Một số tính chất độ cao của hàm phân hình p - ADIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN CÔNG LÝ MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2014... Trong những năm cuối thế kỷ XX, lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN CÔNG LÝ

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2014

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC 3

1.1 Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤ 3

1.2 Xây dựng trường số hữu tỷ p-adic ¤ 7p 1.3 Mở rộng đóng đại số đầy đủ £ của trường các số p ¤ 12p Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỘ CAO CỦA HÀM PHÂN HÌNH

P – ADIC 14

2.1 Đa giác định giá 14

2.2 Độ cao của chuỗi lũy thừa 18

2.3 Độ cao của hàm chỉnh hình 21

2.4 Độ cao của hàm phân hình 23

2.5 Các tính chất cơ bản của độ cao 24

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

MỞ ĐẦU

Trong những năm cuối thế kỷ XX, lý thuyết hàm trên trường phi Ácsimét phát triển mạnh mẽ và tìm thấy nhiều ứng dụng trong những vấn đề khác nhau của toán học.

Lý thuyết độ cao của hàm chỉnh hình p-adic một hay nhiều biến đã được xây dựng lần đầu tiên trong các công trình của Hà Huy Khoái Luận văn của tôi dựa trên tài liệu [3], [5] để tìm hiểu một số tính chất độ cao của hàm phân hình p-adic.Ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo và kết luận, dự kiến luận văn được chia thành hai chương như sau:

Chương 1 Trường các số phức p – adic

Trong chương này, chúng tôi hệ thống các kiến thức về xây dựng trường số hữu tỷ p-adic ¤ và dẫn ra một số kết qủa của quá trình xây dựng bao đóng đại p

số, đầy đủ của trường ¤ để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau.p

Chương 2 Một số tính chất độ cao của hàm phân hình p-adic

Trong chương này chúng tôi trình bày độ cao của chuỗi lũy thừa, hàm chỉnh hình, hàm phân hình và một số tính chất cơ bản của độ cao

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học và chỉ bảo tận tình của TS Mai Văn Tư - Khoa Toán của Trường Đại Học Vinh Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn các quý cơ quan đã tạo điệu kiện giúp đỡ về mọi mặt để luận văn này hoàn thành đúng kế hoạch

Tôi xin cảm ơn quý Thầy Cô khoa Toán, Phòng Đào tạo sau Đại Học Trường Đại Học Vinh và Trường Đại Học Đồng Tháp, quý Thầy Cô tham gia giảng dạy khóa Cao học toán 2012 - 2014 lời cảm ơn sâu sắc công ơn dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường Đồng thời tôi cũng gửi lời cảm ơn đến tập

thể lớp Cao học Toán Khóa 20 đã động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn.

Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và thời gian học tập, nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của quý Thầy Cô và độc giả quan tâm đến luận văn này

Nghệ An, ngày 10 tháng 10 năm 2014

Tác giả

Chương 1 TRƯỜNG CÁC SỐ PHỨC P-ADIC 1.1 Giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤

1.1.1.Định nghĩa, sự phụ thuộc và sự độc lập

1.1.1.1 Định nghĩa

Giả sử K là một trường, giá trị tuyệt đối x trên K là hàm số tự K vào

¡ (ký hiệu ( )v x = x v,∀ ∈x K ), thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau đây:

a x v ≥0, với mọi x∈K và x v =0 khi và chỉ khi x = 0.

- Khi chỉ làm việc với một giá trị tuyệt đối ta sẽ viết x thay cho x và v

nói về như giá trị tuyệt đối trên trường K

- Giá trị tuyệt đối trên trường K xác định một mêtric Khoảng cách giữa

hai điểm x, y thuộc K trong mêtric đó bằng x y− Như vậy giá trị tuyệt đối trên trường K xác định một tôpô Bộ (K,v) gồm trường K và hàm giá trị tuyệt đối v

trên K được gọi là trường định giá (còn gọi là trường định chuẩn)

1.1.1.3 Định nghĩa

Hai giá trị tuyệt đối trên một trường K được gọi là phụ thuộc (còn gọi là tương đương) nếu chúng xác định cùng một tôpô trên K Trong trường hợp trái lại, chúng được gọi là độc lập (còn gọi là không tương đương)

Định lý sau đây nêu lên tiêu chuẩn cần và đủ để hai giá trị tuyệt đối trên một trường K là phụ thuộc lẫn nhau (hay chúng tương đương nhau).

