Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng P bằng 4... Viết ph-ơng trình mặt phẳng song song với v
Trang 11) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường
thẳng (d) đi qua M(1;1;1), cắt đường thẳng 1
:
vuông góc với đường thẳng d2 :x 2 2 ;t y 5 ;t z 2 t (t R )
Phương trình mp(P) đi qua M và vuông góc với d2: 2x 5y z 2 0
Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: A 5; 1;3 d:
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): x y z 1 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng 1
:
d và ( ) :d2 x 1 t y; 1;zt, với t R
Lấy M d1 M 1 2 ; 1 t1 t t1 1 ; ; N d2 N 1 t; 1; t
Suy ra 2 1 2; ; 1 1
MN t t t t t
d mp P MN k n k R t t t t t
1
4 5 2 5
t
t 1; 3; 2
5 5 5
M
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1 :
; d 2 : 1 2 1
và mặt phẳng (P): x - y
- 2z + 3 = 0 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng , biết nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2
Gọi A = d1(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 (P) suy ra B(2; 3; 1)
Đường thẳng thỏa mãn bài toán đi qua A và B
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là u (1;3; 1)
Phương trình chính tắc của đường thẳng là: 1 2
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
và điểm M(0 ; - 2 ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4.
Giả sử n a b c( ; ; ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0
Trang 2Đường thẳng đi qua điểm A(1; 3; 0) và cú một vectơ chỉ phương (1;1; 4)
u
Từ giả thiết ta cú
2 2 2
| 5 |
4
P
d A P
(a 5 )c (2a 17c 8 )ac a - 2ac 8c 0
a 4 a 2
v
Với a 4
c chọn a = 4, c = 1 b = - 8 Phương trỡnh mặt phẳng (P): 4x - 8y + z - 16 = 0
Với a 2
c chọn a = 2, c = - 1 b = 2 Phương trỡnh mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0
1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phơng trình
0 11 6 4 2 2
2
2
y z x y z
x và mặt phẳng () có phơng trình 2x + 2y – z + 17 = 0 Viết
ph-ơng trình mặt phẳng () song song với () và cắt (S) theo giao tuyến là đờng tròn có chu vi bằng
6.
Do () // () nên () có phơng trình 2x + 2y – z + D = 0 (D 17)
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5
Đờng tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3
Khoảng cách từ I tới () là h = R2 r2 52 32 4
(loại) 17 D
7 D 12 D 5 4
) 1 ( 2 2
D 3 ) 2 ( 2 1
.
2
2 2
2
Vậy () có phơng trình 2x + 2y – z - 7 = 0
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0 Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
MC MB
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra G =
3
; 3
8
; 3 7
2 2 2
GC MG GB
MG GA
MG MC
MB MA
2 2 2 2 2
2 2 2
GC GB GA MG 3 ) GC GB GA ( MG 2 GC GB GA
MG
F nhỏ nhất MG 2 nhỏ nhất M là hình chiếu của G lên (P)
3 3
19 1
1 1
3 3 3 / 8 3 / 7 )) P ( , G (
d
3
64 9
104 9
32 9
56 GC
GB
GA2 2 2
Vậy F nhỏ nhất bằng
9
553 3
64 3
3
19 3
2
khi M là hình chiếu của G lên (P) 5) TRƯỜNG THPT CHUYấN VĨNH PHÚC
Trang 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyzcho mặt phẳng
P : x y z 1 0 và hai điểm A 1; 3;0 , B 5; 1; 2 Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất
Đặt vt của (P) là:f x; y;z x y z 1 ta có f x ; y ;z f x ; y ;z A A A B B B 0
A,B nằm về hai phía so với (P).Gọi B 'đối xứng với B qua (P)
'
B 1; 3;4
MA MB MA MB AB Đẳng thức xẩy ra khi M, A, B 'thẳng hàng
M P AB'.Mặt khác phương trình '
x 1 t
AB : y 3
z 2t
toạ độ M là
M 2; 3;6
x y z 1 0 z 6
2 Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :
d 1 :
, d2 :
2 2 3
y
z t
Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc
chung của d1 và d2
Các véc tơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là u 1
( 1; - 1; 2)
và u2
( - 2; 0; 1)
Có M( 2; 1; 0) d1; N( 2; 3; 0) d2
Xét u u1 ; 2.MN
= - 10 0Vậy d1 chéo d2 Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t) d1 B(2 – 2t’; 3; t’) d2
1
2
AB u
AB u
1 3 ' 0
t t
A 5 4; ; 2
3 3 3
; B (2; 3; 0) Đường thẳng qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của d1
và d2
Trang 4Ta có :
2
3 5 2
PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có dạng:
6) TRƯỜNG THPT THANH THUỶ 2008-2009
1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :
1
( ) :
và 2
( ) :
Viết phương trình mặt
phẳng chứa (d 1 ) và hợp với (d 2) một góc 300
Giả sử mặt phẳng cần tìm là: ( ) : ax by cz d 0 (a2 b2 c2 0)
Trên đường thẳng (d1) lấy 2 điểm: A(1; 0; -1), B(-1; 1; 0).
