Tổng hợp kiến thức toán THCS Đại số: Tập hợp, các khái niệm về ẩn số, hằng số, các loại phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, các bất đẳng thức thông dụng ... Hình học: khái niệm điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tia, tiên để Euclide, Các loại tam giác và đường đặc biệt trong tam giác, hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng, tứ giác nội tiếp, vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng, vị trí tương đối điểm và đường tròn, các góc đặc biệt trong đường tròn ...
Trang 1ĐẠI SỐ Tập hợp: ; ; ; (nếu thêm dấu * vào thì có nghĩa là các tập hợp ấy không chứa phần tử 0)
*; *; *; *
Phép toán: + (-); (/) (phép trừ là phép cộng với phần tử đối, phép chia là phép nhân với phần tử nghịch đảo) Lũy thừa: n
nthuaso
a a a a
Một số phép toán cơ bản với lũy thừa: (bắt nguồn từ tính chất của phép nhân)
0
.
1
.
1
m n m n
n
m m n
n
n
a
a a a
a
a
Ngoài ra:
Nếu n 2thì điều kiện xác định là a 0 Ngược lại ta không cần điều kiện cho a
Phép lấy giá trị tuyệt đối:
2
2
, 0
, 0
a a
a
a a
Một số khái niệm cơ bản:
Hằng số (đối số): là những giá trị đã biết (hoặc được cho là đã biết) trong phương trình Kí hiệu thường dùng:
a,b,c,m,n,…
Biến số (ẩn số): là những con số mà đề bài đặt ra và yêu cầu tìm Kí hiệu thường dùng: x,y,z,t,…
Bậc của một đa thức (một biến số):
Đa thức là tổ hợp của nhiều đơn thức, mỗi đơn thức gồm tích của một hằng số và một số biến số
Đa thức một biến có bậc là n nếu n là số mũ cao nhất của biến trong một đơn thức nào đó của nó
Các hằng đẳng thức:
2
a b a b a b
a b a b a ab b
1
a a
Trang 2Đa thức bậc nhất một ẩn số:
Đa thức bậc nhất có dạng: f(x)=ax+b (a 0)
Giải phương trình f x 0 ax b 0 x b
a
Một số dạng phương trình đưa về phương trình bậc nhất một ẩn số:
Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: f x ax b 0
ta giải quyết trên từng đoạn xác định dấu của phương trình dựa theo ẩn số để đưa về các phương trình bậc nhất
và tìm nghiệm
Phương trình chứa căn thức: f x ax b 0
Đặt điều kiện của x để biểu thức dưới dấu căn có giá trị dương sau đó bình phương 2 vế của phương trình để đưa
về lại phương trình bậc nhất một ẩn số và giải
Đa thức bậc hai một ẩn số:
Đa thức bậc hai một ẩn số có dạng: 2
f x ax bx c
Giải phương trình bậc hai: ax2 bx c 0
+ Nếu: a+b+c=0 thì pt có 2 nghiệm:
1
2
+ Nếu: a+b-c=0 thì pt có 2 nghiệm:
1
2
Nếu phương trình bậc 2 không có các hệ số rơi vào 2 dạng đặc biệt trên thì ta tiến hành:
+ Lập biệt thức : b2 4 ac
Nếu 0: Phương trình vô nghiệm
Nếu 0: Phương trình có nghiệm kép: 1 2
Nếu 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
2
+ Lập biệt thức: ' b '2 ac(với 1
' 2
b b) Nếu 0: Phương trình vô nghiệm
Nếu 0: Phương trình có nghiệm kép: b ' 1 2 b '
Nếu 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
1
2
Trang 3Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai:
Phương trình trùng phương: ax4 bx2 c 0
Đặt t=x2 0sau đó giải phương trình bậc 2 theo ẩn t: at2 bt c 0 Nhận các nghiệm t không âm và giải x Liên hệ giữa hệ thức Viet và phương trình bậc hai:
Nếu ta có 2 số u và v bất kì Đặt
11 22
S u v x x
P uv x x
Khi đó u và v là nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn: x2 Sx P 0
