Đề-đáp án thi thử ĐH-Vĩnh Phúc 2011-Đề 3

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH 7,0 điểm Câu I.. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số C.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C,biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x +1.. 1điểm

SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1

MÔN:TOÁN - KHỐI D

ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 180, không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 02 trang

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THI SINH (7,0 điểm)

Câu I (2điểm) cho hàm số y = x3-3x2+3x +1

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng

y = 3x +1

Câu II (2điểm)

1 Giải phương trình: cos2 x + cos22x + cos23x+cos24x = 2

x y 3

3.2 972 log x y 2





Câu III (1điểm) : Tính giới hạn :

0

lim

→

x

2 2

cos

x

x

−

Câu IV (1điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a,AD = a 2, SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD

và SC, I là giao của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBM)

Tính thể tích khối tứ diện ẠNIB

Câu V (1điểm) : Cho x,y,z > 0 thỏa mãn điều kiện :

y z x

2 1 1

=

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

y z

z y y x

y x

−

+ +

−

+

2 2

II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (A hoặc B)

A Theo chương trình chuẩn:

Câu VI.a (2điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1;2),B(2;1),C(3;6) và đường thẳng

d: x+y = 0 Xác định tọa độ điển M trên d sao cho MA2+ MB2+ MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC, biết A(2;-1) và các đường phân giác

trong của góc B và C lần lượt có phương trình là x-2y +1 =0;x+ y +3 =0.Viết phương trình

đường thẳng BC

Câu VII.a (1 điểm) Cho các số thực x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện 1 + 1 +1 = 4

z y

trị lớn nhất của biểu thức A=

z y x z y x z y

1 2

1 2

1

+ +

+ + +

+ + +

B Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b: (2điểm)

1 Trong mặt phẳng tọa độ oxy ,cho (E): 1

9

2

2

= +y

x

và (P):y = x2 -2x Chứng minh rằng (E)và (P) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt.Viết phương trình đường tròn qua 4 điểm đó

2 Cho A(-7;3), B(11;-15).viết phương trình đường thẳng qua C(3;5),biết khoảng cách từ A

và B đến đường thẳng này là bằng nhau

Câu VII.b: (1điểm) Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và

mỗi số chia hết cho 4

CÁN BỘ COI THI KHÔNG GIẢI THÍCH GÌ THÊM!

SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC ĐÁP ÁN KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1

MÔN: TOÁN - KHỐI D

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐA gồm: 06 trang

Câu I 1.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x3-3x2 +3x +1 (1 điểm)

a TXĐ D=R ;

b Sự biến thiên ;

* Chiều biến thiên :y’ = 3x2– 6x +3 =3(x-1)2 ≥ 0

⇒ Hàm số là đồng biến trong khoảng R

* Cực trị : Hàm số không có cực trị

0.25

* Các giới hạn:

±∞

→

±∞

→ ( 3 3 1 )

lim x3 x2 x x

0.25

* Bảng biến thiên

x -∞ 1 +∞

Y’ + 0 +

+∞

Y

-∞

0.25

c Đồ thị :

Điểm uốn :y” =6x – 6 ;y” = 0 ⇒ x = 1 và y = 2

I (1;2) là điểm uốn

*Giao của đồ thị với ox (y=0) tại 1 điểm

*Giao của đồ thị với oy (x=0) ⇒y =1

y

x

0.25

2.Viế 2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C),biết tiếp tuyến đó song

song với đường thẳng y = 3x +1 (1điểm)

Do tiếp tuyến của đồ thị song song với đường thẳng y= 3x+1⇒hệ số góc

của tiếp tuyến bằng 3

0.25

⇒ y’ = 3 ⇒ 3x2– 6x +3 =3

x = 2

0.25

Với x = 0 ⇒y = 1 phương trình tiếp tuyến y = 3x +1

Với x = 2 ⇒y = 3 phương trình tiếp tuyến y = 3x - 3

0.25

Kết luận :Có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện bài toán

y = 3x +1

y = 3x - 3

0.25

Câu

II

1.Giải phương trình : cos2x + cos22x + cos23x+cos24x = 2 (*) (1 điểm)

