Một số tính chất cơ bản của mảng các biến ngẫu nhiên

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học VinhNguyễn Đôn Một số tính chất cơ bản của mảng các biến ngẫu nhiên Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2014... Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Đôn

Một số tính chất cơ bản của mảng các biến ngẫu nhiên

Luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ An - 2014

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Đôn

Một số tính chất cơ bản của

mảng các biến ngẫu nhiên

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 60.46.15

Luận văn thạc sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Văn Quảng

Nghệ An - 2014

Mở đầu

Lý thuyết xác suất là một bộ phận của toán học nghiên cứu các hiện tượngngẫu nhiên nhằm tìm ra những quy luật trong những hiện tượng tưởng chừng nhưkhông có quy luật Lý thuyết xác suất ra đời vào nửa cuối thế kỉ 17 ở Pháp Ngàynay, lý thuyết xác suất đã phát triển mạnh mẽ, có cơ sở lý thuyết chặt chẽ và cónhiều ứng dụng trong đời sống của con người, từ âm nhạc đến vật lý, từ văn họctới thống kê xã hội, từ cơ học tới thị trường chứng khoán, từ dự báo thời tiết đếnkinh tế, từ nông học đến y học

Mảng các biến ngẫu nhiên là một hướng nghiên cứu của Lý thuyết xác suất

được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và đã có nhiều ứng dụng trongthống kê, kinh tế Chính vì vậy việc nghiên cứu mảng các biến ngẫu nhiênkhông chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn to lớn

Đối với mảng các biến ngẫu nhiên, cấu trúc nhiều chiều của các chỉ số làmnảy sinh nhiều vấn đề Trên tập các chỉ số đó, quan hệ thứ tự thông thường không

có tính chất tuyến tính; ta có thể xây dựng các quan hệ thứ tự khác nhau; cácdạng hội tụ có thể được xét khi max hoặc min các toạ độ tiến tới vô cùng Các

đặc điểm đó góp phần tạo nên tính đa dạng của các kết quả nghiên cứu về tínhchất của mảng các biến ngẫu nhiên

Trong những thập niên gần đây, nhiều tác giả như Smythe, Gut, Stadtmuller,Hwang, Volodin, Czerebak-Mrozowicz, Klesov đã thu được nhiều kết quả quantrọng khi nghiên cứu về mảng các biến ngẫu nhiên

Trong nước, mảng các biến ngẫu nhiên cũng được nhiều tác giả quan tâmnghiên cứu và đã thu được nhiều kết quả quan trọng như các kết quả của GS.TSKHNguyễn Duy Tiến, GS.TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Văn Hùng, TS LêVăn Thành Hiện nay mảng các biến ngẫu nhiên vẫn đang là vấn đề có tính thời

sự của Lý thuyết xác suất

Với những lý do đó chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luậnvăn của mình là:" Một số tính chất cơ bản của mảng các biến cố và mảngcác biến ngẫu nhiên"

Mục đích của luận văn là nghiên cứu một số tính chất cơ bản của mảngcác biến cố và mảng các biến ngẫu nhiên, làm sáng tỏ và phong phú thêm các kếtquả về mảng các biến cố và mảng các biến ngẫu nhiên

Luận văn sẽ tập trung trình bày về việc mở rộng một số kết quả về dãy cácbiến cố và dãy các biến ngẫu nhiên cho mảng các biến cố và mảng các biến ngẫunhiên Các vấn đề mà chúng tôi sẽ đề cập đến là: Bổ đề Borel-Cantelli cho mảngcác biến cố; một số dạng hội tụ của mảng các biến ngẫu nhiên; các định lý hội

tụ đối với mảng các biến ngẫu nhiên

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở của lý thuyếtxác suất, cần thiết cho việc nghiên cứu chương sau

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này, trước hếtchúng tôi nghiên cứu về sự hội tụ của mảng và chuỗi các số Tiếp theo, chúngtôi trình bày về Bổ đề Borel-Cantelli đối với mảng các biến cố và các dạng hội tụcủa mảng các biến ngẫu nhiên, đồng thời nghiên cứu mỗi quan hệ giữa các dạnghội tụ đó Cuối cùng, chúng tôi thiết lập các tính chất của giới hạn của mảng cácbiến ngẫu nhiên (Bổ đề Fatou; Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue) Khi nghiên cứu

sự hội tụ của mảng các biến ngẫu nhiên (Xmn; m > 1, n > 1), chúng tôi xét cảhai trường hợp max(m, n) → ∞ và min(m, n) → ∞

