ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2002 Môn: Toán học cho thí sinh thi vào chuyên Toán hoặc chuyên Tin Thời gian làm
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2002
Môn: Toán học (cho thí sinh thi vào chuyên Toán hoặc chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I:
1) Giải phương trình:
3 2 2
3 2
2 − x+ + x+ = x− + x + x−
x
2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
9
= + +xy y
Câu II
Giải hệ phương trình:
+
= +
= + +
y x y x
xy y x
3
1 3
3
2 2
Câu III
Cho mười số nguyên dương 1, 2, …, 10 Sắp xếp mười số đó một cách tùy ý thành một hàng Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng, ta được mười tổng Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau
Câu IV
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
c b a
c b
c a
b a
c b
a P
− +
+
− +
+
− +
trong đó a ,,b c là độ dài ba cạnh của một tam giác
Câu V
Đường tròn (C) tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB
tương ứng tại các điểm A', B', C'
1) Gọi các giao điểm của đường tròn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lượt là M, N,
P Chứng minh rằng các đường thẳng A'M, B'N, C'P đồng quy
2) Kéo dài đoạn AI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D (khác A) Chứng minh rằng r
ID IC
IB =2 , trong đó rlà bán kính của đường tròn (C)
Trang 2Môn: Toán học (cho thí sinh thi vào chuyên Toán hoặc chuyên Tin)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu I:
1) Giải hệ phương trình:
= + +
= + +
= + +
5 2 1
x zx z
z yz y
y xy x
2) Giải phương trình: x−1+ x2 −1= x3
Câu II
Biết rằng phương trình ax2 +bx+c=0 vô nghiệm Chứng minh rằng phương trình ax2 +bx+c+a+b+c= 0 cũng vô nghiệm
Câu III
Tìm giá trị lớn nhất của tích P= xyz trong đó x ,,y z là những số nguyên dương thỏa mãn: x+ y+z=100
Câu IV
Tìm số nguyên dương n lớn nhất sao cho bất đẳng thức
n y
x n + n ≥ 1 được nghiệm đúng với mọi xvàythỏa mãn điều kiện x2+ y2 = 1
Câu V
Cho nửa đường tròn đường kính AB Trên nửa đường tròn đó lấy hai điểm C và D sao cho các dây cung AC và BD cắt nhau tại E Vẽ đường tròn tâm O đi qua ba điểm C, D, E
1) Chứng minh rằng AD, BC, OE đồng quy
2) Cho AEB = 135o Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến trung điểm của đoạn
AB bằng .
2
2
AB