Nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng không bảo toàn

Lời cam đoanTôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đềtài “Nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính cấp haidạng không bảo toàn” được hoàn thành dưới sự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Hà Tiến Ngoạn, thầy

đã tận tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức đểtôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trongtrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoaToán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

và học tập

Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình họctập và hoàn thành luận văn

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong giađình, đã luôn luôn quan tâm, khích lệ và động viên trong quá trình họctập và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đềtài “Nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyến tính cấp haidạng không bảo toàn” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS

TS Hà Tiến Ngoạn và bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, pháttriển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số không gian hàm 4

1.1 Các không gian H1(Ω), H01(Ω) và H2(Ω) 4

1.2 Không gian H¨older Ck,α(Ω) 12

Chương 2 Nghiệm mạnh của phương trình elliptic 15

2.1 Nguyên lý cực đại đối với nghiệm mạnh 15

2.1.1 Đặt bài toán 15

2.1.2 Nguyên lý cực đại yếu và nguyên lý cực đại mạnh 17

2.2 Đánh giá đối với nghiệm mạnh 23

2.2.1 Phân tích lập phương 23

2.2.2 Định lý nội suy Marcinkiewicz 25

2.2.3 Bất đẳng thức Calderon-Zygmund 28

2.2.4 Đánh giá Lp cho nghiệm mạnh 29

2.3 Sự tồn tại nghiệm mạnh của bài toán Dirichlet 36

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Khi nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng việc nghiên cứu tínhđặt đúng của bài toán là vấn đề tương đối khó khăn Ban đầu người tatìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng theo nghĩa cổ điển tức

là yêu cầu nghiệm phải thỏa mãn phương trình tại mọi điểm, tuy nhiêncác phương trình đạo hàm riêng thường mô tả một hiện tượng nào đótrong thực tiễn nên việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm theo nghĩa cổ điển

là vấn đề hết sức khó khăn Vì vậy người ta mở rộng xét đến các nghiệmyếu, nhưng nếu mở rộng để dễ dàng chứng minh sự tồn tại nghiệm thìtính duy nhất nghiệm thường không thỏa mãn Như vậy, việc giảm bớttính chính quy thường dẫn tới tính đặt đúng của bài toán không đượcthỏa mãn Do đó, bằng một cách nào đó ta phải đưa ra một loại nghiệm

mà thỏa mãn tính đặt đúng mà vẫn đủ chính quy mà khó khăn trongkhi nghiên cứu và áp dụng được giảm bớt, lớp nghiệm này thường gọi

là nghiệm mạnh

Đối với phương trình elliptic tổng quát các lớp nghiệm cổ điển, nghiệmyếu đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu Người ta nghiên cứu nghiệm

yếu của các phương trình này dưới dạng bảo toàn Đối với phương trìnhelliptic cấp hai tuyến tính dạng không bảo toàn có thể đưa vào lớpnghiệm mạnh mà nó rộng hơn lớp nghiệm cổ điển nhưng sao cho nóthỏa mãn phương trình hầu khắp nơi.

Với mong muốn được tìm hiểu lí thuyết định tính nghiệm mạnh củaphương trình elliptic và được sự định hướng của thầy hướng dẫn, chúngtôi chọn đề tài Nghiệm mạnh của phương trình elliptic tuyếntính cấp hai dạng không bảo toàn để thực hiện luận văn tốt nghiệpchương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích

Luận văn gồm 2 chương, trong chương 1, trước tiên chúng tôi trình bàycác không gian hàm dùng để nghiên cứu bài toán Trong chương 2, phầnđầu chúng tôi trình bày nguyên lý cực đại đối với nghiệm mạnh, tiếptheo trình bày các đánh giá đối với nghiệm mạnh và cuối chương trìnhbày sự tồn tại nghiệm mạnh của bài toán Dirichlet

Nội dung chính của luận văn được tham khảo từ chương 9 của tài liệu[4]

