan ¸n c¡c ¡nh x¤ a trà v tçn t¤i nghi»m cõac¡c b§t ¯ng thùc tüa bi¸n ph¥n suy rëng ÷ñc tr¼nh b y t÷ìng ùng trong[6] v [4]
X²t b i to¡n (MVI) v °t G(x, y) = (F1(x, y), −F2(x, y)) vîi måi(x, y) ∈ K × L Khi â, gi¡ trà cõa h m G(x, y) ∈ X∗ × Y∗ t¤i (x, y) ∈
K × L ÷ñc cho bði
hG(x, y), (u, v)i = hF1(x, y), ui − hF2(x, y), vi (1.4)Trø khi ph¡t biºu kh¡c, chu©n trong khæng gian t½ch X × Y ÷ñc ànhngh¾a bði
k(x, y)k = kxk + kyk Chóng ta quan t¥m ¸n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n x¡c ành bði tªp lçi
âng K × L ⊂ X × Y v to¡n tû G : K × L → X∗ × Y∗:
Trang 13T¼m (¯x, ¯y) ∈ K × L thäa m¢n
hG (¯x, ¯y) , (x, y) − (¯x, ¯y)i ≥ 0, ∀(x, y) ∈ K × L (1.5)M»nh · 1.7 Bao h m thùc (¯x, ¯y) ∈ Sol(MV I) thäa m¢n n¸u v ch¿n¸u (¯x, ¯y) l mët nghi»m cõa (1.5)
Chùng minh N¸u (¯x, ¯y) ∈ Sol(MV I) th¼ vîi måi (x, y) ∈ K × L, ta câ
hF2(¯x, ¯y) , y − ¯yi ≤ 0 ≤ hF1(¯x, ¯y) , x − ¯xi (1.6)D¹ th§y tø (1.6) suy ra hG(¯x, ¯y), (x, y) − (¯x, ¯y)i ≥ 0 vîi måi (x, y) ∈
K × L Ng÷ñc l¤i, n¸u (¯x, ¯y) l mët nghi»m cõa (1.5) th¼
hG(¯x, ¯y), (x, y) − (¯x, ¯y)i ≥ 0 ∀(x, y) ∈ K × L
Thay x = ¯x, tø i·u ki»n cuèi còng chóng ta suy ra r¬ng hF2(¯x, ¯y), y − ¯yi ≤
0 vîi måi y ∈ L T÷ìng tü, thay y = ¯y ta ÷ñc 0 ≤ hF1(¯x, ¯y), x − ¯xi vîimåi x ∈ K Tø â ta câ (1.6), do vªy (¯x, ¯y) ∈ Sol(MV I)
Trang 14Ch÷ìng 2 C¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n
minimax ìn i»u
Vîi c¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, t½nh bùc, t½nh ìn i»u, t½nh ìn
i»u ng°t, t½nh gi£ ìn i»u, t½nh gi£ ìn i»u ng°t v t½nh ìn i»um¤nh l c¡c kh¡i ni»m cì b£n c¦n thi¸t D÷îi ¥y tr÷îc ti¶n tæi s³ tr¼nh
b y c¡c kh¡i ni»m â, ÷ñc tham kh£o trong [7, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25]
Sû döng ¡nh x¤ G = (F1, −F2) : K × L → X∗× Y∗ ÷ñc cho bði (1.4)
v b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.5), c¡c kh¡i ni»m t½nh bùc, t½nh ìn i»u,t½nh ìn i»u ng°t, t½nh gi£ ìn i»u v t½nh gi£ ìn i»u m¤nh trong
lþ thuy¸t cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau:
(i) B i to¡n (1.5) ÷ñc gåi l thäa m¢n i·u ki»n bùc n¸u tçn t¤i mët
iºm (x0, y0) ∈ K × L sao cho
hG(x, y) − G(u, v), (x − u, y − v)i ≥ 0 ∀(x, y), (u, v) ∈ K × L.(iii) B i to¡n (1.5) ÷ñc gåi l ìn i»u ng°t n¸u
hG(x, y) − G(u, v), (x − u, y − v)i > 0
Trang 15∀(x, y), (u, v) ∈ K × L, (x, y) 6= (u, v).
