Dạng tuyến tính rưỡi và dạng hermite

Ma trận của một dạng tuyến tính rưỡi Hermite trong một cơ sở .... Phân loại các dạng Hermite trên không gian vectơ có số chiều hữu hạn .... í o ọn đề t Có thể nói rằng Đại số tuyến tính

Dù đã hết sức cố gắng, nhƣng do đây là lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khó tránh khỏi những sai sót Em mong nhận đƣợc sự chỉ bảo, đóng góp của quý thầy

cô để cho bài khóa luận tốt nghiệp đƣợc tốt hơn

Em x n ân t n ảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên thực hiện

N u ễn T ú N ân

ỜI C M ĐO N

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân

cùng sự hướng dẫn tận tình chỉ bảo của cô giáo T S Đ n T ị m Thúy em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp của mình

Em xin cam đoan đề tài khóa luận tốt nghiệp là do bản thân nghiên

cứu với sự hướng dẫn của cô giáo T S Đ n T ị m T ú không hề

trùng với bất cứ đề tài nào

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên thực hiện

N u ễn T ú N ân

MỤC ỤC

MỞ ĐẦU 6

1 Lí do chọn đề tài 6

2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 6

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 6

4 Mục đích nghiên cứu 6

5 Phương pháp nghiên cứu 6

6 Cấu trúc luận 6

NỘI DUNG 7

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 7

1.1 Số phức 7

1.1.1 Định nghĩa số phức 7

1.1.2 Biểu diễn hình học các số phức 7

1.1.3 Các phép toán trên số phức 8

1.1.4 Dạng lượng giác của các số phức 9

1.2 Không gian vectơ 12

1.2.1 Định nghĩa không gian vectơ 12

1.2.2 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 13

1.2.3 Không gian vectơ con 14

1.3 Ma trận 14

1.4 Ánh xạ tuyến tính 17

1.4.1 Định nghĩa 17

1.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 17

1.5 Bài tập 19

CHƯƠNG 2: DẠNG TUYẾN TÍNH RƯỠIVÀ DẠNG HERMITE 24

2.1 Các định nghĩa và ví dụ 24

2.2 Tính trực giao theo một dạng tuyến tính Hermite 27

2.3 Ma trận hermite 31

2.3.1 Chuyển vị liên hợp 31

2.3.2 Chuyển vị liên hợp theo khối 32

2.3.3 Ma trận hermite 33

2.3.4 Ma trận của một dạng tuyến tính rưỡi Hermite trong một cơ sở 35

2.3.5 Cơ sở - trực giao 38

2.4 Phân loại các dạng Hermite trên không gian vectơ có số chiều hữu hạn 40

2.5 Phân tích Gauss của một dạng Hermite 41

1.5.1 Trường hợp n=2 41

1.5.2 Trường hợp n3 42

2.6 Bài tập chương 2 46

ẾT U N 53

TÀI IỆU TH M HẢO 54

MỞ ĐẦU

1 í o ọn đề t

Có thể nói rằng Đại số tuyến tính là một môn học khá quan trọng đối với mỗi sinh viên ngành toán, là môn học nghiên cứu về các không gian vectơ, ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính… Và nó là môn cơ sở giúp chúng ta học tốt hơn những môn học như là: hình học afin, hình học euclide, hình học xạ ảnh, giải tích hàm… Ngoài ra, nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác