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TS Nguyễn VănQuảng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy vì sự định hướng

và sự gợi mở vấn đề của Thầy trong nghiên cứu, sự nghiêm khắc của Thầy tronghọc tập và sự quan tâm của Thầy dành cho tác giả trong cuộc sống

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới khoa Toán, Phòng Sau đại học, Trường ĐạiHọc Vinh, nơi tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô ở bộ môn Xác suất và thống

kê Trường Đại Học Vinh, đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập vàhoàn thành luận văn

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tác giả nhận được sự quantâm giúp đỡ và góp ý của TS Lê Văn Thành, TS Nguyễn Thị Thế, TS NguyễnThanh Diệu, Thạc Sỹ Dương Xuân Giáp Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy

Lê Văn Thành và Thầy Dương Xuân Giáp về nhiều sự giúp đỡ quý báu

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tất cả thầy cô, bạn bè và gia đình đã góp ý,ủng hộ và động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót.Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo, những ý kiến đóng góp của quýthầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, ngày 20 tháng 10 năm 2014

Tác giả

Giả sử (Ω, F ) là một không gian đo Một ánh xạ P : F → R được gọi là

độ đo xác suất trên F nếu

(i) P(A) > 0với ∀A ∈ F (tính không âm);

(ii) P(Ω) = 1 (tính chuẩn hoá);

(iii) Nếu An ∈ F (n = 1, 2, 3, ), Ai ∩ Aj = AiAj = ∅ (i 6= j) thì

P(∪∞n=1An) =P∞

n=1P(An) (tính cộng tính đếm được)

Các điều kiện (i)-(iii) được gọi là hệ tiên đề Kolmogorov về xác suất Bộ

ba(Ω, F , P) được gọi là không gian xác suất

TậpΩ được gọi là không gian biến cố sơ cấp (không gian BCSC)

σ- đại số F được gọi là σ- đại số các biến cố

Mỗi A ∈ F được gọi là một biến cố

Biến cố Ω ∈ F gọi là biến cố chắc chắn

Biến cố ∅ ∈ F gọi là biến cố không thể có

Biến cố A = Ω\A được gọi là biến cố đối lập của biến

cố A.

NếuA ∩ B = AB = ∅ thì A, B được gọi là các biến cố xung khắc

Không gian xác suất (Ω, F , P) gọi là không gian xác suất đầy đủ nếumọi tập con của biến cố có xác suất không đều là biến cố Để đơn giản, từ nay

về sau, khi nói đến không gian xác suất (Ω, F , P), ta luôn xem đó là không gianxác suất đầy đủ

Chú ý Điều kiện (ii) trong định nghĩa trên đảm bảo rằng biến cố chắc chắn cóxác suất bằng 1 Tuy nhiên, có những biến cố có xác suất bằng 1 nhưng chưachắc đã là biến cố chắc chắn Những biến cố như vậy gọi là biến cố hầu chắcchắn

1.1.2 Các tính chất của xác suất

Giả sử A, B, C, là những biến cố Khi đó, xác suất của chúng có cáctính chất sau:

1.P(∅) = 0

2 NếuAB = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

3.P(A) = 1 − P(A)

4 NếuA ⊂ B thì P(B\A) = P(B) − P(A) và do đó P(A) 6 P(B)

5.P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)

8 (Tính liên tục của xác suất)

(i) Nếu(An, n > 1)là dãy đơn điệu tăng,A1 ⊂ A2 ⊂ ã ã ã ⊂ An ⊂ ,thì tồn tại

1.1.3 Xác suất có điều kiện

Định nghĩa Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất A, B ∈ F, P(A) > 0.Khi đó số

2.Nếu B ⊃ A thì P(B/A) = 1, đặc biệt P(Ω/A) = 1

3.Nếu (Bn) là dãy các biến cố đôi một xung khắc thì

cũng là xác suất trênF Do đó PA có đầy đủ các tính chất của độ đo xác suất

4 ( Quy tắc nhân) Giả sử A1, A2, , An (n > 2), là n biến cố bất kì sao choP(A1A2 An−1) > 0 Khi đó

P(A1A2 An) = P(A1)P(A2/A1) P(An/A1 An−1) (1.2)1.1.4 Tính độc lập của các biến cố

Giả sử(Ω, F , P) là không gian xác suất.

