Hướng dẫn học sinh cuối cấp THPT ôn tập giải một số bài toán hình học giải tích không gian nhằm nâng cao kết quả ôn thi THPTQG

Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu này giúp các em có một tài liệu và phương pháp ôn tập phần Hình học giải tích trong không gian hiệu quả vừa đảm bảo thời gian ôn tập hạn chế vừa đảm

I Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong thực tế giảng dạy học sinh lớp 12 môn toán, chương trình thường được kết thúc vào khoảng giữa hoặc cuối tháng tư Thời gian còn lại tới lúc các em bước vào thi THPTQG còn khoảng 2 tháng Đây là một khoảng thời gian rất quan trọng để các em ôn lại các phần kiến thức đã học Về cơ bản các em phải làm tốt hai vấn đề:

Vấn đề thứ nhất: Cần lên kế hoạch về thời gian để ôn tập cho từng phần.Vấn đề thứ hai: Tìm tài liệu để ôn tập và phương pháp ôn tập hiệu quả

Vấn đề thứ nhất các em có thể tự giải quyết được, vấn đề thứ hai tôi nghĩ đây là một điều khó khăn đối với các em

Để giúp các em giải quyết vấn đề này đó là lý do tôi chọn đề tài SKKN này

1.2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu này giúp các em có một tài liệu và phương pháp ôn tập phần Hình học giải tích trong không gian hiệu quả vừa đảm bảo thời gian ôn tập hạn chế vừa đảm bảo cơ bản đủ về nội dung kiến thức và được xắp xếp một cách

hệ thống

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiện cứu của đề tài là chất lượng ôn tập của học sinh cuối cấp chuẩn bị cho thi THPTQG, cụ thể là chất lượng ôn tập phần Hình học giải tích trong không gian lớp 12

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Với lý do, mục đích như trên, tôi xác định rõ đối tượng nghiên cứu và xây dựng phương pháp nghiên cứu Đó là xây dựng nội dung đề tài, áp dụng trong giảng dạy thực tế hai năm, năm học 2015-2016 và năm 2016-2017 Thống kê kết quả trước ôn tập và sau ôn tập qua các lần thi thử chất lượng ôn tập thi THPTQG

do trường tổ chức và Sở tổ chức Từ đó rút ra kết luận, đánh giá hiệu quả đề tài từ

đó chỉnh xửa và hoàn thiện đề tài

1.5 Những điểm mới của SKKN

II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong học tập, ôn tập là một phần không thể thiếu Dạy kiến thức mới luôn

đi kèm với ôn tập Ôn tập giúp người học hồi nhớ kiến thức, hoàn thiện kỷ năng và

là một phần không thể thiếu trước mỗi kỳ thi

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua khảo sát trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho thấy một số vấn

đề sau:

+ Học sinh khó khăn trong việc lựa chọn phương pháp, tài liệu ôn tập

+ Kết quả thi thử phần kiến thức này ở học sinh không đồng đều, số bài thi đạt điểm cao ít, rất nhiều bài bị mất điểm ở phần cơ bản do quên hoặc hiểu không đúng bản chất

+ Thời gian để xử lý bài toán dài, phát hiện vấn đề còn chập, xử lý chưa trôi chảy, kết quả không cao

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

* Giải pháp thứ nhất: Hướng dẫn học sinh ôn tập dựa vào sách giáo khoa và sách bài tập

+ Ưu diểm: Hệ thống kiến thức cơ bản, đầy đủ.

+ Nhược điểm:

Nội dung kiến thức trang bị cho học sinh tiếp cận lần đầu, không phù hợp vớiviệc ôn tập nước rút

Nội dung bài tập không thực sự sát với đề thi hiện tại

Lượng kiến thức chưa được hệ thống lại, học sinh không có được cách nhìn tổng thể cho phần kiến thức này

2

+ Kết luận: Giải pháp này rất mất thời gian, hơn nữa hiệu quả là không cao.

* Giải pháp thứ hai: Hướng dẫn học sinh tự ôn tập dựa vào hệ thống bài tập theo chuyên đề đã được học bồi dưỡng

+ Ưu diểm: Dễ thực hiện vì học sinh đã có sẵn tài liệu học

+ Nhược điểm: Kiến thức chưa phải là kiến thức tổng hợp, bài tập chủ yếu giải bằng kiến thức của bài học trước đó nên không phù hợp khi học sinh đã học xong chương trình

+ Kết luận: Không đáp ứng được yêu cầu thời gian và trọng tâm kiến thức

Từ những thực tế trên tôi đã nghiên cứu và xây dựng một giải pháp của SKKN là “ Hướng dẫn học sinh cuối cấp THPT ôn tập giải một số dạng toán hình học giải tích không gian nhằm nâng cao kết quả ôn thi THPTQG”

