Tổng hợp bài tập lượng giác lớp 10

Tổng hợp bài tập lượng giác lớp 10 đầy đủ và nâng caoTổng hợp bài tập lượng giác lớp 10 đầy đủ và nâng caoTổng hợp bài tập lượng giác lớp 10 đầy đủ và nâng caoTổng hợp bài tập lượng giác lớp 10 đầy đủ và nâng caoTổng hợp bài tập lượng giác lớp 10 đầy đủ và nâng caoTổng hợp bài tập lượng giác lớp 10 đầy đủ và nâng cao

BI N I L NG GIÁC 10 Bài 1 Ch ng minh ng th c sau

a)

4

3 4cos 2 4cos 4 tan

3 4cos 2 4cos 4

x

=

2 4

1 cos 1 cos

x

= + π < < π

Ch ng minh

a) Ta có

( )2

3 4 cos 2± x+cos 4x= ±3 4cos 2x+2 cos 2x− =1 cos 2x±2 cos 2x+ =1 cos 2x±1

( )

2

4

1 2sin 1 cos 2 1

tan cos 2 1 2 cos 1 1

x x

−

b) Nhân v i l ng liên h p c a m u ta c:

2

1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

1 sin

1 cos 1 cos 2 1 cos 1 sin

VT

x

+

Vì π <x< π2 nên sinx = −sinx, do ó

2

1 1 2sin

x x

x

VT

x

VP

π

Vuihoc24h.vn

Bài 2 Rút g n bi u th c sau

a)

3

3

b)

2

2

1 tan

sin cos 1 tan

2

x x

x

− +

−

Ch ng minh

x−π = − π−x = − π−x = − x

3

7

7

2

π

− = −

x−π = − π−x = π−x = x

3

Khi ó,

( )

3

cot sin cos

cos

sin

1 cos sin

x

x

x

b) Ta có 1 sin2+ x=sin2x+cos2x+2sin cosx x=(sinx+cosx)2

2

−

2

2

1

1 tan

2 cos

2

x

x

Vuihoc24h.vn

Khi ó, 2 ( )2 2

2

2

cos

sin cos cos sin 1

2

x

x

x

x

+

Bài 3 Ch ng minh r ng

a) sin18 5 1

4

= b) t an15o = −2 3 c) t an22 30o ′ = 2 1−

Áp d ng ch ng minh ng th c sau:

1) 4cos36o+c ot7 30o ′= 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6

2) Ch ng minh r ng sin1o và cos1o là các s vô t

Ch ng minh

a) Ta có 54o+36o =90o suy ra sin54o =cos36o ⇔sin3.18o =cos 2.18o

3s in18o−4sin 18o = −1 2sin 18o ⇔ sin18o−1 4sin 18o+2sin18o−1 =0

Vì 0 sin18< o<1 nên sin18 5 1

4

=

2 2

1 1 2sin

x

+

( )2

0

3 1

1 cos 30 1 3

2

o

o

−

−

+

+

c) T ng t câu (b), nên l i cho các em luy n t p

Áp d ng

2

4

Vuihoc24h.vn

Nh n xét r ng: cotx=cot 2x+ 1 cot 2+ 2 x Th t v y, ta có

2 2

2

s in2 sin 2 s in2 2sin cos

Áp d ng i u này, ta c:

2

2 2

Khi ó, 4cos36o+c ot7 30o ′= 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6

2) Gi s! sin1o là s h u t , th thì sin3o =3sin1o−4sin 13 o là s h u t , suy ra

3

sin 9o =3sin3o−4sin 3o là s h u t

3

sin27o =3sin 9o−4sin 9o là s h u t

3

sin81o =3sin 27o−4sin 27o là s h u t

Khi ó, 5 1 sin18 2sin 9 cos9 2sin 9 sin 81

4

−

= = = là s h u t suy ra 5 là s h u t (MT)