(iv) B i to¡n (1.5) ÷ñc gåi l gi£ ìn i»u n¸u
((x, y), (u, v) ∈ K × L, hG(u, v), (x − u, y − v)i ≥ 0)
⇒ hG(x, y), (x − u, y − v)i ≥ 0
(v) B i to¡n (1.5) ÷ñc gåi l gi£ ìn i»u ng°t n¸u
((x, y), (u, v) ∈ K × L, (x, y) 6= (u, v), hG(u, v), (x − u, y − v)i ≥ 0)
Ta câ ngay c¡c ph²p t§t suy: ìn i»u m¤nh ⇒ ìn i»u ng°t, ìn
i»u ng°t ⇒ ìn i»u, ìn i»u ⇒ gi£ ìn i»u, ìn i»u ng°t ⇒ gi£ ìn
i»u ng°t, v ìn i»u m¤nh ⇒ t½nh bùc Nhî l¤i r¬ng G = (F1, −F2),
ta câ th¸ vi¸t l¤i c¡c ành ngh¾a (i)-(vi) t÷ìng ÷ìng nh÷ sau
ành ngh¾a 2.1 (MVI) ÷ñc gåi l thäa m¢n i·u ki»n bùc n¸u tçn t¤imët iºm (x0, y0) ∈ K × L sao cho
Trang 16ành ngh¾a 2.2 (MVI) ÷ñc gåi l b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax
∀(x, y), (u, v) ∈ K × L, (x, y) 6= (u, v)
ành ngh¾a 2.4 (MVI) ÷ñc gåi l b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimaxgi£ ìn i»u n¸u
((x, y), (u, v) ∈ K × L, hF1(u, v) , x − ui − hF2(u, v) , y − vi ≥ 0)
ành ngh¾a 2.6 (MVI) ÷ñc gåi l b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax
ìn i»u m¤nh n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè α > 0 sao cho
hF1(x, y) − F1(u, v) , x − ui − hF2(x, y) − F2(u, v) , y − vi
≥ αkx − uk2 + ky − vk2 ∀(x, y), (u, v) ∈ K × L (2.5)
Trang 17Chó þ 2.7 MVI gi£ ìn i»u ng°t câ thº câ nhi·u nh§t mët nghi»m.
i·u n y suy ra tø c¡c ành ngh¾a tr¶n, M»nh · 1.7 v [20, Lemma 3.2].B¥y gií chóng ta x²t mët b i to¡n minimax, b i to¡n m d¨n ¸nmët MVI ìn i»u
V½ dö 2.8 X²t b i to¡n (1.1), trong â X = Rn
, Y = Rm,
f (x, y) = xTByvîi B l ma trªn c§p n × m v T k½ hi»u l sü chuyºn và ma trªn Do
F1(x, y) = ∇xf (x, y) = By,
F2(x, y) = ∇yf (x, y) = BTx,n¶n ta câ
hG(x, y) − G(u, v), (x − u, y − v)i
= hBy − Bv, x − ui + Tx + BTu, y − v
= hB(y − v), x − ui − hx − u, B(y − v)i = 0
i·u n y ngh¾a l MVI t÷ìng ùng vîi b i to¡n minimax ÷ñc x²t l ìn
Trang 18vîi A ∈ Rn×n v C ∈ Rm×m l c¡c ma trªn èi xùng, B ∈ Rn×m,
a ∈ Rn, b ∈ Rm Bði v¼
F1(x, y) = ∇xf (x, y) = Ax + By + a,
F2(x, y) = ∇yf (x, y) = BTx − Cy + b,n¶n ta câ
G(x, y) = (Ax + By + a, −BTx + Cy − b)
Do â
hG(x, y) − G(u, v), (x − u, y − v)i
= hA(x − u) + B(y − v), x − ui + T(x − u) + C(y − v), y − v
= hA(x − u), x − ui + hC(y − v), y − vi + hB(y − v), x − ui
− h(x − u), B(y − v)i
= hA(x − u), x − ui + hC(y − v), y − vi
Tø ¯ng thùc sau còng ta suy ra MVI t÷ìng ùng vîi b i to¡n minimax
÷ñc x²t l ìn i»u m¤nh n¸u v ch¿ n¸u uTAu > 0 vîi måi u ∈(spanK)\ {0} v vTCv > 0 vîi måi v ∈ (spanL)\ {0}, vîi spanM l khæng gian con tuy¸n t½nh sinh bði M Rã r ng MVI ð ¥y l ìn i»ukhi v ch¿ khi uTAu ≥ 0 vîi måi u ∈ spanK v vTCv ≥ 0 vîi måi