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng quan về sự tồn tại duy nhất và độ trơn của lớp nghiệm mạnh

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Lớp nghiệm mạnh của phương trình elliptic truyến tính cấp hai dạngkhông bảo toàn

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu và tổng quan vấn đề

6 Đóng góp mới của luận văn

Luận văn là một tài liệu tham khảo về nghiệm mạnh của phương trìnhelliptic truyến tính cấp hai dạng không bảo toàn

Chương 1

Một số không gian hàm

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về các không gian hàm, cáctoán tử, các bất đẳng thức thường xuyên sử dụng trong luận văn Cáckết quả này chủ yếu dựa vào chương 7 tài liệu [4]

• C0(Ω) là không gian các hàm liên tục trên Ω;

• Ck(Ω) là không gian các hàm có đạo hàm liên tục tới cấp k ≥ 0trong Ω;

• Ck(Ω) là không gian các hàm có đạo hàm liên tục tới cấp k ≥ 0trong Ω;

• Ck

0(Ω) là không gian các hàm thuộc Ck(Ω) và có giá compact trong

Ω Ở đây giá của một hàm u : Ω → R là tập hợp

supp u := cl{x ∈ Ω : u(x) 6= 0}

• C0∞(Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn và có giá compacttrong Ω

Định nghĩa 1.1.1 (Đạo hàm yếu)

Giả sử u, v ∈ L1loc(Ω) và α là một đa chỉ số Ta nói rằng v là đạo hàmyếu cấp α của u nếu

Trong trường hợp Ω = (a, b) ⊂ R, nếu u(x) có đạo hàm yếu u0(x) =v(x) ∈ L1loc(a, b) thì ta nói u(x) là khả vi yếu trên (a, b)

Bổ đề 1.1.1 (Tính duy nhất của đạo hàm yếu)

Một đạo hàm yếu cấp α của u nếu tồn tại thì được xác định một cáchduy nhất (sai khác trên tập có độ đo không)

Ví dụ 1.1.1 Trong không gian L1loc(0, 2) xét các hàm

Khi đó ta thấy u0 = v, và v được gọi là đạo hàm yếu của u.

xφ0dx +

Z 2 1

φ0dx

= (xφ)|10 −

Z 1 0

φdx + φ(2) − φ(1)

= φ(1) −

Z 1 0

φdx − φ(1) ( Vì φ(2) = 0)

= −

Z 1 0

φdx = −

Z 2 0

vφdx

Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 1.1.2 Trong không gian L1loc(0, 2) xét hàm

ta thấy không tồn tại đạo hàm yếu của u

Để chỉ ra được điều này ta sẽ chỉ ra không tồn tại bất kỳ hàm v ∈

L1loc(0, 2) thỏa mãn:

Z 2 0

uφ0dx = −

Z 2 0

với mọi hàm thử φ ∈ C0∞(0, 2)

Giả sử tồn tại hàm v và mọi hàm thử φ để có khẳng định (1.1.1) Khi

uφ0dx =

Z 1 0

xφ0dx + 2

Z 2 1

φ0dx

= (xφ)|10 −

Z 1 0

φdx + 2φ(2) − 2φ(1)

= φ(1) −

Z 1 0

φdx − 2φ(1)

= −

Z 1 0

φdx − φ(1)

Suy ra

Z 2 0

vφdx −

Z 1 0

vφmdx −

Z 1 0

vφmdx



= 0 (vô lý)Vậy ta có điều phải chứng minh

Tương tự như quy tắc tính đạo hàm thông thường của hàm hợp tacũng có quy tắc tính đạo hàm yếu của hàm hợp dưới đây

Định nghĩa 1.1.2 Không gian Sobolev Wm,p(Ω) là tập gồm tất cảnhững hàm khả tích Lebesgue u: Ω → R sao cho với mỗi đa chỉ số α,

|α| ≤ m, đạo hàm yếu Dαu tồn tại và thuộc Lp(Ω)