(tức là phương trình trên sẽ có 2 nghiệm và 2 nghiệm đó lần lượt bằng u và v (hay lần lượt bằng x1 và x2))
Đa thức một ẩn số bậc cao hơn bậc 2:
Đa thức bậc cao hơn hai có dạng : 1
f x a x a x a x a
Giải phương trình có bậc cao hơn hai: a xn n an1xn1 a x1 a0 0
Yêu cầu: Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng cách solve hoặc nhẩm nghiệm
Sau khi đã tìm được nghiệm nào đó của phương trình, ta thực hiện các phép chia Horner cho đến khi phương trình chỉ còn lại nhân tử bậc 2 hoặc bậc 3 Tiến hành giải nghiệm của phương trình bậc 2 hoặc bậc 3 này
Phép chia Horner: “Đầu rơi, nhân ngang, cộng chéo”
Sau khi thực hiện phân tích f(x) thành nhân tử Khi đó: f(x)=0 từng nhân tử bằng 0
Đa thức hai ẩn số bậc nhất: (lưu ý khái niệm bậc của đa thức nhiều ẩn số có một số mở rộng so với đa thức một ẩn số)
Đa thức hai ẩn số có dạng: f x ax by c
Khi cho f(x)=0 ta có: ax by c 0
Đây được gọi là một hàm số Biểu thị một đường thẳng trên hệ trục tọa độ Oxy Đường thẳng đó là tập hợp tất cả các điểm (x;y) thỏa mãn phương trình ax+by+c=0
b b
Để cho ngắn gọn ta viết: y=Ax+B (với A a ; B c
); A được gọi là Hệ số góc của đường thẳng
Lưu ý dạng y=Ax+B là dạng tổng quát của đường thẳng trong hệ trục tọa độ Oxy, dạng này không biểu thị được
đường thẳng có dạng x=C (khi b=0 thì ax c 0 x c
a
,đặt c
C a
) bao hàm trong dạng ax+by+c=0 Nếu (d’): y=A’x+B’; (d): y=Ax+B Nếu (d)//(d’) hoặc (d) vuông góc (d’) thì ta có:
' / / ' :
' ' : ' 1
A A
d d
B B
d d A A
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số:
Đây là hệ phương trình có dạng: 0
ax by c
a x b y c
Đây là loại hệ phương trình cơ bản, ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng hoặc thế
Ngoài ra còn có một số loại hệ phương trình nâng cao Cần sử dụng linh hoạt và hợp lý các phương pháp đặt ẩn số phụ, một số bất đẳng thức cơ bản để giải
Trang 4Bất phương trình: (bất đẳng thức)
Lưu ý cơ bản khi giải quyết bất đẳng thức: Khi nhân 2 vế của bất đẳng thức cho một số âm (khác 0) thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều
Một số bất đẳng thức thông dụng:
Bất đẳng thức Cauchy:
Với n số không âm: a a1; 2; ; an 0ta có:
1 2
.
n n
n
a a a n
Dấu “=” xảy ra khi: a1 a2 an
Bất đẳng thức Bunhiacopxki (hay còn gọi là BDT BCS (Bunhiacopxki – Cauchy – Swatch))
Với mọi bộ số a a1; 2; ; a b bn; ; ; ;1 2 bnbất kì ta có:
a b a b a b a a a b b b
Dấu “=” xảy ra khi: 1 2
n n
a
a a
b b b
Trang 5HÌNH HỌC
: Điểm
Đoạn thẳng
Tia Đường thẳng
Góc
Các tiên đề Ơclit:
Các cặp góc so le trong, so le ngoài, đối đỉnh, đồng vị là bằng nhau
Các cặp góc trong cùng phía, ngoài cùng phía có tổng số đo bằng 180 độ
Tam giác: Tam giác có tổng số đo 3 góc bằng 180 độ
Các dạng tam giác đặc biệt:
Tam giác cân: Là tam giác có 2 cạnh bên bằng nhau, 2 góc đáy bằng nhau Đường cao của tam giác cân (xuất phát từ đỉnh cân) cũng chính là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của đỉnh đó (Tam giác cân có 1 đường cao có tính chất này)
Trang 6Tam giác đều: Là tam giác có 3 cạnh bằng nhau, 3 góc bằng nhau đều bằng 60
độ Cả 3 đường cao của tam giác đều đều là đường phân giác, trung tuyến, trung trực
Tam giác vuông: Là tam giác có 1 góc vuông
Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
Định lý Pitago: BC2 AB2 AC2
2 2 2
.