Chúng ta có thể tìm hiểu, mở rộng, nghiên cứu sâu hơn về Đại số tuyến tính Và với sự say mê yêu thích môn học này cùng với sự hướng

dẫn của T S Đ n T ị m T ú , em đã mạnh dạn chọn đề tài “Dạn

tu ến tín rưỡ - Dạn Herm te” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp đại

học cho mình

2 Đố tượn , p ạm v n n ứu

Đối tượng: Dạng tuyến tính rưỡi- Dạng Hermite

Phạm vi: những kiến thức liên quan tới Dạng tuyến tính rưỡi- Dạng Hermite

với a b,  , đƣợc gọi là số phức, trong đó a đƣợc gọi là phần tử thực

của số phức  đƣợc kí hiệu là Re, b đƣợc gọi là phần tử ảo của số

phức  đƣợc kí hiệu là Im, i đƣợc gọi là đơn vị ảo và i2 1

Ta đi đến hai khái niệm quan trọng: Cho số phức a bi

Số phức '' đƣợc gọi là số đối của số phức  và viết ''   nếu ảnh của ''đối xứng với ảnh của  qua gốc O Vì thế, ta có

Ví ụ: Thực hiện các phép toán sau

1.1.4 Dạng lượng giác của các số phức

Trong mặt phẳng phức mỗi số phức  a biđược biểu diễn bởi một điểm duy nhất M(a,b) Khi 0ta nhận được vectơ OM

Độ dài r = OM được gọi là môđun của số phức  và kí hiệu  Góc định hướng Ox,OM tạo bởi tia Ox và vectơ OM được xác định sai kém một bội nguyên tùy ý của 2 Góc  được gọi là acgumen của số phức  và kí hiệu là Arg  

Ta có các hệ thức

 

r cosrsin

Ứng với mỗi giá trị của k ta kí hiệu n là k

Căn bậc n của mỗi số phức 0có đúng n giá trị khác nhau; đặc biệt, mỗi số phức0 đều có hai căn bậc 2, đó là hai phức đối nhau Mọi đa thức bậc n với hệ số phức

đều có đúng n nghiệm phức ( phân biệt hay trùng nhau)

1.1.4.1 Phép nâng lũy thừa của số phức

Lũy thừa với số mũ n nguyên của số phức , kí hiệu là n, là số phức xác định như sau

- Nếu n là số nguyên dương thì    n  (n thừa số)

Với n nhỏ ta khai triển n  n

a bi

   theo công thức Nhị thức Newtơn rồi rút gọn biểu thức

Với n lớn ta viết số phức đã cho dưới dạng lượng giác

cos isin  , =Arg

      rồi áp dụng công thức Moivre

cos sin 

n n

1.1.4.2 Phép khai căn của số phức

Căn bậc n ( n nguyên dương ) của số phức , kí hiệu là n là số phức ' sao cho

Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là một không gian vectơ trên trường K hay K- không gian vectơ

Các phần tử của V gọi là vectơ, các phần tử Kgọi là các vô hướng Phép cộng “ +” gọi là cộng vectơ, phép nhân “.” gọi là nhân vectơ với vô hướng

Khi K  thì V được gọi là không gian thực Khi K thì V

được gọi là không gian phức

Ví ụ Tập các vectơ tự do trong không gian với phép toán cộng vectơ

và phép nhân vectơ với một số thực như đã định nghĩa trong chương trình toán phổ thông trung học là một không gian vectơ thực

1.2.2 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ

V  được gọi là số chiều của V trên trường K và kí hiệu là dimV

hay rõ hơn là dimK V

Nếu V  0 , ta quy ước dimV 0

b) Nếu Vkhông có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi

là không gian vectơ vô hạn chiều

Ví ụ: Trường số phức là một - gian không vectơ với cơ sở  1 Đồng thời cũng là một - gian không vectơ với cơ sở  1,i Do đó

dim 1,dim 2

Tổng quát: dim nn,dim n 2 n

1.2.3 Không gian vectơ con

Địn n ĩ

Giả sử V là một K- không gian vectơ và W là một tập con của V

Ta bảo tập W là ổn định ( hay đóng kín) đối với hai phép toán trên

V nếu:

, ,

x y W x y W

Ta bảo W là một không gian vectơ con của Vnếu W ổn định với hai phép toán trên V, và cùng với hai phép toán V hạn chế trên nó, W

cũng là một không gian vectơ trên trường K

1.3 M trận

Địn n ĩ 1

Cho K là một trường tùy ý Một bảng gồm m n phần tử a ijK

với ( 1 i n  , 1≤ j ≤ n) có dạng

1 2

n n

được gọi là ma trận cấp m n  Mỗi a ijđược gọi là thành phần của ma trận Kí hiệu là A  a ij m n



Vectơ dòng (hay hàng)a a i1, i2, ,a inđƣợc gọi là dòng( hay hàng) thứ i của ma trận A

mj

a a a

Hai ma trận A và B cùng thuộc Mat n n K  ,  ta nói 2 ma trận A

và B đồng dạng nếu có một ma trận khả nghịch C Mat n n K   , sao cho B C AC 1

3) Ma trận chuyển vị

Cho A( )a ij m n thì ma trận (a ji n m) là ma trận chuyển vị của ma

trận A Kí hiệu là t

A Tính chất

lần lượt là các tọa độ của vectơ x V lần lượt

đối với cơ sở    e và  thì ta có công thức đổi tọa độ từ cơ sở  e sang

cơ sở    viết dưới dạng ma trận là

Giả sử V W, là K- không gian vectơ hữu hạn chiều,  e  e1, e n

là một cơ sở của V,      1, m là một cơ sở của W Mỗi ánh xạ tuyến tính f V: W đƣợc xác định duy nhất bởi hệ vectơ

f e a  j n



trong đó a ijK Nói tóm lại ánh xạ tuyến tính f được xác định một cách duy nhất bởi hệ thống các vô hướng a ij1 i m,1 j n

Nếu Vcó tọa độ là x1, ,x n trong cơ sở  e thì tọa độ của vectơ f    W trong cơ sở    sẽ là y1, ,y m tính bởi công thức

Ta gọi công thức trên là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính

f đối với cặp cơ sở   e và  đã cho

i i

Bài 4 Viết dưới dạng đại số các số phức sau:

a) cos450isin450 c) cos sin

Bài 7 Giải phương trình

Bài 8 Với các phép toán cộng và nhân vectơ với một vô hướng trong

K- không gian vectơ K n, các tập sau có phải là K- không gian vectơ không?

cos 2

Bài 8 a) Có b) Có c) Có d) Không

Bài 9 Dễ thấy nó thỏa mãn 8 tiên đề của định nghĩa không gian vectơ

Ví dụ: vectơ 0, ,0, vectơ đối của v1, ,v n  là v1, ,v n

CHƯƠNG 2: DẠNG TUYẾN TÍNH RƯỠI

VÀ DẠNG HERMITE

2.1 Cá địn n ĩ v ví ụ

Cho E là một -không gian vectơ

Địn n ĩ 1 Ta gọi mọi ánh xạ : E E  thỏa mãn

(i)    , ( , , )x x y' E3, ( xx y', )( , )x y ( , )x y'

( là nửa tuyến tính so với vị trí thứ nhất)

(ii)    , ( , , )x y y' E3, ( , x yy')( , )x y ( , )x y'

( là tuyến tính so với vị trí thứ hai)

là ạn tu ến tín rưỡ trên E E (hay: trên E)

Mện đề 1 Cho dạng tuyến tính rưỡi  trên E E

Địn n ĩ 2 Một dạng tuyến tính rƣỡi  trên E E đƣợc gọi là đố xứn Hermite khi và chỉ khi

2

( , )x y E , ( , ) y x ( , )x y

Mện đề 2 Để ánh xạ : E E  là một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite, điều kiện cần và đủ là

(i) ( , )x y  E E, ( , ) x y ( , )y x

( là đối xứng hermite)

(ii)    , ( , , )x y y' E3, ( , x yy')( , )x y ( , )x y'

( là tuyến tính đối với vị trí thứ hai)

Địn n ĩ 3 Cho  một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite trênE E Ta gọi ánh xạ  từ E vào đƣợc xác định bởi