* Giải pháp của đề tài: “ Hướng dẫn học sinh cuối cấp THPT ôn tập giải một

số dạng toán hình học giải tích không gian nhằm nâng cao kết quả ôn thi

THPTQG”

A Tóm tắt lý thuyết 1/ Tọa độ vectơ, tọa độ điểm

+ Ba vectơ đồng phẳng  (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)tích hỗn tạp của chúng bằng 0)

+ A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện  không đồng phẳng

+ Cho hai vectơ không cùng phương và vectơ đồng phẳng với và

 k,l R sao cho

+ Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k thì ta có :

(tích hỗn tạp của chúng bằng 0)Với k ≠ -1) + Đặc biệt khi M là trung điểm của AB (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)k = – 1 ) thì ta có :

+ G là trọng tâm của tam giác ABC

c Góc giữa hai đường thẳng

5 Khoảng cách

a Khoảng cách giữa hai điểm

b Khoảng cách từ điểm tới mặt

Khoảng cách từ M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) đến mặt phẳng (α)): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi

công thức :

c Khoảng cách từ điểm tới đường

Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () đi qua M 0 có VTCP

d.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :

() đi qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) có VTCP , (’) đi qua M’(x’ 0 ;y’ 0 ;z’ 0 ) có VTCP

* Lưu ý: Độ dài vectơ

Trong phần này học sinh sẽ vận dụng công thức để tìm tọa độ điểm, véc tơ, nhậndạng hình học Qua phần này học sinh ôn tập được các phép toán cũng như công thức trong hình học tọa độ không gian

“VD1 Cho tam giác ABC có: A(1; 2; -1); B(3; -1; 2); C( 4; 0; 1) Tìm toạ độ chân

đường cao AH.” [1]

Hướng dẫn

Cách 1:

- Viết phương trình cạnh BC là (d)

- Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là (P)

- Giải hệ hai phương trình (d) và (P) được tọa độ H

- H thuộc (d), H có một ẩn, Giải được tọa độ H.

- Viết phương trình (ABC), chứng minh D thuộc (ABC)

b/ Hoàn tự như câu a, yêu cầu học sinh có thể giải bằng 3 cách trên

“VD3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0),

A’(0;0;3), C’(1;2;3).

a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp

b/ Tính thể tích hình hộp

c/ Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’.

d/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên đoạn A’C.”[1]

Hướng dẫn

a/ Cách 1:

Để tìm tọa độ điểm nào ta đặt tọa độ điểm đó rồi

giải điều kiện suy ra tọa độ

8

K J

VD: Tìm C

Đặt C(x;y;z), Giải ra tọa độ C

Cách 2:

Dùng công thức tọa độ trung điểm ta suy ra

VD: Tìm C: biết B,D suy ra I, biết I,A suy ra C

b/ Tính

c/ Tìm tọa độ trọng tâm của là chứng minh A,C’,

thẳng hàng

d/ Giải như VD1

“VD4 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4) Gọi M 1 , M 2 , M 3 lần lượt

là hình chiếu của A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz và N 1 , N 2 , N 3 là hình chiếu

của A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx.

a/ Dùng pp vẽ hình để suy nhanh tọa độ hình

- Hình chiếu của A lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx lần lượt có tạo độ

d/ Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích hình

chóp.”[1]

“Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)

a/ Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện

b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.

c/ Tính các góc của tam giác ABC.

d/ Tính diện tích tam giác BCD.

e/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh

c/ Phân tích vectơ theo ba vectơ ”[1]

“Bài 4: Cho A(2 ; 3 ; 1), B( 4; 1; -2) , C( 6; 3 ; 7), D( -5; -4; 8)

a/ CMR : ABCD là một tứ diện.

b/ Tính diện tích tam giác ABC ; Thể tích tứ diện D.ABC Từ đó suy ra chiều cao DH của tứ diện.”[1]

“Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Có đỉnh A trùng gốc toạ độ O,

B(a; 0; 0), D( 0; a; 0), A’(0; 0 ;b) biết a, b > 0 M là trung điểm của CC’.

a/ Tính thể tích tứ diện B.DA’M theo a,b.

b/ Xác định tỷ số a/ b để (A’BD) vuông góc với (MBD).”[2]

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng

I Phương trình mặt phẳng:

1 Trong không gian Oxyz, phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với

pháp tuyến của nó

2 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến có dạng :

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0

3 Mặt phẳng (P) đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) và song song hoặc chứa giá của 2 vectơ

và thì mặt phẳng (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)P) có vectơ pháp tuyến :