Ch ng minh cos1o là s vô t hoàn toàn t ng t xem nh bài t p

−

=

Ch ng minh Ta có

sin 2sin cos

=

Nhân v theo v 8 ng th c trên ta c

Vuihoc24h.vn

sin sin sin sin sin sin sin 2 sin cos sin cos sin cos

sin cos sin cos sin cos sin cos

×

7

−

(vì sin(π −x)=sinx) Bài 5 Tính t"ng sau

a) cos2 cos4 cos6

c) S1=sinx+sin2x+ +sinnx và S=cosx+cos 2x+ +cosnx

d) S =sinx+sin(x+d) sin(+ x+2 )d + +sin(x+nd)

Gi i a) Nhân c hai v v i 2sin

7

π

r#i áp d ng công th c bi n "i tích thành t"ng 1

2

P = − b) H b c r#i áp d ng câu (a)

c) Nhân c hai v v i 2sin

2

x r#i áp d ng công th c bi n "i tích thành t"ng

1

( 1)

sin 2

x k x

S

x k

+

=

và 1

( 1) sin cos

sin 2

x k x

S

n x k

+

=

d) Nhân c hai v v i 2sin

2

d r#i áp d ng công th c bi n "i tích thành t"ng Bài 6 Tính giá tr các bi u th c sau

Vuihoc24h.vn

4 4 42 42 43 43

3

s 7 π

M$t khác,

2cos cos 2cos cos 2cos cos

2cos 14 1

2

=

π

= −

Nh v y, ta c

21 17

16 18

13 1

16 2

A

B A

B

B A

= + =

⇔

=

− = −

Vuihoc24h.vn

Bài 7 Ch ng minh r ng tan 3 3tan tan2 3

1 3tan

x

x

−

=

− T% ó, tính S =tan 102 o+tan 50 tan 702 + 2

Ch ng minh V i nh ng x ng th c có ngh&a Ta có

3

2

2

sin sin 3

sin

cos sin3 t an3

cos 3

VP

x

x x

x VT x

−

−

Áp d ng công th c trên ta c

2

9 tan 6 tan tan tan 3

1 6 tan 9 tan

x

=

V i 10o

x = , t% (*) ta c

2

1 9 tan 10 6 tan 10 tan 10 tan 30

o

3tan 10o 27 tan 10o 33tan 10o 1 0

Ngh&a là, tan 102 o là nghi m c a ph ng trình 33x3−27x2+33x− =1 0 (1)

M$t khác, tan 3.102 tan 3.502 tan 3.702 1

3

o= o = o = nên l p lu n nh trên ta c'ng c

tan 50 , tan 70o o là nghi m c a (1) Do ó, theo nh lý Viet

3

o

Bài 7 Cho bi t tanx, tany là nghi m c a ph ng trình x2+ px+q=0 Ch ng minh r ng

sin (x+y)+psin(x+y) cos(x+y)+qcos (x+ y)=q (*)

Ch ng minh Ta xét hai tr ng h p

2

x+y = ⇔x+y=π+ πk k∈ Do tanx, tany là nghi m c a x2+ px+q=0 nên

2

x y=q⇔ π− + πy k y=q⇔q=

L i do, cos(x+ y) 0= sin (2 x+y) 1= Khi ó, (*) úng

Vuihoc24h.vn

2) cos(x+y) 0≠ , ta có

2

2 2

sin ( ) sin( ) cos( ) cos ( ) cos ( )

cos ( ) 1

1 tan ( )

x y

x y

+

Trong ó, tan( ) tan tan

1 tan tan 1

x y

− − , suy ra VT(*) =q

Bài 8 Cho hàm s ( )f x =asinx b+ cosx Gi s! r ng f x( )1 = f x( ) 0,2 = ∀ −x1 x2 ≠ πk (k∈ )

Ch ng minh r ng f x( ) 0,= ∀ ∈x ((H 1970)