v ∈ spanL ¡ng chó þ l vîi MVI n y, t½nh ìn i»u ng°t t÷ìng ÷ìngvîi t½nh ìn i»u m¤nh Ta công th§y r¬ng tø °c tr÷ng c§p hai cõa t½nhlçi cõa c¡c h m gi¡ trà thüc kh£ vi [18] (công câ thº xem [13, 16, 19])suy ra t½nh ch§t uTAu ≥ 0 vîi måi u ∈ spanK v vTCv ≥ 0 vîi måi
v ∈ spanL t÷ìng ÷ìng vîi t½nh lçi cõa f(·, y) vîi måi y ∈ L v t½nh
Trang 19lãm cõa f(x, ·) vîi måi x ∈ K Do â, t½nh ìn i»u cõa MVI n y t÷ìng
÷ìng vîi i·u ki»n f(x, y) l h m lçi-lãm tr¶n K × L
B¥y gií chóng ta s³ x²t c¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax trongc¡c khæng gian cö thº, ð â s³ nghi¶n cùu sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»mcõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax
hx∗, xi cõa hai v²ctì thuëc Rn
ành lþ Hartman-Stampacchia [11] ch¿ ¡p döng èi vîi c¡c b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Euclide húu h¤n chi·u, ð â khæng áihäi c¡c gi£ thi¸t v· t½nh ìn i»u
ành lþ 2.10 ([11], Theorem 3.1, p 12) N¸u K ⊂ Rn l tªp con lçicompact kh¡c réng v F : K → Rn l mët h m li¶n töc th¼ b i to¡n b§t
Trang 20li¶n töc Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax (MVI) cânghi»m.
Chùng minh Gi£ sû G : K×L → Rn
×Rm x¡c ành bði cæng thùc (1.4)
Tø gi£ thi¸t ta suy ra r¬ng K ×L ⊂ Rn
×Rm l mët tªp lçi compact kh¡créng, G l ¡nh x¤ li¶n töc Theo ành lþ 2.10, b i to¡n (1.5) câ nghi»m(¯x, ¯y) ∈ K × L Tø M»nh · 1.7 ta k¸t luªn r¬ng (¯x, ¯y) ∈ Sol(MV I) Chó þ 2.12 N¸u L l ìn th¼ ành lþ 2.11 trð th nh ành lþ 2.10
ành lþ 2.11 d¨n ¸n ph¡t biºu d÷îi ¥y v· sü tçn t¤i cõa c¡c iºmy¶n ngüa K¸t qu£ n y câ thº l quen thuëc Nâ l mët h» qu£ cõa ành
lþ minimax Sion ([1, Theorem 7, p 218])
ành lþ 2.13 X²t b i to¡n minimax (1.1) v gi£ sû r¬ng K ⊂ Rn v
L ⊂ Rm l c¡c tªp con lçi compact kh¡c réng N¸u f(·, y) l gi£ lçi tr¶n
K v f(x, ·) l gi£ lãm tr¶n L vîi måi (x, y) ∈ K × L th¼ (1.1) câ iºmy¶n ngüa °c bi»t, n¸u f(·, y) l lçi tr¶n K v f(x, ·) l lãm tr¶n L vîimåi c°p cè ành (x, y) ∈ K × L th¼ (1.1) câ iºm y¶n ngüa
Chùng minh °t F1(u, v) = ∇xf (u, v) v F2(u, v) = ∇yf (u, v) vîimåi (u, v) ∈ K ×L Theo ành lþ 2.11, (MVI) câ nghi»m (¯x, ¯y) ∈ K ×L
p döng ành lþ 1.2 ta câ i·u ph£i chùng minh N¸u K v F l bà ch°n th¼ ta c¦n i·u ki»n bùc trong ành ngh¾a 2.1.M°t kh¡c, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n minimax ÷ñc x²t khæng câ nghi»m
ành lþ 2.14 Gi£ sû r¬ng K ⊂ Rn
, L ∈ Rm l c¡c tªp hñp con lçi ângkh¡c réng v F1 : K × L → Rn, F2 : K × L → Rm l c¡c h m li¶n töc.N¸u (MVI) thäa m¢n i·u ki»n bùc th¼ nâ câ nghi»m