Định nghĩa 1.1.3 Nếu u ∈ Wm,p(Ω) (1 ≤ p < ∞), ta định nghĩa chuẩncủa hàm u là:

kukk,p;Ω = kukWm,p (Ω) =



X

Chứng minh 1 Trước hết ta kiểm tra kukWm,p (Ω) là một chuẩn

i) kukWm,p (Ω) ≥ 0 và kukWm,p (Ω) = 0 nếu và chỉ nếu u = 0 h.k.n trên Ω.ii) kkukWm,p (Ω) = |k| kukWm,p (Ω), ∀k ∈ R

iii) ∀u, v ∈ Wm,p(Ω) ta có

ku + vkWm,p (Ω) =



X

≤



X



X

+



X

= kukWm,p (Ω) + kvkWm,p (Ω)

2 Ta chứng minh Wm,p(Ω) là không gian Banach

Giả sử {uk}∞k=1 là dãy cơ bản trong Wm,p(Ω) Vì Wm,p(Ω) là không giancon của Lp(Ω) nên {uk}∞k=1 cũng là dãy cơ bản trong Lp(Ω), mà Lp(Ω) làkhông gian Banach Do đó {uk}∞k=1 hội tụ về u ∈ Lp(Ω) Tức là với mọi

 > 0 bé tùy ý, tồn tại k0 để kuk − uk0kLp (Ω) <  với mọi k ≥ k0 Tươngđương

⇔ kDαuk− Dαuk+mkLp (Ω) −→ 0 khi k −→ ∞ với mọi α mà |α| ≤ m.

Do đó {Dαuk}∞k=1 là dãy cơ bản trong Lp(Ω) Do Lp(Ω) là không gianBanach nên Dαuk −→ uα trong Lp(Ω) với mỗi α : |α| ≤ m

Bây giờ chúng ta khẳng định u ∈ Wm,p(Ω) và Dαu = uα với |α| ≤ m.Thật vậy với φ bất kỳ ∈ C0∞(Ω) ta có:

Định nghĩa 1.1.5 Không gian Sobolev Hm(Ω) được định nghĩa bởi:

Hm(Ω) = W2m(Ω) =u ∈ L2

(Ω) : Dαu ∈ L2(Ω), ∀ |α| ≤ m

Định lý 1.1.2 Không gian Hm(Ω) với m = 0, 1, là không gian Hilbertvới tích vô hướng

sẽ thuộc không gian W01,p(Ω)

Ta công nhận một vài kết quả sau đây mà đã được chứng minh chitiết trong Chương 7 của [4]

Định lý 1.1.3 Giả sử 1 ≤ p < +∞ Khi đó không gian con C∞(Ω) ∩

Wk,p(Ω) trù mật trong không gian Wk,p(Ω)

Ta có một vài kết quả về phép nhúng compact như sau.

Định nghĩa 1.1.7 Cho X, Y là hai không gian Banach Ta nói X đượcnhúng compact vào Y và viết X ⊂⊂ Y nếu X được nhúng liên tục vào

1.2 Không gian H¨ older Ck,α(Ω)

Định nghĩa 1.2.1 Cho D là một miền trong Rn và x0 ∈ D Hàm

f : D → R được gọi là liên tục H¨older với số mũ α ∈ (0, 1) tại x0 nếuđại lượng

[f ]α;x0 = sup

D

|f (x) − f (x0)|

|x − x0|α < +∞ (1.2.1)

Ta gọi [f ]α;x0 là hệ số α-H¨older của f tại x0 theo miền D

Nếu (1.2.1) đúng với α = 1 thì ta nói f liên tục Lipschitz tại x0

Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, nếu f liên tục H¨older tại x0 thì fliên tục tại x0

|f (x) − f (y)|

|x − y|α < +∞, 0 < α ≤ 1 (1.2.2)Hàm f gọi là liên tục đều H¨older địa phương với số mũ α trong D nếuhàm f là liên tục đều H¨older với số mũ α trên mỗi tập con compact củaD