Định nghĩa 1.Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu

P(AB) = P(A)P(B)

Tính chất

1 Giả sử P(A) > 0, P(B) > 0 Khi đó A, B độc lập khi và chỉ khi

P(A/B) = P(A)hoặc P(B/A) = P(B)

2 Hai biến cốA vàB độc lập khi và chỉ khi một trong các điều kiện sauthoả mãn

(i) A, B độc lập;

(ii) A, B độc lập;

(iii)A, B độc lập

Dưới đây sẽ trình bày khái niệm độc lập của một họ biến cố

Định nghĩa 2 Họ các biến cố (Ai)i∈I được gọi là độc lập đôi một nếu haibiến cố bất kỳ của họ đều độc lập

Họ các biến cố(Ai)i∈I được gọi là độc lập toàn cục (gọi vắn tắt là độclập), nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cốAi1, Ai2, , Ain của họ đó, ta đềucó

P(Ai1Ai2 Ain) = P(Ai1)P(Ai2) P(Ain)

Một họ độc lập thì độc lập đôi một Tuy nhiên điều ngược lại nói chungkhông đúng

Đối với dãy các biến cố, ta có tính chất quan trọng sau đây, gọi là Bổ đềBorel-Cantelli

Định lý (Bổ đề Borel-Cantelli).Giả sử (An, n > 1) là dãy các biến cố Khi đó

Từ định lý trên, có thể suy ra ngay hệ quả sau đây

Hệ quả (Luật 0 − 1 Borel-Cantelli) Nếu (An, n > 1) là dãy biến cố độc lập,thì P(lim sup An) chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 tùy theo chuỗi

P∞

n=1P(An) hội tụ hay phân kỳ

1.2 ánh xạ đo được và biến ngẫu nhiên

1.2.1 ánh xạ đo được

Định nghĩa Giả sử (Ω1, F1) và (Ω2, F2) là hai không gian đo ánh xạ X :

Ω1 −→ Ω2 gọi làánh xạ F1/F2 đo đượcnếu với mọiB ∈ F2 thìX−1(B) ∈ F1

F2/F3 đo được Khi đó Y ◦ X : Ω1 → Ω3 là ánh xạ F1/F3 đo được

3 Giả sử F2 = σ(C) Khi đó ánh xạ X : Ω1 → Ω2 là F1/F2 đo được khi

và chỉ khiX−1(C) ∈ F1 với mọi C ∈ C

Hệ quả.Giả sử(Ω1, τ1), (Ω1, τ1),là các không gian tôpô, ánh xạX : Ω1 →

Ω2 liên tục Khi đó X là ánh xạ B(Ω1)/B(Ω2) đo được

1.2.2 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa.Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất, G là σ- đại số con của σ

-đại số F Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên G- đo được

nếu nó là ánh xạ G/B(R) đo được (tức là với mọi B ∈ B(R) thì X−1(B) ∈ G)

Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị, thì nó được gọi là biến

ngẫu nhiên đơn giản.

Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F- đo được, thì X

được gọi một cách đơn giản làbiến ngẫu nhiên

Hiển nhiên, biến ngẫu nhiên G- đo được là biến ngẫu nhiên Mặt khác, dễthấy rằng nếuX là biến ngẫu nhiên thì họ

σ(X) = −1(B) : B ∈ B(R)

lập thành một σ- đại số con củaσ- đại số F, σ- đại số này gọi là σ- đại số sinhbởi X Đó làσ- đại số bé nhất màX đo được Từ đó suy ra rằng X là biến ngẫunhiênG- đo được khi và chỉ khi σ(X) ⊂ G

Biến ngẫu nhiên còn được gọi làđại lượng ngẫu nhiên

Tính chất

Định lý 1 X là biến ngẫu nhiên khi và chỉ khi một trong các điều kiệnsau đây thoả mãn