1

( , , )

Từ (3) và (4) suy ra  là tuyến tính so với vị trí thứ hai

Do đó  là một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite

Dạng liên kết của  là

2 1

1

( , , )

( , )x y E ta nói rằng x là trực giao với y theo  (hoặc: x

và y là trực giao theo ) khi và chỉ khi:

( , ) 0x y

 

2) Giả sử x E A ,  B( )E ta nói rằng x là trực giao với A theo  khi

2) Giả sử AB, và cho y B  Ta có  b B,  y b, 0, do vậy ta phải có  a A,  y a, 0, nên yA

3) • A Vect A  , nên AVect A   ,xem 2)

• Ta giả thiếtA Cho xA, y Vect A , tồn tại

Địn n ĩ 3 Một dạng tuyến tính rưỡi Hermite  trênE E được gọi

là suy biến (tương ứng không suy biến) khi và chỉ khi Ker( )  0

(tương ứng Ker( )  0 )

Nói cách khác  là không suy biến khi và chỉ khi

3) Một không gian vetơ con F thuộc E được gọi là đẳng hướng hoàn

toàn khi và chỉ khi:FF

điều này dẫn đến thu hẹp  lên F E là ánh xạ không

4) Có thể tồn tại vectơ đẳng hướng khác không Ví dụ nếu E 2 và

Địn n ĩ 6 Ta nói dạng Hermite  là dương khi và chỉ khi

, ( )

x E  x 

Mện đề 2

1) Nếu  xác định, thì  không suy biến

2) Nếu  không suy biến và  dương thì xác định

1) Nếu  dương, thì  không suy biến  xác định

2) Có thể  không suy biến và không xác định, với  không suy biến

Nhƣ vậy chuyển vị liên hợp của A là chuyển vị của liên hợp của A

2.3.2 Chuyển vị liên hợp theo khối

Với mỗi phần tử phân tích thành khối, ta có

2.3.3 Ma trận hermite

Địn n ĩ 1 Ma trận A thuộc M n( ) với n * đƣợc gọi là ma trận Hermite khi và chỉ khi A*A Kí hiệu H n là tập hợp các ma trận Hermite cấp n

  không phải là ma trận Hermite

Địn n ĩ 2 Ma trận A thuộc M n( ) với n * đƣợc gọi là ma trận khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại '  

Nếu A khả nghịch thì A' là duy nhất và được gọi là nghịch đảo của

A và kí hiệu là A1 Ta kí hiệu tập hợp các ma trận khả nghịch thuộcM n là GLn 

Nhận xét

1) Điều kiện A*A buộc A phải là ma trận vuông

2) Nếu A là Hermite, thì các phần tử trên đường chéo của A là các số

Địn n ĩ 4 Cho E một - không gian vectơ n chiều, B B, ' là hai cơ

sở của E Ma trận chuyển cơ sở từ '

N ận xét H n không phải là một -không gian vectơ

Vì I nH n và iI nH nnên H n không phải là một -không gian vectơ

2.3.4 Ma trận của một dạng tuyến tính rưỡi Hermite trong một cơ sở

Cho E là một -không gian vectơ có số chiều hữu hạn,

dim( ) 1

n E  ,  một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite trên E E ,  dạng hermite liên kết với 

Địn n ĩ 1 Giả sử B( , , )e1 e n là một cơ sở của E Ta gọi ma trận

Hermite vuông cấp n ( ( , )) e e i j 1 , i j n là ma trận của  ( hay : của )

trong cơ sở B, kí hiệu là

Giả sử  là một dạng tuyến tính rƣỡi Hermite trên E E , cho B là

một cơ sở của E, A Mat B( ) và x y E X,  , Mat x Y B( ), Mat y B( )