1.1.1.4 Định lý

Giả sử .v1 = 1 và

.v = là hai giá trị tuyệt đối không tầm thường trên

trường K Chúng phụ thuộc lẫn nhau khi và chỉ khi từ hệ thức x1<1 suy ra

Định lý được chứng minh.

1.1.2 Phân loại giá trị tuyệt đối trên trường số hữu tỷ ¤

Giả sử 0 x≠ ∈¤ , khi đó x có thể viết dưới dạng:

1 2

1 2 k

k

x= ±p pα α pα ,trong đó p j j, =1,2, ,k là các số nguyên tố, đôi một khác nhau và αjlà các số

nguyên Các số nguyên αj được gọi là chỉ số lũy thừa của số nguyên tố p có j

mặt trong sự phân tích trên của số hữu tỷ x.

ax ,

p

d x x y p

Người ta gọi p là giá trị tuyệt đối p – adic.

1.1.2.2 Nhận xét

Trên trường số hữu tỷ ¤ , ngoài giá trị tuyệt đối tầm thường và giá trị tuyệt đối thông thường = .∞, chúng ta đã chỉ ra một họ các giá trị tuyệt đối p –

adic Vấn đề đặt ra là trên ¤ có tồn tại các giá trị tuyệt đối khác nữa hay không ?

Định lý Ostrowski sẽ trả lời cho câu hỏi đó

1.1.2.3 Định lý (Ostrowski)

Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên ¤ đều tương đương (hay phụ thuộc) với giá trị tuyệt đối p – adic, trong đó p là số nguyên tố bất kỳ, hoặc

p= ∞.

1.2 Xây dựng trường số hữu tỷ p-adic ¤ p

1.2.1 Dãy Cauchy (dãy cơ bản)

Giả sử p là một số nguyên tố cố định Dãy { }x các số hữu tỷ được gọi n

là dãy cơ bản theo giá trị tuyệt đối p – adic p nếu với mọi ε >0, luôn tồn tại số

tự nhiên n sao cho với mọi 0 m n n, > 0 ta có: x m −x n <ε

1.2.2 Quan hệ tương đương

Gọi X là tập hợp các dãy cơ bản các số hữu tỷ theo giá trị tuyệt đối p –

adic p Ta xác định một quan hệ hai ngôi trên X như sau:

Đặc biệt, với x∈¤ ta kí hiệu { }x là dãy Cauchy hằng và { } { }x : x' khi

và chỉ khi x x= ' Giá trị tuyệt đối trên ¤ được cảm sinh bởi giá trị tuyệt đối p – p

adic .p trên ¤

Nếu a={ }a j , ta định nghĩa a p limj a j p

→∞

= , trong đó { }a là phần tử đại j

diện của lớp tương đương a

Mệnh đề sau đây khẳng định rằng định nghĩa giá trị tuyệt đối trên ¤ p

¤ cùng hai phép toán được xây dựng như trên lập thành một trường

gọi là trường các số hữu tỷ p-adic và ¤ là trường mở rộng của trường các số p hữu tỷ ¤

1.2.7 Bổ đề

Nếu x∈¤ và x p ≤1, với mỗi j luôn tồn tại số nguyên α sao cho:

,

j p

= là phân số tối giản, vì x p ≤1 nên (b p, j) =1, khi đó

tồn tại các số nguyên m,n sao cho mb np+ j =1

Đặt α =am. Chúng ta có:

