SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI SỬ DỤNG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG Ở CHƯƠNG TRÌNH THCS ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
SỬ DỤNG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG Ở CHƯƠNG TRÌNH THCS ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Ở CHƯƠNG TRÌNH THPT GIÚP HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ THANH 2
ÔN LUYỆN THI THPT QUỐC GIA VÀ HỌC SINH
GIỎI CÁC CẤP
Người thực hiện: Nguyễn Thị Thanh
Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
Trang 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài
Trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia và đề thi học sinh giỏi THPT có môt
phần rất quan trọng nằm ở câu vận dụng cao đó là câu hỏi về hình học phẳng nằm ở chương trình lớp 10 Đây là phần tiếp nối của hình học phẳng ở cấp Trung học cơ sở nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số và giải tích Như vậy, mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều mang bản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó Tuy nhiên, khi giải các bài toán hình học toạ độ học sinh thường không chú trọng đến bản chất hình học của bài toán ấy, một phần vì học sinh ngại hình học phẳng vì cứ nghĩ hình học phẳng là khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh Do
đó, hiệu quả giải toán không cao mà sự phân loại dạng toán, phương pháp giải toán cũng không rõ ràng Thực tế yêu cầu trong việc giảng dạy chỉ phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toán hình học toạ độ trong mặt phẳng Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu
ra một cách định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng
dựa trên bản chất hình học phẳng của bài toán đó Vì vậy, với trách nhiệm của
mình, tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên đề từ đó rèn luyện kĩ năng nhận dạng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh để các em không còn e ngại hay lúng túng khi gặp các dạng toán này Qua quá trình tích lũy tôi viết sáng kiến kinh
nghiệm: “Sử dụng một số bài toán đặc trưng của hình học phẳng ở chương trình
THCS để giải một số bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng ở chương trình THPT giúp học sinh trường THPT Như Thanh 2 ôn luyện thi THPT Quốc gia và
học sinh giỏi các cấp”
1.2 Mục đich nghiên cứu
Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán của hình học phẳng ở chương trình THCS có ứng dụng để giải các bài toán có liên quan ở hình học giải tích ở chương trình THPT và góp phần giúp các em giải quyết tốt các bài toán về hình học giải tích
Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấp cho học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào các kì thi THPT Quốc gia và kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá
Trang 3Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Tính chất đặc trưng của hình học phẳng, bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng lớp 10
Một số đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá từ 2012 đến nay
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 10 và lớp 12
- Đánh giá kết quả học tập, kết quả các kì thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán của học sinh lớp 12C1 năm học 2016-2017 Lớp 11A1 năm học 2017-2018 trường THPT Như Thanh 2
- Phân tích, đánh giá, tổng hợp các dạng toán liên quan đến bài toán về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Đặc biệt là các bài toán, dạng toán liên quan đến hình học giải tích trong mặt phẳng trong các kì thi THPT Quốc Gia, các kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa trong các năm gần đây
Trang 42 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận
Một số bài toán cơ bản của hình học phẳng thường dung.
Bài toán 1: Liên quan đến trung điểm của đoạn thẳng.
Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng
AH với đường tròn ngoại tiếp ABC và K là giao điểm của AH với BC Chứng minh rằng K là trung điểm của HD
Chứng minh
Ta có ˆB2 Aˆ 1 (góc nội tiếp cùng chắn cung DC )
Và ˆB A1 ˆ 1 ( cùng phụ với góc ACBˆ )
ˆ ˆ
B B
BHD cân tại B mà BK HD nên K là trung điểm của HD (đpcm)
Bài toán 2 : Liên quan đến quan hệ vuông góc trong giải toán
1 Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD.