(i) (X < a) := (ω : X(ω) < a) ∈ F với mọi a ∈ R

(ii) (X 6 a) := (ω : X(ω) 6 a) ∈ F với mọi a ∈ R

(iii) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R

(iv) (X > a) := (ω : X(ω) > a) ∈ F với mọi a ∈ R

Định lý 2 Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác địnhtrên (Ω, F , P), f : Rn −→ R là hàm đo được (tức f là B(Rn

)/B(R) đo

được) Khi đó

Y = f (X1, , Xn) : Ω −→ R

ω 7→ f (X1(ω), , Xn(ω))

là biến ngẫu nhiên

Hệ quả Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P ),

f : R −→ R là hàm liên tục a ∈ R Khi đó aX, X ± Y, XY, |X|, f (X), X+ =

max(X, 0), X− = max(−X, 0),

X

Y , (Y 6= 0)đều là các biến ngẫu nhiên

Định lý 3 Giả sử (Xn, n > 1) là dãy các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên(Ω, F , P) Khi đó, nếu inf

n→∞Xn (nếu tồn tại), đều là biến ngẫu nhiên

Định lý 4 Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biến ngẫu nhiên

đơn giản, không âm (Xn, n > 1) sao cho Xn ↑ X (khi n → ∞)

x↑a F (x) = F (a) và lim

x↓a F (x) = P(X 6 a) Do đó F (x) liên tục trái tạimọi điểm, F (x) liên tục tại a khi và chỉ khi P(a) = 0

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = CEX

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY

5 Nếu X > 0 và EX = 0 thì X = 0

−∞ xp(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).

Tổng quát:Nếu f : R → R là hàm đo được và Y = f(X) thì

−∞ f (x)p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x)

7 (Định lý B Levi về hội tụ đơn điệu) Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X) vàtồn tại n để EX−

ElimXn > limEXn.Nếu |Xn| 6 Y với mọi n > 1 và EY < ∞ thì

ElimXn 6 limEXn 6 limEXn 6 ElimXn

9 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| 6 Y với mọi n > 1,

1.2.6 Các bất đẳng thức moment

Với p > 0, ký hiệu Lp = Lp(Ω, F , P) là tập hợp các biến ngẫu nhiên X(xác định trên (Ω, F , P)) sao cho E|X|p < ∞ Khi X ∈ Lp, p > 1, ta ký hiệu

kXkp = (E|X|p)1/p

Nó được gọi là chuẩn bậc p của X

Trong lý thuyết xác suất, các bất đẳng thức sau thường được sử dụng

1 Bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakowski

Giả sử ϕ : R → R là hàm lồi, X và ϕ(X) là các biến ngẫu nhiên khảtích Khi đó

Eϕ(X) > ϕ(EX) (1.7)

6 Bất đẳng thức Liapunov

Đối với biến ngẫu nhiên X ∈ Lt bất kỳ và 0 < s < t, ta có

kXks 6 kXkt (1.8)Nhận xét Ta nóiX và Y là hai biến ngẫu nhiên tương đương nếu X = Y h.c.c

Rõ ràng, kXkp chỉ phụ thuộc vào lớp tương đương Do đó, nếu đồng nhất cácbiến ngẫu nhiên tương đương trongLp

, p > 1, thì từ các tính chất trên suy ra rằng

Lp

, p > 1là không gian định chuẩn Hơn nữa, người ta đã chỉ ra được rằng Lp làkhông gian Banach

1.2.7 Tính độc lập của các lớp và các biến ngẫu nhiên

Định nghĩa.Giả sử (Ω, F , P) là không gian xác suất Họ các lớp biến cố(Ci)i∈I

(Ci ⊂ F) được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với mọi Ai ∈ Ci, họ cácbiến cố (Ai)i∈I độc lập (độc lập đôi một)

Họ các biến ngẫu nhiên(Xi)i∈I được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu

họ σ-đại số (σ(Xi))i∈I độc lập (độc lập đôi một)

4.Giả sử (Xi)i∈I là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, fi : R → R(i ∈ I) là hàm

đo được Khi đó họ fi(Xi)
i∈I độc lập

5.Giả sử (Xi)i∈I là họ các biến ngẫu nhiên độc lập, I1 ⊂ I, I2 ⊂ I, I1∩I2 = ∅.Khi đó σ (Xi)i∈I1
và σ (Xi)i∈I2
độc lập (trong đó σ (Xi)i∈I1
và σ (Xi)i∈I2

tương ứng là các σ- đại số bé nhất chứa Si∈I1σ(Xi) và Si∈I2 σ(Xi)).