Định nghĩa 1.2.3 Cho Ω là một tập mở trong Rn và k là một số nguyênkhông âm Không gian H¨older Ck,α(Ω) (t.ư Ck,α(Ω)) là không gian concủa Ck(Ω) (t.ư Ck(Ω)) bao gồm tất cả các hàm cùng với các đạo hàmriêng tới cấp k liên tục đều H¨older (t.ư liên tục đều H¨older địa phương)với số mũ α trong Ω

Ta sử dụng các kí hiệu

C0,α(Ω) = Cα(Ω) và C0,α(Ω) = Cα(Ω)với α ∈ (0, 1)

Nếu α = 0 ta đặt

Ck,0(Ω) = Ck(Ω) và Ck,0(Ω) = Ck(Ω)

Không gian C0k,α(Ω) gồm các hàm trong Ck,α(Ω) và có giá compacttrong Ω

kukCk (Ω) = |u|k;Ω = |u|k,0;Ω =

kukCk,α (Ω) = |u|k,α;Ω = |u|k;Ω + [u]k,α;Ω = |u|k;Ω + [Dku]α;Ω (1.2.6)

Ta có định lý sau đây đối với không gian Sobolev được nhúng vào khônggian H¨older

Định lý 1.2.1 Giả sử Ω là miền thuộc lớp C0,1 trong Rn Khi đói) Nếu kp < n thì không gian Wk,p(Ω) nhúng liên tục vào khônggian Wp∗(Ω), p∗ = np

2.1 Nguyên lý cực đại đối với nghiệm mạnh

2.1.1 Đặt bài toán

Xét toán tử vi phân elliptic tuyến tính có dạng

Lu = aij(x)Diju + bi(x)Diu + c(x)u, aij = aji (2.1.1)trong đó x = (x1, x2, , xn) ∈ Ω ⊂ Rn, n ≥ 2

Từ đây trở về sau, nếu gặp chỉ số lặp trong biểu thức thì ta sẽ lấytổng theo chỉ số đó từ 1 đến n

Định nghĩa 2.1.1 Toán tử L gọi là elliptic tại điểm x ∈ Ω nếu ma trận

hệ số [aij(x)] là xác định dương, tức là nếu λ(x), Λ(x) tương ứng là giá

trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của [aij(x)] thì

0 < λ(x)|ξ|2 ≤ aij(x)ξiξj ≤ Λ(x)|ξ|2 ∀ ξ ∈ Rn \ {0} (2.1.2)i) Nếu λ > 0 trong Ω thì L gọi là elliptic trong Ω;

ii) Nếu 0 < λ0 ≤ λ với hằng số λ0 nào đó thì L gọi là elliptic ngặt ;

Xét bài toán

trong đó

Lu = aij(x)Diju + bi(x)Diu + c(x)u (2.1.5)với các hàm hệ số aij(x), bi(x), c(x), i, j = 1, , n và hàm f xác địnhtrên miền Ω ⊂ Rn

Ta kí hiệu D là định thức của ma trận A = (aij) và đặt D∗ = D1/n.Khi đó ta có

0 < λ ≤ D∗ ≤ Λtrong đó λ, Λ tương ứng là các giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của matrận A

Định nghĩa 2.1.2 Hàm u(x) gọi là một nghiệm mạnh của phương trình(2.1.4) nếu u(x) là hàm số thuộc Wloc2,p(Ω), 1 ≤ p ≤ +∞ và thỏa mãnphương trình (2.1.4) hầu khắp nơi trong Ω