Ch ng minh Theo gi thi t ta có h

,

Xem h trên là h b c nh t theo hai )n a và b Ta có

sin cos

sin cos

Suy ra h có nghi m duy nh t a=b=0 V y ( ) 0,f x = ∀ ∈x

Bài 9 Bi t r ng tan , tan , tanx1 x2 x3 là ba nghi m c a ph ng trình x3+ax2+bx+ =c 0 và

tan , tan , tany y y là ba nghi m c a ph ng trình x3+cx2+bx+a=0 Ch ng minh r ng

x +x +x +y +y + y = πk k∈

Ch ng minh Tính tan(x1+x2+x3) và tan(y1+y2+y3) T% ó kh ng nh

tan(x +x +x)= −tan(y +y +y ) x +x +x +y +y +y = πk ,k∈

Bài 10 Cho

4

x+y+ =z π và tan , tan , tanx y z là ba nghi m c a x3+px2+qx+ =r 0 Ch ng minh

r ng p+ = +1 q r

Ch ng minh Áp d ng công th c c ng và nh lý Viet

Vuihoc24h.vn

Bài 11 Trong tam giác ABC, ch ng minh các h th c sau:

1)sin sin sin 4 cos cos cos

A+ B+ C=

2)sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sin sin sinA B C

3) cos cos cos 1 4sin sin sin

A+ B+ C= +

4)sin A+sin B+sin C =2(1 cos cos cos )+ A B C

5)tgA+tgB tgC+ =tgAtgBtgC

tg tg +tg tg +tg tg =

8) cot cotA B+cot cotB C+cot cotC A=1

9) cot

4

A

S

=

2 cos

2 10)a

A bc l

b c

=

+

2

bc A ac+ B+ab C= + +

12)(b+c) cosA+(a+c) cosB+(a+b) cosC=a+ +b c

( ) 2 2 2

13)abc cosA+cosB+cosC =a (p−a)+b (p b− )+c (p c− )

14) 4 sin sin sin

r= R

Bài 12 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c F =sin2A+sin2B+sin2C, trong ó, A, B, C là ba góc

c a tam giác ABC

Vuihoc24h.vn

HÌNH GI I TÍCH TRONG M T PH NG

Bài 1 Cho tam giác ABC có nh ( 1; 3)A − −

a) Cho bi t hai ng cao BH: 5x+3y−25 0= và CK: 3x+8y−12 0= Hãy xác nh t a các nh B và C

b) Xác nh t a nh B và C n u bi t ng trung tr c c a AB là 3x+2y− =4 0 và t a

tr ng tâm (4, 2)G − c a tam giác ABC ( H C n th )

Bài 2 Trong m$t ph ng t a Oxy, cho tam giác ABC có trong tâm ( 2, 1)G − − và các c nh

AB x+y+ = và AC: 2x+5y+ =3 0

a) Tìm t a nh A và t a trung i m M c a BC

b) Tìm t a nh B và vi t ph ng trình c nh BC ( H Qu c gia)

Bài 3 Trong m$t ph ng t a Oxy, vi t ph ng trình các ng th ng osng song v i ng th ng

d x− y+ = và có kho ng cách n (d) b ng 1 ( H Hu )

Bài 4 Cho tam giác ABC v i (1; 2), ( 2; 1), (3; 2)A B − − C −

a) L p ph ng trình ng phân giác trong góc A

b) L p ph ng trình phân giác ngoài góc B

Bài 5 a) L p ph ng trình ng tròn qua ba i m A(3;3), (1;1), (5;1)B C ( H C n th )

b) Cho (3, 2)A − và ng tròn ( ) :C x2+y2−4x−2y=0 Vi t ph ng trình ti p tuy n v i (C) v t% A và tìm t a ti p i m

c) L p ph ng trình ng tròn tâm I(4;3) và ti p xúc v i ng th ng d x: +2y− =5 0

Vuihoc24h.vn