2

8 cos 1 2

6 cos 1 2

4 cos 1 2

2 cos 1

=

+ +

+ +

+ +

⇔ cos2x + cos4x +cos 6x +cos 8x = 0

0.25

⇔2 cos5x cos3x + 2 cos5x cosx = 0

⇔ cos5x (cos3x + cosx ) = 0

⇔ cos5x cos2x cosx =0

0.5

cos5x = 0 x =

5 10



+

k

+ (k ∈Z)

cosx = 0 x =

+

0.25

x y

3

3.2 972 log x y 2



Đk: x - y >0

Ta có log 3(x− y)=2 ⇒ x – y =3 ⇒x = y+3

0.25

Mà 3x2y= 972 ⇒3y+32y = 972

⇒ x = 5

Câu

III

Tính giới hạn :I =

0

lim

→

x

2 2

cos

x

x

−

(1điểm)

I =

0

lim

→

x

2 2

1

x

e x

−

+

0

lim

→

cos 1

x

x

−

0.25

IV

I =

0

lim

→

x

2 2

1

x

e x

−

+

0

lim

→

2

2 sin 2

x x

I =

0

lim

→

x

2 2

1

x

e x

−

+2

0

lim

→

2

) 2 ( 2 sin

x

x

0.5

I = 1+ 2 =3

Cho hình ……… (1điểm)

S

N

A M D I

H

2

2

=

=

BC

BA AB

AM

⇒ AB ˆ M =BC ˆ A⇒ 0

90

ˆ ˆ

ˆ

ˆ +BA C=BA C+BA C=

M AB

⇒ AI ˆ B = 900 ⇒MB ⊥ AC (1)

SA ⊥ (ABCD) ⇒SA⊥ MB (2) Từ (1) và (2)

⇒MB ⊥(SAC) ⇒(SBM)⊥ (SAC)

0.25

0.25

0.25

Gọi H là trung điểm của AC ⇒NH là đường trung bình của∆ SAC

⇒NH =

2 2

a SA

= và NH // SA nên NH ⊥ (ABI)

Do đó VANBI=

3

1 NH S∆ABI

0.25

Ta có

0.25

2 2 2

3

3 ,BI2= AB2– AI2⇒ BI =

3

6

a

VANBI=

3

1

6

2 2

a a

= 36

2

3

a

đvtt

Câu

V

Cho Cho x,y,z > 0 thỏa mãn điều kiện :

y z x

2 1 1

=

Tìm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A =

y z

z y y x

y x

−

+ +

−

+

2

Từ giả thiết ta có

z x

xz y

+

= 2

⇒

z x x

z x x

z x z

z x z

z x

xz z

z z x xz

z x

xz x

z x

xz x

A

+

−

+ + + +

− +

+

= +

−

+ + + +

− +

+

=

2 2

1 2

2 2

2 1 2

2

2

2 2

2

0.5

⇒ A=

z

z x x

z x

2

3 2

+

2

3

z

x x

z

+

0.25

Theo bất đẳng thức cô si A ≥ 1+

z

x x

z

2 2

3

= 4 Min A = 4 ⇔ x= y = z

0.25

Câu

VIa

1.Trong mặt phẳng tọa độ oxy,cho tam giác ABC ……… (1 điểm)

Do M ∈ d :x+y=0 ⇒gọi M(a ;-a), a ∈ R

MA2+ MB2 + MC2 =(1-a)2 + (2+a)2+(2-a)2+(1+a)2+(3-a)2+(6+a)2

0.25

⇒MA2 + MB2+ MC2 = 6a2+ 6a +55

0.25

Mà 6a2 + 6a +55 = 6(a+

2

1 )2+

2

107

≥

2

107

0.25 Vậy Min MA2+ MB2+ MC2 =

2

107

⇔ M(

2 1

−

; 2

1

2.Cho tam giác ABC, biết A(2;-1) ……….(1 điểm)