II Khi viết phương trình mặt phẳng:

1 Tìm được điểm đi qua và vectơ pháp tuyến thì phương trình là:

2 Tìm được vectơ pháp tuyến , chưa biết điểm đi qua thì phương

trình là: Ax+By+Cz+m =0 trong trường hợp này từ đk đề bài ta lập một phương

Cách 2: Đặt ẩn cho vectơ pháp tuyến , ba ẩn nhưng chỉ cần lập 2

phương trình là tìm ra được A,B,C

4 Nếu chưa biết cả hai yếu tố điểm và vectơ pháp tuyến thì ta gọi phương

trình mặt phẳng là: Ax+By+Cz+D =0 có 4 ẩn nhưng chỉ cần lập 3 phương trình là

đủ tìm được A,B,C,D

“VD1 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và

D( -1;1;2).

a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.

c/ Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD.

d/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với

mp(ABC).”[1]

Hướng dẫn

a/ Ta tìm vectơ pháp tuyến bằng cách: , Điểm đi qua thì chọn A,B hoặc C đều được.

b/ Điểm đi qua là trung điểm của AC, pháp tuyến chính là

c/ Điểm là A hoặc B đều được, pháp tuyến là

d/ Điểm là C hoặc D, pháp tuyến là

“VD2 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm M( 2; 5; 3) , N(0; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)P): 2x -3y –z +6 =0.”[1]

Hướng dẫn

Điểm là M hoặc N, pháp tuyến là

“VD3 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua giao tuyến của 2 mp: (M): x – 2y +

z – 1 = 0, (N): - x + y + 2z + 2 = 0 Và (Q) vuông góc với giá của véctơ

[1]

Hướng dẫn

+ Điểm đi qua là điểm bất kỳ thuộc giao tuyến của (M) và (N), pháp tuyến là

+ Lập song phương trình (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)Q) cần chọn một điểm thuộc giao tuyến của (M) và (N) thử vào (Q) xem thỏa mãn hay không để KL (Q) tồn tại hay không

“VD4 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm

M(2;1;-1) Viết phương trình mặt phẳng (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)α) có VTPT ) đi qua điểm M song song Ox và hợp

với mặt phẳng (P) một góc 450.”[1]

Hướng dẫn

+ Điểm đi qua là M đã biết

+ Vectơ pháp tuyến chưa biết, ta đặt là

(Chỉ cần lập đủ 2 phương trình là ra A,B,C)

+ Phương trình thứ nhất có được từ: và phương trình thứ hai có được từ

( phần này học sinh cần biết phương pháp chọn để tìm nhanh A,B,C)

“VD5 Trong không gian Oxyz cho A(-1;1;0), B(0;0;-2), C(1;1;1) Viết phương

45

P

cos( n,n ) cos  

3

Hướng dẫn

+ Điểm đi qua đã biết là A hoặc B

+ Pháp tuyến chưa biết ta đặt là

+ Cần lập 2 phương trình: Phương trình 1 có được từ đk: , phương trình thứhai có từ:

* Chú ý: Những bài toán lập phương trình mặt phẳng chưa biết vectơ pháp tuyến

mà cho giữ kiện “ Góc” hoặc “ Khoảng cách” thì thường phải đặt ẩn cho vectơ pháp tuyến, ba ẩn và cần lập được hai phương trình kết hợp phương pháp chọn để tìm nhanh ba ẩn của vectơ pháp tuyến.

Viết phương trình mặt phẳng qua E và song song với AB , CD.

Bài 5: Cho 4 điểm: A(0; -1; -1) , B( 2; 1; 3), C( -1; -2; 2) , D( -3; 0; -2)

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AB và song song với

AD, BC.

b/ Viết phương trình (Q) đi qua AB và song song với CD.

Bài 6: Cho 2 mặt phẳng (P) : x-2y+3z+1=0 ; (Q): 5x+y-z-2=0

b/ Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc toạ độ O và giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) , (Q).

“Bài 7: Cho hình lập phương : ABCDA’B’C’D’ có: A(0; 0; 0) , B( a; 0; 0) , D( 0;

a; 0), A’(0; 0; a).

a/ Tìm điểm I thoả mãn:

b/ Viết phương trình mặt phẳng ( IB’D’).

c/ mp(IB’D’) cắt Ox,Oy tại E,F CMR: E, I, F thẳng hàng, EF // BD.”[2]

Bài 8: viết phương trình mp (P) đi qua giao tuyến của 2 mp: x+2y+3z-5=0 ;

3x-2y-z+1=0 và chắn trên Ox, Oy những đoạn thẳng bằng nhau.