1

Vậy số nguyên α có thể chọn trong tập {0,1,2, ,p j −1 } Bổ đề được chứng minh

Định lý sau đây làm cơ sở cho việc xác định các số nguyên p – adic

Khi đó a'={ }a'j với a'=a p m'thỏa mãn giả thiết của định lý 1.2.8 và a a p= ' −m'

có đại diện tương ứng là { }a , trong đó j ' m',

2 1

thuộc ¤ mà trong biểu thức xác định chúng không chứa lũy thừa âm của số p

nguyên tố p Mỗi phần tử của ¢ được gọi là số nguyên p - adic Vậyp

=

=∑ suy ra a p = p−m, trong đó m=min{ j a: j ≠0 }

Chúng ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau

của ¢ còn gọi là các phần tử đơn vị (hay phần tử khả nghịch) của vành *p ¢ Kết p

quả sau đây cho chúng ta dấu hiệu nhận biết một số nguyên p - adic là đơn vị

Mọi số p - adic có dạng α = p mε , trong đó m∈¢, ε là phần tử khả nghịch.

1.3 Mở rộng đóng đại số đầy đủ £ của trường các số p ¤ p

Trong trường hợp thực, bao đóng đại số của trường số thực ¡ là trường

số phức £ Có thể xem £ là không gian vectơ hai chiều trên ¡ Vấn đề đặt ra là

từ ¤ , bằng phương pháp tương tự có thể mở rộng nó thành một trường đóng đại p

số và đầy đủ hay không? Câu trả lời là khẳng định song có những điểm khác nhau, chẳng hạn giá trị tuyệt đối trên ¡ và trên ¤ khác nhau nên tôpô trên p

chúng cũng khác nhau Mặt khác, bao đóng đại số của ¡ là một trường đầy đủ, còn bao đóng đại số của ¤ không có tính chất đó Trong mục này chúng tôi dẫn p

ra một số kết quả của quá trình xây dựng bao đóng đại số, đầy đủ của trường ¤ p

Ký hiệu ¤ p là bao đóng đại số của ¤ Nếu p α ∈¤ p, thì αlà nghiệm của đa thức bất khả quy f x( )∈¤ p[ ]x :

Số nguyên ( , )K f r thường được gọi là chỉ số chính.

Giá trị r sao cho ( , )K f r >k f r( , )được gọi là giá trị tới hạn.

Khi đó nếu c là từ hằng số của chuỗi Laurent xác định f thì từ giả thiết 0( , ) ( , ) 0

2.1.4 Đa giác định giá của các đa thức

Về sau, ta cần xét những dạng khác nhau của đa giác định giá đối với hàm chỉnh hình và phân hình Tuy nhiên, để hiểu rõ tính chất của đa giác định giá

và ảnh hưởng của nó đến phân phối không điểm của hàm, trước tiên ta xét trường hợp các đa thức

Ta bắt đầu với đa thức: ( )L z = −z a Rõ ràng ta có:

Bây giờ ta xét ( ) (P z = −z a) (n z b− )m với 0< <a b Khi đó ta có:

Chú ý rằng, trong ví dụ trên đây:

( , ) , ( , ) 0, ( , ) , ( , )

đồng thời K(P,r) = k(P,r) với mọi r ≠ a r, ≠ b

Như vậy các điểm góc của đường gấp khúc (đa giác định giá) tương ứng với các giá trị tới hạn

Nếu P là một đa thức tùy ý, ta có thể viết

( ) m ( ) m

j

Có thể thấy rằng log ( )P z là một hàm tuyến tính từng khúc của log r , r

đồng thời các điểm góc của đường gấp khúc tương ứng cho ta vị trí các không điểm của đa thức, hơn nữa sự thay đổi của hệ số góc tại mỗi điểm cho biết số không điểm tương ứng với giá trị tuyệt đối tại đó