2.1.2 Nguyên lý cực đại yếu và nguyên lý cực đại mạnh

Giả sử hàm hệ số b(x), c(x) và hàm f (x) thỏa mãn điều kiện

|b|

D∗, f

D∗ ∈ Ln(Ω) và c ≤ 0 trong Ω (2.1.6)Kết quả sau gọi là nguyên lý cực đại yếu cho nghiệm mạnh của phươngtrình (2.1.4)

Định lý 2.1.1 ([4, Định lý 9.1 Tr 220]) Giả sử Ω là miền bị chặn,toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.1.6) và Lu ≥ f trong Ω và hàm u ∈

D∗kLn (Ω)

Để chứng minh định lý trên ta cần các khái niệm tập tiếp xúc (contactset) và ánh xạ pháp tuyến (normal mapping) của hàm u Trước tiên tađịnh nghĩa tập tiếp xúc trên (upper contact set)

Định nghĩa 2.1.3 Cho u là một hàm liên tục bất kì trên Ω, ta gọi tậptiếp xúc trên của hàm u là một tập con của Ω sao cho đồ thị của u nằmbên dưới một siêu phẳng tựa nào đó tại các điểm đó

Kí hiệu tập tiếp xúc trên của hàm u là Γ+ hoặc Γ+u Khi đó

Γ+ = {y ∈ Ω : u(x) ≤ u(y) + p · (x − y), ∀x ∈ Ω với p = p(y) ∈ Rn}

(2.1.8)

Định nghĩa 2.1.4 Cho u là hàm liên tục trên Ω, khi đó ánh xạ pháptuyến χ(y) = χu(y) của một điểm y ∈ Ω là tập hợp các độ dốc (slopes)của các siêu phẳng tựa tại y nằm trên đồ thị của u, tức là

χ(y) = {p ∈ Rn : u(x) ≤ u(y) + p · (x − y), ∀x ∈ Ω} (2.1.9)

Ta thấy rằng χ(y) khác rỗng nếu và chỉ nếu y ∈ Γ+ Hơn nữa, khi

u ∈ C1(Ω) thì χ(y) = Du(y) trên Γ+, tức là χ là trường vector gradientcủa u trên Γ+ Một ví dụ hữu ích là hàm u(x) không khả vi dưới đây

Ta lấy Ω = B = BR(z) và u là hàm mà đồ thị là một nón với đáy vàđỉnh (z, a) với a là số thực dương, tức là

vì D2u ≤ 0 trên Γ+ Với mỗi số dương , xét ánh xạ

χ = χ − Itrong đó I là ma trận đơn vị Ma trận Jacobi của χ là D2u − I là không

âm thực sự trong một lân cận của Γ+, và cho  → 0 Hơn nữa, ánh xạ

χ là ánh xạ một-một trên Γ+, do đó ta có bất đẳng thức (2.1.12).Bây giờ ta chứng tỏ u có thể đánh giá qua |χ(Ω)| Thật vậy, giả sử uđạt cực đại dương tại điểm y ∈ Ω và cho k là một hàm mà đồ thị của k

là một nón K với đỉnh (y, u(y)) và đáy là ∂Ω Khi đó χk(Ω) ⊂ χu(Ω) vìvới mỗi siểu phẳng tựa với K đều tồn tại một siêu phẳng tiếp xúc songsong với đồ thị của u Bây giờ, lấy ˜k là một hàm mà đồ thị là nón ˜K vớiđỉnh (y, u(y)) và đáy Bd(y) Hiển nhiên, χk˜(Ω) ⊂ χk(Ω) và do đó

Chứng minh Dựa trên các Bổ đề 2.1.1 và 2.1.2 với trường hợp g ≡ 1.