A

I J

B A” A’ C

Gọi A’,A” lần lượt là các điểm đối xứng của A qua các đường phân giác

BI và CJ.Gọi H là giao của AA’ với BI do H∈ BI ⇒ H(2t-1;t)

0.25

⇒ A H

=(2t-3;t+1)

Mà BI có véc tơ chỉ phương u 

(2;1).Do AH

⊥ u 

⇒AH

u 

= 0

⇒ 2(2t-3) + (t+1) = 0⇒ t=1 ⇒H(1;1)

0.25

Mặt khác ta có H là trung điểm của AA’

xA’= 2xH- xA=2.1-2 = 0

YA’=2yH– yA= 2.1 +1=3

Tương tự gọi K là giao của CJ và AA” ta có K (0;-3), A’’(-2;-5)

0.25

⇒phương trình đường thẳng A”A’ chính là phương trình đường thẳng BC

4x - y + 3 =0

0.25

Câu

VIIa Cho các số thực x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện

4

x+ + =y z …… (1

Điểm)

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 4 số dương

(x + x + y + z)(

z y x x

1 1 1

1 + + + ) 4 2

≥ 44

2

1

yz

x =16

0.25

+ + y z x

2

1

) 1 1 2 ( 16

1

z y

Hoàn toàn tương tự ⇒A ≤

4

1 (

z y x

1 1 1

+ + ) =1

Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z =

4

Câu

VIb 1…cho (E): 9 2 1

2

= +y

x

và (P):y = x2-2x ….(1điểm)

Xét phương Ta có tọa độ giao điểm (E) và (P) là nghiệm của hệ:

1 9

2

2

= +y x

x2-2x –y =0

0.5

Xét hàm số: f(x) =

9

2

x

+(x2-2x)2 -1 ,x ∈R

Ta có f(-1).f(0)< 0

f(0).f(1) < 0 f(1).f(2) < 0 f(2).f(3) < 0

⇒ (E) và (P) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt

Ta có tọa độ giao điểm (E) và (P) là nghiệm của hệ

1 9

2

2

= +y

x

9

2

2

− +y

x

) + 9

8 (x2-2x –y ) = 0

x2-2x –y =0

⇒x2+y2

-9

16

x -9

8 y-1 = 0 (1) (1) là phương trình đường tròn qua các giao điểm của (E) và(P)

0.5

2 Cho A(-7;3),B(11;-15)……… (1điểm)

Vì đường thẳng x = 3 không thỏa mãn điều kiện đề bài nên:

Gọi phương trình đường thẳng qua C(3;5) có dạng y= k(x-3)+5 (d1)

Do khoảng cách từ A đến (d1) bằng khoảng cách từ B đến (d1)

0.25

1

3 5 15 11 1

3 5 3 7

2

− + +

= +

− +

−

−

k

k k

k

k k

⇔ 2 − 10k = 8k+ 20

11

k k

=−



 =



0.5

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến y= -x +8

y = 11x -28

0.25

Câu

VIIb.

Từ c Từ các số 0,1,2,3,4,5 lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và mỗi

số ch chia hết cho 4 (1 điểm)

Gọi số có 4 chữ số là abcd

Do abcd chia hết cho 4 ⇔ cd∈{04,12,20,24,32,40,52}

0.25

Trường hợp 1:Nếu cd ∈{04 , 20 , 40}

Ta có 3 cách chọn cd vói mỗi cách chọn cd thì a có 4 cách chọn b có 3

Cách chọn Nên có 36 cach chọn

0.25

Trường hợp :Nếu cd ∈{12 , 24 , 32 , 52}

Ta có 4 cách chọn cd vói mỗi cách chọn cd thì a có 3 cách chọn b có 3

Cách chọn Nên có 36 cach chọn

0.25