2.2 Độ cao của chuỗi lũy thừa

2.2.1 Định nghĩa

Độ cao của chuỗi lũy thừa

n n

a z

∑ (1)tại ( )v z =t được xác định bởi hệ thức ( , ) min ( )0 { n }

2.2.3 Định lý

Chuỗi lũy thừa (1) hội tụ trong đĩa D khi và chỉ khi đường thẳng r

0 logp

t = − r là đường tiệm cận của đường đa giác ( h ∑, )t

Định lý được chứng minh bởi bổ đề sau

Chứng minh (i) Như đã biết trong các chương trước, chuỗi lũy thừa (1)

hội tụ khi và chỉ khi

n n

a z p

Nếu chuỗi lũy thừa (1) phân kỳ tại z thì nó phân kỳ tại mọi điểm thuộc 0

miền {z C v z∈ p: ( )<v z( ) 0 }

Thực vậy từ mệnh đề (i) và giả thiết ta có:

0lim[ ( )n ( )]

→∞ + < ∞.Mặt khác

Vì z p <r nên t z v= ( )>t0, ∀ ∈z D r Chứng tỏ t0 = −logp r là đường tiệm cận của

đa giác Newton Ngược lại, nếu t0 = −logp r là đường tiệm cận của đa giác

(ii) Cho chuỗi lũy thừa 2

Chúng ta nhận được v a( )n + = − +nt n2 nt triệt tiêu khi t0 =n , do đó khi n→ ∞, ta

có t0 → ∞, nghĩa là r→0 Vậy chuỗi này phân kỳ tại mọi điểm thuộc £ p \ 0{ } .

2.3 Độ cao của hàm chỉnh hình

Giả sử ( )f z là hàm chỉnh hình trong đĩa đơn vị D, tương ứng với chuỗi

lũy thừa hội tụ

0

n n

n n n

k p

1, 0,(log(1 ), )

(ii) Nếu t là điểm tới hạn của ( ) f z thì h f t, ≠ 0, ( ) 0 f z = và h f t, =t số các không điểm của ( ) f z tại ( ) v z =t.

(iii) Số các không điểm của ( ) f z tại điểm tới hạn ( ) v z =t đúng bằng

2.4 Độ cao của hàm phân hình

Giả sử ( )ϕ x là hàm phân hình trong đĩa D , theo định nghĩa nó được xác r

định bởi hệ thức ( ) ( ),

( )

f x x

g x

ϕ = trong đó ( ), ( )f x g x là các hàm chỉnh hình không có điểm chung

2.4.1 Định nghĩa

Độ cao của hàm phân hình ( ) ( )

( )

f x x

g x

ϕ = được xác định bởi hệ thức ( , )h ϕ =t h f t( , )−h g t( , )

Giả sử ( , , ,1 2 1) : n( )

f = f f f + £ →P £ là ánh xạ chỉnh hình (còn gọi là đường cong chỉnh hình), trong đó f là các hàm chỉnh hình không có không i

n

p

P £ với số chiều nhỏ hơn n Ta biết rằng đường cong f không suy biến khi và

chỉ khi Wronskian ( )W f không đồng nhất bằng không.

(i) Độ cao của đường cong chỉnh hình f được xác định sai khác một đại

lượng giới nội

Thực vậy, nếu f =( , , ,f f1 2 f n+1)= =g ( , , ,g g1 2 g n+1), khi đó chúng ta nhận được ( )g z i = f z i( ) ( ),λ z i=1,2, ,n+1 Do các f và i g không có không i

điểm chung nên ( )λ z không có không điểm Từ tính chất của đa giác Newton suy

ra ( )λ z =λ là một hằng số Bởi vậy ( , )h g t =h f t( , ) 0(1).+

(ii) Độ cao của đường cong chỉnh hình p – adic là tương tự độ cao Cartan đối với các ánh xạ chỉnh hình phức, được xác định bởi hệ thức

, 0

2

0

1( , ) log ax log ax ( )

21 log ax ( ) 0(1)

2

i i i

π

θ π

θ

π

θπ

= − là đại lượng giới nội.