AB BC BH
AC BC CH
AH HB HC
AB AC BC AH
Đường cao: Kẻ từ đỉnh, vuông góc với cạnh đối diện
Giao điểm 3 đường cao được gọi là trực tâm
Đường trung tuyến: Kẻ từ đỉnh, qua trung điểm cạnh đối diện
Giao điểm 3 đường trung tuyến là trọng tâm Nằm ở 2/3 kể từ đỉnh
Đường phân giác: Kẻ từ đỉnh, chia góc làm 2 góc bằng nhau
Giao điểm 3 đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp
Giả sử AM là đường phân giác kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC (M thuộc BC) Khi đó
ta có tỉ số sau: AB BM
AC CM
Tỉ số này cũng đúng đối với đường phân giác ngoài của tam giác
Đường trung trực: qua trung điểm và thẳng góc với cạnh đó
Giao điểm 3 đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp
Trang 7Hai tam giác bằng nhau:
Hai tam giác thường: Có 3 trường hợp
Cạnh – Cạnh – Cạnh (2 tam giác có 3 cặp cạnh đôi một bằng nhau)
Cạnh – Góc – Cạnh (2 tam giác có 1 cặp góc bằng nhau xen giữa 2 cặp cạnh đôi một bằng nhau)
Góc – Cạnh – Góc (2 tam giác có 1 cặp cạnh bằng nhau xen giữa 2 cặp góc đôi một bằng nhau)
Hai tam giác vuông: (mỗi tam giác đã có sẵn 1 góc vuông)
Cạnh huyền – góc nhọn (cặp cạnh huyền của 2 tam giác bằng nhau và 1 cặp góc nhọn của 2 tam giác bằng nhau) Cạnh huyền – cạnh góc vuông (cặp cạnh huyền của 2 tam giác bằng nhau và 1 cặp cạnh góc vuông của 2 tam giác
bằng nhau)
2 cặp cạnh góc vuông đôi một bằng nhau
Hai tam giác đồng dạng:
Hai tam giác thường: Có 3 trường hợp
Cạnh – Cạnh – Cạnh (2 tam giác có 3 cặp cạnh đôi một tỉ lệ)
Cạnh – Góc – Cạnh (2 tam giác có 1 cặp góc bằng nhau xen giữa 2 cặp cạnh đôi một tỉ lệ)
Góc – Góc (2 tam giác có 2 cặp góc đôi một bằng nhau)
Hai tam giác vuông:
1 cặp góc nhọn bằng nhau
2 cặp cạnh bất kì đôi một tỉ lệ
Tứ giác: tứ giác là hình có 4 cạnh, 4 góc và tổng số đo 4 góc bằng 360 độ
Hình thang: là hình có 2 cặp cạnh đối song song
Hình bình hành: là hình có 2 cặp cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau
Hình chữ nhật: là tứ giác có 3 góc vuông
Hình thoi: là tứ giác có 4 cạnh bằng nhau
Hình vuông: là tứ giác có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau
Trang 8Dấu hiệu nhận biết:
Hình bình hành:
- Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành
- Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành
- Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành
- Hình thang cân có 2 góc đối bằng nhau là hình bình hành
Hình thoi:
- Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau là hình thoi
- Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi
- Hình bình hành có 1 đường chéo là phân giác là hình thoi
Hình chữ nhật:
- Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật
- Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật
- Hình thang cân có 1 góc vuông là hình chữ nhật
Hình vuông:
- Hình thoi có 1 góc vuông là hình vuông
- Hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có 2 đường chéo vuông góc nhau là hình vuông
- Hình chữ nhật có các đường chéo là phân giác là hình vuông
Ta có sơ đồ dấu hiệu nhận biết các hình:
Đường tròn:
Cho một điểm O bất kì và một giá trị khoảng cách R>0 Tập hợp tất cả các điểm cách đều O một khoảng không đổi bằng R được gọi là đường tròn tâm O bán kính R Ký hiệu
là : (O;R)
Vị trí tương đối giữa đường tròn với điểm, đường thẳng:
Trang 9Cung và dây cung:
Nếu một đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm phân biệt thì đường nối hai điểm đó được gọi là dây cung 2 cung tròn bị chắn bởi dây đó được gọi là hai cung bị chắn
Các loại góc đối với đường tròn:
Góc ở tâm: là góc có số đo bằng số đo cung bị chắn
AOB sd AB
Góc nội tiếp: là góc có đỉnh nằm trên đường tròn Có số đo bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung
AMB AOB sd AB
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung (và bằng số đo góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Trang 10Góc có đỉnh nằm trong đường tròn có số đo bằng một nửa tổng số đo 2 cung bị chắn
1
2 sd AB sdCD
Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn: có số đo bằng nửa hiệu số đo 2 cung bị chắn
1 2
M sd AB sdCD
Tứ giác nội tiếp: là tứ giác có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180 độ hoặc có 2 đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một
góc bằng nhau
Lượng giác:
cos cot
sin tan
huyen BC doi AC
Một số công thức liên hệ giữa các giá trị lượng giác của góc:
2
2
2
2
sin cos 1
tan cot 1
1
1 tan
cos
1
1 cot
sin
Liên hệ giữa các góc và độ dài các cạnh:
Cạnh góc vuông = cạnh huyền sin góc đối = cạnh huyền cos góc kề
= cạnh góc vuông còn lại tan góc đối = cạnh góc vuông còn lại cot góc kề