Ta có ước lượng tổng quát hơn sau đây

Z

χ u (Ω)

g ≤Z

γ +

g(Du)| det D2u| (2.1.16)

và vì χk(Ω) ⊂ χu(Ω) nên theo (2.1.10) và (2.1.13) ta thu được ước lượng

Bây giờ ta giả sử rằng u ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω) và thỏa mãn Lu ≥ f trong

Ω với điều kiện (2.1.6) Ta lấy

g(p) = (|p|n/n−1+ µn/n−1)1−nvới µ > 0 cố định nào đó

Sử dụng bất đẳng thức H¨older ta có trong Ω+ = {x ∈ Ω : u(x) > 0},

trong khi đó với f ≡ 0 ta cho µ → 0 ta được (2.1.17)

Ước lượng (2.1.7) đối với hàm u ∈ C0(Ω) ∩ C2(Ω) Ước lượng đó cóthể được mở rộng tới hàm u ∈ C0(Ω) ∩ Wloc2,n(Ω) nhờ lí luận xấp xỉ Trướctiên giả sử rằng L là elliptic đều trong Ω với tỉ số |b|

λ cũng bị chặn Giả

sử {um} là một dãy trong C2(Ω) hội tụ theo nghĩa của Wloc2,n(Ω) tới hàm

u Với  > 0 bất kì, ta có thể giả sử rằng um hội tụ tới u trong W2,n(Ω)

và um ≤  + sup

∂Ω

trên ∂Ω với miền Ω ⊂⊂ Ω Áp dụng (2.1.7) vào hàm

um với Ω thay bởi Ω+, ta có

và do đó, cho m → ∞ và sử dụng {um} hội tự đều tới u trên Ω, ta có

từ (2.1.7) cho  → 0 ta thu được

Định lý 2.1.3 ([4, Định lý 9.6 Tr.225]) Giả sử u là hàm trong Wloc2,n(Ω)thỏa mãn Lu ≥ 0 trong Ω và c = 0 (c ≤ 0), khi đó u không đạt được cựcđại (cực đại dương) trong Ω trừ khi u là hàm hằng.

Chứng minh Giả sử trái lại rằng u không là hằng số trong Ω vàgiả sử cực đại của M trong Ω Khi đó tồn tại các hình cầu đồng tâm

Bρ(y) ⊂ BR(y) ⊂ Ω sao cho u < M trong Bρ(y) và u(x0) = M với

x0 ∈ BR(y) Sử dụng Định lý 2.1.1 và hàm v xác định bởi

v(x) = e−αr2 − e−αR2với r = |x−y| > ρ và α là hằng số dương và v(x0) = 0 ta có M −u−v > 0với  > 0 nào đó trong miền vành khăn A = BR(y) \ Bρ(y), điều này

2.2 Đánh giá đối với nghiệm mạnh

Trước tiên ta cần một số bất đẳng thức dùng để đánh giá đối với nghiệmmạnh

Bằng cách chia các cạnh của K0 làm hai phần bằng nhau, ta chia nhỏ

K0 thành 2n khối con với các phần trong rời nhau Các khối con K mà

theo (2.2.1) ta có

Z

˜ F

Đặc biệt, khi f là hàm đặc trưng χΓ của tập con đo được Γ của K0, từ(2.2.3) và (2.2.4) ta có

|Γ| = |Γ ∩ ˜F | ≤ t| ˜F | (2.2.5)

2.2.2 Định lý nội suy Marcinkiewicz

Giả sử f là hàm đo được trên miền Ω (bị chặn hoặc không bị chặn) trong

Rn Hàm phân bố µ = µf xác định bởi

µ(t) = µf(t) = |{x ∈ Ω : f (x) > t}| (2.2.6)với t > 0, và hàm này đo kích thước tương đối của f Ta thấy µ là hàmgiảm trên (0, ∞) Ta có tính chất sau của hàm µ

với mọi f ∈ Lq(Ω) ∩ Lr(Ω) và t > 0 Khi đó T được mở rộng tới một ánh

xạ tuyến tính bị chặn từ Lp(Ω) vào chính nó với bất kì p mà q < p < rvà

kT f kp ≤ CT1αT21−αkf kp (2.2.10)