2.5 Các tính chất cơ bản của độ cao

2.5.1 Mệnh đề

Giả sử ( ) f z là hàm chỉnh hình khác hằng số Khi đó

( , ) ( , ) 0(1)

h f t′ −h f t ≥ − +t với 0(1) là đại lượng giới nội khi t→ −∞.

Chứng minh Ta có

1

n n

Sử dụng mệnh đề 2.5.1 và cộng các bất đẳng thức cùng chiều, chúng ta nhận được

( )( k , ) ( , ) 0(1)

(ii) Trước hết chúng ta nhận xét rằng vì đường đa giác ( , ) h f t là một

đường cong liên tục, nên nếu một tính chất nào đó của hàm liên tục đúng tại điểm

t không là điểm giới hạn thì nó cũng đúng đối với các điểm tới hạn của hàm chỉnh

hình ( )f z Do đó chúng ta chỉ cần chứng minh (ii) đối với trường hợp t không là

điểm tới hạn

Chúng ta có:

, 0(1).

m k

m m

Khái niệm độ cao cũng được dùng để chứng minh một số tương tự p – adic của những kết quả cổ điển.

2.5.11 Hệ quả (Định lý Liouville)

Mỗi ánh xạ chỉnh hình và giới nội là ánh xạ hằng.

2.5.12 Định lý (Công thức Poisson- Jensen)

Giả sử ( ) f z là hàm chỉnh hình trong đĩa đơn vị D và t0 > >t 0, ta có

0 0

= = ∑ − = ∑ − trong đó tổng được lấy trên

mọi không điểm a của ( )f z trong đĩa { : t}

z C∈ z < p−

Bởi vậy công thức có thể viết dưới dạng:

log ( ) log (0) log

1log ( ) log (0) (or )log 2

(ii) f là đường cong đa thức khi và chỉ khi ( , ) 0( ) h f t = t khi t→ −∞.

Chứng minh Mệnh đề (i) là hệ quả của mệnh đề 2.5.4 (ii), còn mệnh đề (ii) là hệ quả của mệnh đề 2.5.5 (i) Bằng ngôn ngữ độ cao, chúng ta có thể chứng minh các kết quả tương tự trong [6]

2.5.16 Định lý

(i) Giả sử ( ) f z là hàm chỉnh hình trong £ và ( ) p P z là đa thức bậc d Khi đó

(i) Nếu f là đa thức bậc d thì:

KẾT LUẬN

Luận văn trình bày mối liên hệ một số tính chất độ cao của hàm phân hình p-adic cũng như các tính chất trên trường các số phức p-adic Cụ thể là luận văn đã hoàn thành được những việc sau:

1 Hệ thống một số khái niệm, kết quả của trường số hữu tỷ ¤ , số hữu tỷ adic ¤ p

p-2 Trình bày mối liên hệ giữa đa giác định giá, độ cao của chuổi lũy thừa, hàm chỉnh hình và hàm phân hình (Mục 2.1, 2.2, 2.3, 2.4)

3 Trình bày chi tiết phép chứng minh một số tính chất độ cao của hàm phân hình p-adic (Mục 2.5.1, 2.5.4, 2.5.5, 2.5.7 và 2.5.10)

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[1] Mai Văn Tư (2013) Lý thuyết hàm trên trường phi Ácsimét, Nhà xuất

bản đại học Vinh

Tiếng Anh

[2] W.W.Adam and E G Straus (1971), Non-Archimedean analytic

functions taking the same Values at the same points, Illinois J Math 15, 418

- 424

[3] Ha Huy Khoai (1992), Heights for p – adic meromorphic functions and

value distribution theory Vietnam J Math, V.20, No.1, pp: 14 – 29.

[4] Ha Huy Khoai (1993), Heights for p – adic holomorphic functions and

value applications RIMS Lecture Notes 819, pp: 96 – 105.

[5] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p-adic Nevanlinna-Cartan

Theorem, Internat J Math, Vol 6, No.5, 710-731.

[6] Ha Huy Khoai anh My Vinh Quang p-adic Nevanlinna Theory Lecture

Notes in Math 1351,138-152