Do ( ) qua A, B nên: a c d a b d 00 c d a b2a b
( ) : ax by (2a b z a b ) 0
Yêu cầu bài toán cho ta: 1 sin 300 2 1.2 1.2 1.(22 2 ) 2
2 3a 2b 3(5a 4ab 2 )b 21a 36ab 10b 0
Dễ thấy b 0nên chọn b=1, suy ra:
18 114 21
18 114 21
a a
KL: Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn:
0
0
2) Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD biết A(0; 0; 2), B(-2; 2; 0), C(2; 0; 2), DH (ABC)và DH 3 với H là trực tâm tam giác ABC Tính góc giữa (DAB) và (ABC).
Trong tam giác ABC, gọi K CH AB
Khi đó, dễ thấy AB (DCK) Suy ra góc giữa (DAB) và
(ABC) chính là góc DKH Ta tìm tọa độ điểm H rồi
Tính được HK là xong.
+ Phương trình mặt phẳng (ABC).
Trang 5- Vecto pháp tuyến n [AB AC, ] 0; 4; 4
- (ABC): y z 2 0
+ H (ABC) nên giả sử H a b( ; ; 2 b)
Ta có: AH ( ; ;a b b BC ), (4; 2; 2)
CH (a 2; ;b b AB ), ( 2; 2; 2)
a b
AB CH
Vậy H(-2; -2; 4).
+ Phương trình mặt phẳng qua H và vuông góc với AB là:
4 0
x y z
Phương trình đường thẳng AB là:
2
x t
Giải hệ: 2
4 0
x t
x y z
ta được x =2/3; y =-2/3, z =8/3.
Suy ra: K(2/3;-2/3; 8/3) Suy ra:
HK
Gọi là góc cần tìm thì:
tan DH HK/ 96 /12 6 / 3 arctan( 6 / 3)
Vậy arctan( 6 / 3) là góc cần tìm
7) TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN 2009
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương trình tham số
y 2t
z 2 2t
Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D) Trong các mặt phẳng qua
, hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến (D) là lớn nhất.
B
D
H
K
Trang 6Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng
, thì ( ) //( )P D hoặc ( )P ( )D Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) Ta luôn có IH IA và IH AH
Mặt khác
Trong mặt phẳng P , IH IA; do đó maxIH = IA H A Lúc này (P) ở vị trí (P 0 ) vuông góc với IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là n IA 6;0; 3
, cùng phương với v 2;0; 1 Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: 2x 4 1.z 1 2x - z - 9 = 0
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6)
và đường thẳng có phương trình tham số
x 1 2t
y 1 t
z 2t
.Một điểm M thay
đổi trên đường thẳng , xác định vị trí của điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Đường thẳng có phương trình tham số:
1 2 1 2
Điểm M nên M 1 2 ;1 ;2t t t.
2
2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u3 ; 2 5t và
3 6; 2 5
v t
.
Trang 7Ta có
2 2
2 2
Suy ra AM BM | | | |u v
và u v 6; 4 5 |u v | 2 29 Mặt khác, với hai vectơ u v , ta luôn có | | | | |u v u v |
Như vậy AM BM 2 29
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v , cùng hướng
1
3 6 2 5
t
t t
M1;0; 2 và minAM BM 2 29
Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2 11 29
7) TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG
1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình:
(P): 2x y 2z 2 = 0; (d): 1 2
x y z
1 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 và vắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là
đường tròn có bán kính bằng 3.
Đường thẳng () có phương trình tham số là: 1 2 ;
2
Gọi tâm mặt cầu là I Giả sử I(t; 1 + 2t; 2+ t)()
Vì tâm mặt cầu cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 3 nên:
| 2 1 2 4 2 2 | | 6 5 |
2 3 7 3
t t
Có hai tâm mặt cầu: I 2 1 8; ; ; I 7; 17; 1
Vì mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng 4 nên mặt cầu có bán kính là R = 5.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
Trang 82 2 2 2 2 2
2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ nhất.
Đường thẳng () có VTCP u ( 1;2;1); PTTQ: 2 1 0
2 0
x y
x z
Mặt phẳng (P) có VTPT n (2; 1; 2)
Góc giữa đường thẳng () và mặt phẳng (P) là: sin | 2 2 2 | 6
3
3 6
Góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (Q) cần tìm là cos 1 6 3
Giả sử (Q) đi qua () có dạng: m(2x + y + 1) + n(x + z 2) = 0 (m2+ n2
> 0)
(2m + n)x + my + nz + m 2n = 0
Vậy góc giữa (P) và (Q) là: cos 2| 3 |2 3
3
m
m 2 + 2mn + n2 = 0 (m + n)2 = 0 m = n.
Chọn m = 1, n = 1, ta có: mặt phẳng (Q) là: x + y z + 3 = 0