Sở GD & ĐT Nam Định Đề thi học kỳ IITrờng THPT.A.. b Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi C và trục hoành.. 3.Tớnh khoảng cỏch từ điểm M tới đường thẳng d’.. II/ Phần tự chọn học sinh
Trang 1Sở GD & ĐT Nam Định Đề thi học kỳ II
Trờng THPT.A NH Năm học 2010 - 2011
Môn : Toán lớp 12
Thời gian làm bài : 90 phút
I/ Phần chung cho tất cả học sinh ( 8 điểm)
Câu 1 : Cho hàm số : y = −x4 +4x2 −3 (1)
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Câu 2 : Tính tích phân :
a) A = dx
x
x
∫5 1 2
ln
b) B = dx
x
x x
∫
Π + 0
2
cos 1
sin
Câu 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ oxyz cho hai đờng thẳng lần lợt có phơng
trình là : d :
1 1
2 1
z y
x
=
−
−
1
5 1
3 2
2
−
+
=
−
=
x
Và điểm M(-1;1;2) 1.Chứng minh hai đường thẳng d và d’chộo nhau.Tớnh gúc giữa d và d’
2.Viết phơng trình mặt cầu (S) có tâm M và tiếp xúc với mặt phẳng
(P) : 2x - y + z - 3 = 0.Tìm toạ độ tiếp điểm
3.Tớnh khoảng cỏch từ điểm M tới đường thẳng d’
II/ Phần tự chọn (học sinh chọn một trong hai câu 4a hoặc câu 4b ) (2 điểm)
Câu 4a : (Dành cho học sinh học chơng trình Cơ bản).
1.Với mặt cầu (S) ở câu 3.2 Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm
N(-
2
1 ; 2;1) và cắt mặt cầu (S) theo đờng tròn giao tuyến có bán kính nhỏ nhất
2.Tỡm số phức z , biết z + z = ( 2 + i )2
Câu 4b : (Dành cho học sinh học chơng trình Nâng cao)
1.Với giả thiết như cõu 3.Tìm toạ độ điểm A thuộc d, điểm B thuộc d’ sao cho độ
dài đoạn AB ngắn nhất
2 Giải phơng trình trên tập số phức : z2 + (3 + 2i)z - 7 + 17i = 0
Hết
Đáp án toán 12
- TXĐ D=R
- Sự biến thiờn
→−∞ = −∞ →+∞ = −∞
- Bảng biến thiờn : y’ = - 4x3 + 8x = 0 ⇔x = 0 hoặc x = ± 2
0,25 0,25 0,25
Trang 2x − ∞ − 2 0 2 + ∞
y’ + 0 0 + 0
y 1 1
− ∞ - 3 − ∞
- HS đồng biến trên các khoảng (− ∞ ; − 2)và (0; 2)
nghịch biến trên các khoảng (− 2;0) và ( 2 ; +∞)
- HS đạt CĐ tại : x = ± 2, yCĐ = 1; HS đạt CT tại : x=0 , yCT = − 3
- Đồ thị : y là hs chẵn nên oy là trục đối xứng
- Giao điểm của đồ thị với Oy : (0; - 3) y
- Giao điểm của đồ thị với Ox :
( -1 ;0 ) (1;0) , (− 3; 0), ( 3; 0) 1
− 3 -1 1 3 x
− 2 o 2
-3
0,25
0,25 0,25 0,25 0,25
- Từ hình vẽ ta có : S = 2
− +
− + +
−
0
3 1
2 4 2
= 2
− + − +
1
3 5 1
0
3 5
3 3
4 5
3 3
4
x x x
x x
= 2 + −15
3 12 28 15
28
=
15
) 3 3 14 (
0,25 0,25
0,25 0,25
- Đặt u = lnx ⇒ du =
x
dx
; dv = dx
x2
x
1
−
xln
1
1 + dx
x
∫5 1 2
1
=
= ln 5
5
1
−
x
1
− 5
1 = ln 5
5
1 5
4
−
0,25 0,25 0,5
- Đặt x = Π −t ⇒ dx = - dt ⇒ B = dt
t
t t
∫
Π
+
− Π 0
2
cos 1
sin ) (
t
t
∫
Π
+
Π 0
2
cos 1
sin
t
t t
∫
Π
+ 0
2
cos 1
sin
x
x
∫
Π
+
Π 0
2
cos 1
sin
x
x x
∫
Π
+ 0
2
cos 1
sin
⇒
x
x
∫
Π
+
Π 0
2
cos 1
sin
; Đặt cosx = tant ⇒ - sinxdx = (1 + tan2t)dt ⇒
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 3- 2B = dt
t
t
∫
Π
Π
− +
+
Π 4 4
2
2
tan 1
tan 1
= Πt 4
4
Π
Π
− =
2
2
Π ⇒ B =
4
2 Π
đ
- đt d đi qua M0(0;2;0),u = ( 1 ; − 1 ; 1 ),đt d’ đi qua M0’(2;3;-5), u' = ( 2 ; 1 ; − 1 )
- Tớnh được [u ;u'] = (0;3;3) , ' ( 2 ; 1 ; 5 )
0
0M = −
M
- Tớnh được [u ;u'] ' =
0
0M
M − 12 ≠ 0 ⇒ d và d’ chộo nhau.