Bài 9: Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;3); B(0;-1;2),C(1;1;1) Viết phương

trình mặt phẳng (P) đi qua A, gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ (P) đến B bằng khoảng cách từ (P) đến C

Bài 10: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)P) đi qua giao tuyến

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng

I Phương trình đường thẳng :

1 Phương trình tham số của đường thẳng : (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)1)

Trong đó M0(tích hỗn tạp của chúng bằng 0)x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và là vectơchỉ phương của đường thẳng

2 Phương trình chính tắc của đuờng thẳng : (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)2)

14

Trong đó M0(tích hỗn tạp của chúng bằng 0)x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và là vectơchỉ phương của đường thẳng.

II Khi viết phương trình đường thẳng

1 Tìm được điểm đi qua và vectơ chỉ phương thì phương trình là (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)1), (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)2)

2 Khi tìm được điểm mà chưa biết vectơ chỉ phương ta thường có 2 cách:

+ Cách 1: Tìm 2 vectơ cùng vuông góc với khi đó

“VD1 Trong không gian Oxyz, Cho 2 mặt phẳng (P):x-2y+3z-1=0 và (Q):

x+y-z+1=0 và điểm A(0; -3; 2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và song song

với cả (P) và (Q).”[1]

Hướng dẫn

+ Điểm đi qua là A đã biết

+ Tìm vectơ chỉ phương: Là

“VD2 Trong không gian Oxyz, cho (P): 3x-2y+z=0 và A(1; 2; 1) CMR A thuộc

(P), Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P).”[1]

“VD3 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (a): Lập phương

trình đường thẳng d đi qua A(3; 2; 1), d vuông góc và cắt đường thẳng a.”[1]

Hướng dẫn

Cách 1: Ta dùng phương pháp 2 điểm:

+ Gọi B là giao điểm của d và a, B thuộc a có một ẩn

+ Giải đk ra tọa độ B, khi đó d là đường AB

Cách 2: Ta dùng phương pháp 2 mặt

+ Lập phương trình (P) chứa a và A

+ Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa A và vuông góc với a

+ d là giao tuyến của (Q) và (P) suy ra phương trình d

“VD4.Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0 và đường thẳng

+ Khi đó d là giao tuyến của (P) và (Q)

“VD5 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3;-1;1) và đường thẳng

và (P): x-y+z-5=0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với (tích hỗn tạp của chúng bằng 0) ) một góc ”[1]

Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho (P): 3x-2y+z=0 và A(1; 2; 1) CMR A thuộc

(P), Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P).

Bài 2: Trong không gian Oxyz, lập phương trình đường thẳng d đi qua M(2; 3; -5)

và song song với đường thẳng (a) là giao tuyến của 2 mp(P): 3x-y+2z-7=0 và (Q):

x+3y-2z+3=0.

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (tích hỗn tạp của chúng bằng 0)a): Lập phương

trình đường thẳng d đi qua A(3; 2; 1) và d vuông góc và cắt đường thẳng (a)

Bài 4: Trong không gian Oxyz, Cho 2 đường thẳng (a): và (b) là giao tuyến của 2 mp sau: (P): x+1=0 ; (Q): x+y-z+2=0 và một điểm A(0; 1; 1).

Viết phương trình đường thẳng d biết d vuông góc với (a), đi qua A và cắt (b).

t y

t x

3 2 3 1

Bài 5: Trong không gian Oxyz, Cho mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0 và đường thẳng

Viết pt đường thẳng d đi qua giao điểm A của (P) và (a) đồng thời vuông góc với

(a) và nằm trong mp(P).

Bài 6: Trong không gian Oxyz, Cho 3 đường thẳng: d 1 : ; d 2:

và d 3 là giao tuyến của 2 mặt phẳng có pt: x-y+4z-3=0 ;

2x-y-z+1=0.

Viết pt đường thẳng d song song với d 1 và cắt cả d 2 ; d 3

Bài 7: Trong không gian Oxyz, Cho A(1; 2; 3) và 2 đường thẳng d 1:

; d 2:

a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d 1

b/ Viết pt đường thẳng d biết d đi qua A, vuông góc với d 1 và cắt d 2

Bài 7: Trong không gian Oxyz, viết pt đường thẳng d đi qua A(1; -1; 1) và cắt cả 2

đường thẳng sau:

d 1: và d 2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng có pt: x+y+z-1=0 ; y+2z-3=0.

Bài 7: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P):

y+2z=0 và cắt cả 2 đường thẳng:

d 1: ; d 2:

3

2 1

t y

t x

5 1 3

3

2 4

1 1

t

y

t x

3

2 1

z

t y

t x