Khi đó ta có *

( , )x y X AY

* 1

1

, , ,

n

j j j

n

n

nj j j

Khi đó, với mọi  x x1, 2y y1, 2 của 2 2, ta có

x x y y x x

y i

Địn n ĩ 2 Ta gọi số tự nhiên dim( ) dim( er( ))E  K  là hạng của,

và đƣợc kí hiệu là rank(), vậy

( ) dim( ) dim( er( ))

1)  không suy biến khi và chỉ khi rank( ) n

2) Giả sử B là một cơ sở của E, A Mat B( ) , không suy biến khi

Với mỗi dạng tuyến tính rưỡi Hermite  trên E, tồn tại ít nhất một

cơ sở trực giao theo  của E

C ứng minh

Quy nạp theo ndim E

Tính chất là đúng với n1

Giả sử tính chất trên đúng với mọi K- không gian vectơ n chiều,

E là một K- không gian vectơ n1 chiều và  là dạng tuyến tính rưỡi Hermite trên E E

Nếu 0 thì mọi cơ sở của E là trực giao theo , do đó E có ít nhất một cơ sở

Vậy ta giả sử 0

Nếu mọi vectơ của E là đẳng hướng, thì  là ánh xạ không vì:

     1          

Giả sử tồn tại e1E sao cho   e1 0 Xét tập F e1 và thu hẹp ' của lên F F :

   

'

: , ,

Ta sẽ chứng minh Ke1 và Flà bù nhau trong E

Giả sử x E Với mỗi   , y của K F , ta có

1 1 1

,

• Vìe2, ,e n1 độc lập, e1Vect e 2, ,e n1 và dim E  n 1 nên

Hệ quả 2 Mọi dạng Hermite  trên E có ít nhất một cách phân tích

thành tổ hợp tuyến tính ( với hệ số thực) các bình phương môđun của các

Hơn nữa, vì L1, ,L2 là - độc lập, nên rank   n

Ta cũng có thể xác định nhân, hạng của một dạng Hermite từ một phân tích dạng tổ hợp tuyến tính của bình phương các môđun - tuyến tính độc lập

2.4 P ân loạ á ạn Herm te tr n ôn n ve tơ ó số ều

Cặp  p q, này gọi là kí số của , và được kí hiệu là sgn  

Như vậy tồn tại cơ sở B của E sao cho, với mỗi x E , ta có

2.5 Phân tích Gauss ủ một ạn Herm te

Phân tích Gauss của một dạng toàn phương

Giả sử E là một K- không gian vectơ hữu hạn chiều, n=dim(E)1,

 một dạng song tuyến tính đối xứng trên E E ,  là dạng toàn phương liên kết với , Be1, ,e n là một cơ sở của E, A aij ij MatB   Với mọi x thuộc E kí hiệu x1, ,x nlà các thành phần của x trong B

a) Nếu a11 0, ta có thể viết ( bằng cách viết dưới dạng chính tắc đối với một tam thức):

Đây là một phân tích của  thành tổ hợp tuyến tính của bình phương

của hai dạng tuyến tính trên E:

và đây là một phân tích của  thành tổ hợp tuyến tính của bình phương

hai dạng tuyến tính trên E:

Cũng có thể nói P và Q các đa thức thuần nhất tương ứng bậc 1, bậc 2 của x, ,x

Ta kí hiệu yx2, ,x n và P y  P x2, ,x n.Bằng cách đặt dưới dạng tam thức chính tắc của x1, ta có

Ta có   x a x x12 1 2x A x1  3, ,x nx B x2  3, ,x n Q x3, ,x n

trong đó A,B là dạng tuyến tính trên n 2

và Q là một dạng toàn phương trên n2

Kí hiệu yx3, ,x n Ta nhóm các số hạng có chứa ít nhất một

trong hai phần tử x 1 hoặc x 2

Giả sử đã biết một phân tích của  dưới dạng tổ hợp tuyến tính các bình

phương của các dạng tuyến tính độc lập:      2

3

n

i i i

trong B, ta được 1 2

00