- Ta cú u.u' = 2 − 1 − 1 = 0 ⇒d ⊥d' Vậy (d;d’) = 900
0,25 0,25 0,25 0,5
.- Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) ⇔
R = d( M;(P)) =
6
4 6
3 2 1 2
=
− +
−
−
- PT mặt cầu (S) : (x +1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 =
3 8
- đt d1 qua M và ⊥(P) có pt là : x = - 1 + 2t ; y = 1 - t ; z = 2 + t
- Gọi H là tiếp điểm thì toạ độ H là n0 hệ pt d1 và (P) Giải pt
2(-1 +2t) -(1 - t) + (2 + t) - 3 = 0 ⇔t =
3
3
8
; 3
1
; 3 1
0,25 0,25 0,25 0,25
đ
- Ta cú : MM0 = ( 3 ; 2 ; − 7 ), u' = ( 2 ; 1 ; − 1 )
- Tớnh được [MM0,u'] = (5;-11;-1)
- d(M,d’) = [ ]
'
' ,
0
u
u MM
=
2
2 7 6
1 121
0,25 0,25 0,25
- Ta có MN2 = (
2
1)2 + 12 + (-1)2 =
4
9 <
3
8 = R2 ⇒ N ở trong mặt cầu (S)
⇒ (Q)∩(S) theo đờng tròn giao tuyến có bán kính r
- Gọi K là hình chiếu của M trên mp(Q) ⇒ MK ≤ MN và r2 = R2 - MK2
- nên r nhỏ nhất ⇔ MK lớn nhất ⇔ K ≡ N ⇒ ; 1 ; 1 )
2
1
=
của mp(Q) ⇒ PT mp(Q) là 2x + 4y - 4z - 3 = 0
0,25 0,25 0,25 0,25
- Đặt z = a + bi Từ gt ta cú a2 +b2 +a+bi=3+4i ⇒ b = 4 và
3
2
2 +b +a =
a2 +16 = (3 – a)2 ⇒ a =
6
7
− ⇒ z = 4i
6
7 +
−
0,5 0,5
- A∈d ⇒ A(t; 2 −t;t), B∈d' ⇒ B( 2 + 2t ;' 3 +t ;' − 5 −t' ) 0,25
0,25
Trang 4AB ngắn nhất khi nú là đoạn vuụng gúc chung của hai đt d và d’
⇔ AB.u=0 ⇔ 2 +2t’ -t -1- t’ - t -5 - t’ -t = 0
AB.u'=0 2(2 + 2t’ - t ) + 1 + t’ + t + 5 + t’ + t = 0
- Giải tìm đợc t =
3
4
− ; t’ =
3
5
− −
3
4
; 3
10
; 3
− −
3
10
; 3
4
; 3 4
0,25 0,25
- Tính ∆= (3 + 2i)2 - 4(-7 + 17i) = 33 - 56i = (7 - 4i)2
0,5
*) Ghi chú : các cách giải khác đúng, giám khảo cho điểm tơng đơng