Chứng minh rằng AM BN
Chứng minh:
M
N
M
N
Trang 5ˆ ˆ ( )
ABM BCN c g c MAB NBC
Mà NBC NBAˆ ˆ 900 ABN NBCˆ ˆ 900 AM BN (đpcm)
2 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I Gọi H, K lần lượt là
chân đường cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC Chứng minh rằng
IA HK
Chứng minh
Kẻ tiếp tuyến Ax của đường trong ngoại tiếp tam giác
ABC tại A ˆ ˆ 1 dAB
2
KAx ACB s
(1)
Do BHC BKCˆ ˆ 900 nên tứ giác BKHC nội tiếp
suy ra AKHˆ ACBˆ (2) (cùng bù với góc BKHˆ )
Từ (1) và (2) KAx AKHˆ ˆ HK/ /Ax mà IA Ax IAHK (đpcm)
Bài toán 3: Liên quan đến trực tâm của tam giác
Cho tam giác ABC cân tại A Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,
D là trung điểm của cạnh AB, E và G lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD
và ABC Chứng minh rằng I là trực tâm tam giác DEG
Chứng minh
Trang 6Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AD Khi đó theo tính chất trọng tâm tam giác ta có 2 / / Hay GE//AB
3
CG CE
GE DN
CD CN mà IDAB IDGE (1) Mặt khác ABC cân tại A nên AI BC mà DM
là đường trung bình của ABC DM/ /BC
do đó AI DM hay GI DM (2)
Từ (1) và (2) suy ra I là trực tâm tam giác DGE
2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Thực trạng đứng trước một bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng học sinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán
từ đâu ? Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế là không cao Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải toán hình học toạ độ trong mặt phẳng, giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng hình học của bài toán để tìm lời giải Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo các phương pháp giải là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng
và giải toán Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng thường không suy nghĩ, đào sâu thêm Học sinh không chú ý đến bản chất hình học phẳng của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán hình học toạ độ nhưng vẫn không phân loại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán
Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thông thường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn giản Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ
ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán Từ đó, hiệu quả giải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng theo bản chất hình học phẳng Vì vậy, song song với các lời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng, tôi luôn yêu cầu học sinh chỉ ra bản chất và bài toán hình phẳng tương ứng, từ đó phân tích ngược lại cho bài toán vừa giải Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả Việc đưa nội dung này nhằm khai thác các tính chất hình học phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ và xem việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải toán chứ không phải là chúng ta đi giải một bài hình học phẳng Qua đó giúp học sinh nhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng luôn chứa đựng một bài toán hình phẳng tương ứng” Vì vậy phân tích bản chất của bài toán hình học phẳng để bổ trợ cho việc giải bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học toạ
độ trong mặt phẳng
Trang 72.3 Các giải pháp đã tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề
1 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên
2 Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong
đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán hình học phẳng tương ứng
3 Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh
4 Trong mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất hình học phẳng cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán
5 Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện
Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất, tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng cho bài học Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời giải, phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi: bản chất bài toán ấy là gì? Có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được không? Bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng xuất hiện thường xuyên trong các đề thi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Vì vậy, để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán Trong các buổi học này chúng ta sẽ cùng nghiên cứu về một phương pháp tư duy giải toán: "phân tích tính chất hình học phẳng trong bài toán hình học toạ độ tương ứng" Trước hết, ta cần chú ý chuyển bài toán toạ độ
về bài toán hình phẳng trên cơ sở các dữ kiện bài toán đã cho Sau đó, ta sẽ phân tích tính chất hình học trên hình phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán
Cụ thể sau đây là một số ví dụ áp dụng một số bài toán cơ bản của hình học
phẳng ở chương trình THCS để giải một số bài toán hình học giải tích ở chương trình THPT.
Áp dụng Bài toán 1: Liên quan đến trung điểm của đoạn thẳng
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC nhọn có trực tâm H(5;5), phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là x+y-8=0 biết đường tròn ngoại tiếp ABC đi qua
2 điểm M(7 ;3), N(4 ;2) Tìm tọa độ các đỉnh của ABC
Hướng dẫn giải.
Trang 8Gọi D là giao điểm của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo KQ bài toán gốc thì D đối xứng với H qua BC
+Đường thẳng (HHD) vuông góc với BC và qua H có PT x-y=0
+ Gọi K là chân đường cao hạ từ A {K} AHBC K(4;4) D(3;3)
+ Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đi qua 3 điểm
D(3 ;3),M(7 ;3),N(4 ;2) có PT : x2 y2 10x 8y 36 0
+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 2 20 (6;6)
10 8 36 0
x y
A
+ Tọa độ điểm B,C là nghiệm của hệ 2 28 0 (6; 2), (3;5)
x y
hoặc B(3 ;5),C(6 ;2).
Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy cho ABC nhọn Đường trung tuyến kẻ từ A và phương trình đường thẳng BC lần lượt là 3x 5y 8 0 & x y 4 0 Đường thẳng qua A và vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tai điểm thứ hai là D(4;-2) Viết phương trình các cạnh AB, AC biết x B 3
Hướng dẫn giải
Gọi M là trung điểm BC
+ Tọa độ điểm {M}=AMBC là nghiệm của hệ 4 0 ( ;7 1)
x y
M
x y
Trang 9+ Tọa độ điểm {A}=AM AD là nghiệm của hệ 2 0 (1;1)
x y
A
x y
+ Tọa độ điểm {K}=ADBC là nghiệm của hệ 2 0 (3; 1)
4 0
x y
K
x y
+Theo KQ bài toán gốc thì D đối xứng với H qua BC H(2; 4)
Do B BC B t t( ; 4). M là trung điểm của BC nên C(7-t;3-t)
( 2; 8); (6 ;2 )
2 0 ( 2)(6 ) ( 8)(2 ) 0
7
t
t
Do x B 3 B(2; 2), (5;1) C AB x y: 3 4 0; AC y: 1 0
Ví dụ 3 ( Trích đề thi HSG cấp tỉnh môn toán tỉnh Thanh Hoá năm 2013)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác nhọn ABC Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương
trình là 3x 5y 8 0, x y 4 0 Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D4; 2
Viết phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B
không lớn hơn 3
Hướng dẫn giải
M K H
D
C B
A
Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của
BC và AD, E là giao điểm của BH và AC Ta kí hiệu n u d, d
lần lượt là vtpt, vtcp
của đường thẳng d
Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
7
;
2
x
x y
M
x y
y
AD vuông góc với BC nên n AD u BC 1;1
, mà AD đi qua điểm D suy ra phương
trình của AD:1x 4 1y 2 0 x y 2 0 Do A là giao điểm của AD và
AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
Trang 10
1;1
A
Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình: 4 0 3 3; 1
K
Tứ giác HKCE nội tiếp nên BHKˆ KCEˆ , mà KCE BDAˆ ˆ (nội tiếp chắn cung AB) Suy ra BHKˆ BDAˆ , vậy K là trung điểm của HD nên H2; 4
Do B thuộc BC B t t ; 4, kết hợp với M là trung điểm BC suy ra C7 t;3 t
( 2; 8); (6 ; 2 )
HB t t AC t t
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
2
7
t
t
Do t 3 t 2 B2; 2 , C5;1 Ta có
1; 3 , 4;0 AB 3;1 , AC 0;1
AB AC n n
Suy ra AB x y: 3 4 0; AC y: 1 0
Áp dụng Bài toán 2: Liên quan đến quan hệ vuông góc trong giải toán
Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có BC=2BA Gọi
F(1;1) là điểm trên cạnh BC sao cho 1
4
BE BC Điểm ( ; )4 8
5 5
H là giao điểm của
BD và AF Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết B nằm trên đường thẳng (d): x+2y-6=0
Hướng dẫn giải.