6.Dãy các biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) độc lập khi và chỉ khi, với mọi n > 1,σ(Xk, 1 6 k 6 n) và σ(Xk, k > n + 1) độc lập

7.Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì

E(XY ) = EXEY

Tổng quát.Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

E(X1X2 Xn) = EX1EX2 EXn

8.Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập thì D(X ± Y ) = DX + DY

Tổng quát:Nếu X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một thì

Ký hiệuXn → X h c c hoặc Xn −−−→ Xh c c. khin → ∞

• Dãy {Xn, n > 1} hội tụ đầy đủ đến X khi n → ∞ nếu với mọi ε > 0

X

n=1

P(|Xn− X| > ε) < ∞

Trong đó Fn(x) và F (x) tương ứng là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên

Xn và X, C(F ) là tập hợp các điểm mà tại đó F (x) liên tục

Ký hiệuXn

D

−→ X.Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội tụ với xác suất 1, hội tụ theotrung bình cấp p còn được gọi là hội tụ trong Lp

Định nghĩa.Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) là dãy cơ bản

• Hầu chắc chắn (h.c.c) nếu P( limm,n→∞|Xm − Xn| = 0) = 1

• Theo xác suất nếu lim

Từ hai định lý trên, suy ra ngay hệ quả sau đây

Hệ quả Nếu dãy (Xn, n > 1) hội tụ theo xác suất thì tồn tại dãy con(Xnk; k > 1) ⊂ (Xn, n > 1) sao cho (Xnk; k > 1) hội tụ h.c.c

Định lý 5 Dãy (Xn, n > 1) hội tụ theo trung bình cấp p (p > 1) khi và chỉkhi dãy (Xn, n > 1) cơ bản theo trung bình cấp p Do đó Lp (p > 1) là khônggian Banach

Chương 2

Một số tính chất cơ bản của mảng các biến ngẫu nhiên

2.1 Sự hội tụ của mảng các số

2.1.1 Định nghĩa

Ta nói mảng số thực{xmn, m > 1, n > 1}hội tụ tới số thực x khim∨n →

∞nếu với∀ε > 0, tồn tạin0 ∈ N sao cho với mọim, n ∈ N màm ∨ n > n0 thì

{Smn, m > 1, n > 1} hội tụ tới S khi m ∧ n → ∞.

Nếu {xmn; m > 1, n > 1} hội tụ tới x khi m ∨ n → ∞

thì {xmn; m > 1, n > 1} cũng hội tụ tới số thực x khi m ∧ n → ∞

Chứng minh Để chứng minh limm∧n→∞xmn = x ta cần chứng minh với mọi

ε > 0, tồn tại số n0 sao cho với mọi m,n thoả mãn m∧n > n0 thì |xmn−x| < ε

Thật vậy, Vì {xmn; m > 1, n > 1} hội tụ tới x khi m ∨ n → ∞, nênvới mọi ε > 0, tồn tại số n0 sao cho với mọi m,n thoả mãn m ∨ n > n0 thì

|xmn− x| < ε Mặt khác, với mọi (m, n) ∈ N2 ta có m ∨ n > m ∧ n nên khi

m ∧ n > n0 thì m ∨ n > n0 Do đó ta có ngay |xmn− x| < ε với mọi m,n thoảmãn m ∧ n > n0

m∧n→∞Smn = x

Do đó với mọi ε > 0 đều tồn tại n0 sao cho với mọi m, n ∈ N mà m ∧ n > n0

thì |Smn − x| < ε

Lúc đó cho m = n > n0 thì ta vẫn có m ∧ n > n0 Hay nói cách khác với mọi

ε > 0 đều tồn tại n0 sao cho với mọi m > n0 ta có:

|Smm − x| < εSuy ra