+ Viết PT đường thẳng AF qua H và F
+ Viết PT đường thẳng BD qua H và vuông góc với AF
+ Điểm B là giao điểm của (d) với BD Ta có 1
4
BF BC C
+ Viết PT đường thẳng AB qua B và vuông góc với BF
+ Điểm A là giao điểm của AF với AB; DCAB D
Trang 11Ví dụ 2 Trong mặt phẳng oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh B(0;4) Gọi M và
N lần lượt là trung điểm của BC và CD Gọi ( ; )4 8
5 5
H là giao điểm của AM và
BN Xác định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc đường thẳng (d) : x +2y +4 =0
Hướng dẫn giải
+PT đường thẳng BN: 3x+y-4=0
+PT đường thẳng AM BN sẽ có PT : x 3y 4 0
+ Điểm A là giao điểm của AM &d nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
3 4 0 ( 4;0) (BC): x+y-4=0
2 4 0
+ Điểm M là giao điểm của AM &CB nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
4 0
(2;2) 4;0), (0; 4)
3 4 0
x y
Ví dụ 3 ( trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá năm 2014)
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần
lượt là trung điểm của đoạn AB và BC Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống
CM Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết ( 1; 5), ( 1;0)
2
N H và điểm
D nằm trên đường thẳng( ) :d x y 4 0
Hướng dẫn giải
N H
H
Trang 12Trong tam vuông BCH ta có : HN=NC (1)
Mặt khác: BH và DN song song với
(Vì cùng vuông góc với MC)
Từ đó: H và C đối xứng qua DN
ˆ ˆ
DHN DCN
DH vuông góc với HN
Gọi D(m ; m-4) Sử dụng điều kiện HD HN 0 m 4 D(4;0)
Nhận xét H và C đối xứng qua DN tìm được C (1; 4)
Từ đó tìm được : A(0;3), ( 3; 1)B
Ví dụ 4 (Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá năm 2016)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có,
0
B BADADC và A, C thuộc trục hoành Gọi E là trung điểm của đoạn
AD, đường thẳng EC đi qua điểm F ( 4;1).Tìm toạ độ các đỉnh A, C, D biết EC vuông góc với BD và điểm E có tọa độ nguyên.
Hướng dẫn giải
y=0
I
J H
C
E B(2;4)
D
A
F(-4;1)
Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE, cắt BE và BD lần lượt tại I và H; gọi J
là giao điểm của BD với CE Khi đó ta có:
2
EH EB EA EB EI EB EA
và EH EC ED EC EJ EC ED 2 EA2
EH EB EH EC EH EB EC EH BC
suy ra H là trực tâm của EBC
suy ra A H C, , thẳng hàng Do đó BEAC.
Đường thẳng BE qua B(2;4) vuông góc với Ox nên có phương trình x =2.
Gọi A a( ;0), (2; )E b D(4 a b BA a;2 ); ( 2; 4); EA a( 2; b BD); (2 a b;2 4) vàFE(6;b 1)
2
BAEA a b
FEBD a b b
Thay (2) vào (1) ta được b4 6b3 13b2 24b 4 0
(b 1)(b 7b 20b 4) 0 b 1
(do b nguyên)
(Ta chứng minh được phương trình b3 7b2 20b 4 0có nghiệm duy nhất trên khoảng 1;0nên không có nghiệm nguyên )
Khi đó A(4;0), (0; 2)D , đường thẳng CD có phương trình 2x y 2 0 cắt Ox tạiC(-1;0).Vậy A(4;0), (0; 2) và ( 1;0)D C là các điểm cần tìm
Áp dụng Bài toán 3: Liên quan đến trực tâm của tam giác